九年级二次函数题型总结.docx
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精品文档 一、二次函数的定义 1.下列函数中属于一次函数的是( ),属于反比例函数的是( ),属于二次函数的是( ) A.y=x(x+1) B.xy=1 C.y=2x2-2(x+1)2 D. 2.当m 时,函数y=(m-2)x2+4x-5(m是常数)是二次函数. 3.若是二次函数,则m= . 4.若函数y=3x2的图象与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k= ,b= . 5.已知二次函数y=―4x2-2mx+m2与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2,则m的值是 . 配方 二、二次函数的图象与性质 1.对于抛物线y=ax2,下列说法中正确的是( ) A.a越大,抛物线开口越大 B.a越小,抛物线开口越大 C.|a|越大,抛物线开口越大 D.|a|越小,抛物线开口越大 2.下列说法中错误的是( ) A.在函数y=-x2中,当x=0时,y有最大值0 B.在函数y=2x2中,当x>0时,y随x的增大而增大 C.抛物线y=2x2,y=-x2,中,抛物线y=2x2的开口最小,抛物线 y=-x2的开口最大 D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点 3.二次函数 y=2(x-3)2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( ) A.开口向下,对称轴x=-3,顶点坐标为(3,5) B.开口向上,对称轴x=3,顶点坐标为(3,5) C.开口向上,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,5) D.开口向下,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,-5) 4.已知抛物线的解析式为y=(x-2)2+1,则抛物线的顶点坐标是 ( ) A.(-2,1) B.(2,1) C.(2,-1) D.(1,2) 5.已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-2,1) 6.抛物线y=x2+2x-1的对称轴是 ,当x 时,y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小. 7.抛物线的顶点坐标为,则b= ,c= . 8.函数y=x2―2x-l的最小值是 ;函数y=-x2+4x的最大值是 . 9.已知抛物线的顶点在坐标轴上,则a= . 二次函数的对称性 二次函数: (1) 此函数的对称轴为直线; (2) 若函数与x轴相交于点,则对称轴可表示为; (3) 若函数与x轴相交于点(特点是纵坐标相同),则对称轴可表示为. 10. 抛物线的一部分图象如图所示,该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点坐标是 . 11. 如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点,B点坐标为,则点A的坐标是 . 12.抛物线与x轴交于两点,则线段AB的长 . 13.已知二次函数,若点在此函数的图象上,且,则的大小关系是 . 14.已知二次函数的对称轴是直线,若点在此函数的图象上,则的大小关系是 15.已知二次函数中,其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表: x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 4 0 1 0 4 …… 点在函数的图象上,则当,时,与的大小关系正确的是( ) 三、二次函数的平移、旋转与对称 1. 把抛物线向左平移一个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式( ) 2.抛物线经过平移得到抛物线,平移的方法是 A.向左平移1个单位,再向下平移2个单位 B.向右平移1个单位,再向下平移2个单位 C.向左平移1个单位,再向上平移2个单位 D.向右平移1个单位,再向上平移2个单位 3. 在平面直角坐标系中,如果的图象不动,而把坐标轴分别向上平移2个单位,向右平移3个单位,那么新坐标系中此抛物线的解析式为 . 4. 将抛物线的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,平移后的解析式为 . 5.将抛物线的图象向右平移2个单位再向下平移2个单位,所得图象的关系式为,则b= ,c= . 6.已知抛物线, (1)将其绕着顶点旋转180°后抛物线关系式是 . (2)关于y轴对称的抛物线关系式是 ; (3)关于x轴对称的抛物线关系式是 ; (4)关于原点对称的抛物线关系式是 . 四、 确定二次函数的表达式 用待定系数法求二次函数的解析式: (1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式. (2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:.已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式. 1.顶点为(—1,—3),与y轴交点为(0,—5). 2.与x轴交于A(—1,0)、B(1,0),并经过点M(0,1). 3.图像经过点A(0,1)、B(1,2)、C(2,1). 4.顶点坐标为(1,3)且在x轴上截得的线段长为4. 5. 图象经过点(1,0)、(0,-3),且对称轴是直线x=1. 6.已知抛物线如图所示,求它对应的表达式. 五、 二次函数的应用 知识铺垫:最值问题 (一) 开口向上 1. 当对称轴在所给范围内,必在顶点处取得最小值,在离对称轴较远端点处取得最大值; 2. 当对称轴不在所给范围内,在离对称轴较远端点处取得最大值,离对称轴较近端点处取得最小值. (二) 开口向下 30m 1.当对称轴在所给范围内,必在顶点处取得最大值,在离对称轴较远端点处取得最小值; 2.当对称轴不在所给范围内,在离对称轴较远端点处取得最小值,离对称轴较近端点处取得最大值. 1. 当时,求函数的最大值和最小值. 2. 当时,求函数的最大值和最小值. 3. 当时,求函数的最大值和最小值. 几何问题 4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上. (1) 如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示? (2) 设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少? (3) 若将矩形改为图2所示的位置,其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少? C 40m 5.用长为80 m的栅栏,再借助外墙围城一个矩形羊圈ABCD,已知房屋外墙长50 m,设矩形ABCD的边AB=x m,面积为S m2. (1) 写出S与x之间的关系式,并指出x的取值范围; (2) 当AB,BC分别为多少米时,羊圈的面积最大?最大面积是多少? 6. 有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水面宽AB=20 m,当水位上升3 m时,水面宽CD=10 m. (1) 按如图所示的直角坐标系,求此抛物线的函数表达式; (2) 有一条船以5 km/h的速度向此桥径直行来,当船距离此桥35 km时,桥下水位正好在AB处,之后水位每小时上涨0.25 m,当水位达到CD处时,将禁止船只通行.如果该船的速度不变,那么它能否安全通过此桥? 最大利润问题 7. 某旅馆有客房120间,每间客房的日租金为160元,每天都客满,经市场调查,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素,旅馆将每天的日租金提高多少元时,客房日租金的总收入最高? 8.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?最大利润是多少? 9.某大型酒店有包房100间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房费100元时,包房便可全部租出;若每间包房收费提高20元,则减少10间包房租出. (1)设每间包房收费提高x(元),则每间包房的收入为y1(元),但会减少y2间包房租出,请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式. (2)为了投资少而利润大,每间包房提高x(元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元),请写出y与x之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由. 六、 二次函数与一元二次方程 二次函数的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程的根的关系: 1. 当∆>0时,抛物线与x轴有两个交点,这两个交点的横坐标是方程的两个不相等的实数根; 2. 当∆=0时,抛物线与x轴有一个交点,这个交点的横坐标是方程的两个相等的实数根,并且这一个交点即为抛物线的顶点; 3. 当∆<0时,抛物线与x轴没有交点,这时方程没有实数根. 4. 当∆>0时,图象与x轴有两个交点 ,两点距离. 当a>0时,当或时,;当时,. 当a<0时,当或时,;当时,. 5. 当∆=0时,图象与x轴只有一个交点. 当a>0时,x为任何实数时,函数值; 当a<0时,x为任何实数时,函数值; 6. 当∆<0时,图象与x轴没有交点. 当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0; 当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0. 1.抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为 . 2.抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点则b= . 3.二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.只有两个交点 D.至少有一个交点 4.二次函数 y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点,则k的取值范围是 . 5. 已知二次函数的与的部分对应值如下表: … 0 1 3 … … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线与轴交于负半轴、 C.当=4时,>0 D.方程的正根在3与4之间 6.抛物线的部分图象如图所示,若y>0,则x 的 取值范围是( ) A.-4<x<1 B. -3<x<1 C.x<-4或x>1 D.x<-3或x>1 七、 二次函数中的意义 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定: (1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0. (2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式判断符号,左同右异. (3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;过 原点,c=0. (4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定:2个交点,b2-4ac>0;1个交 点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0. (5)当x=1时,可确定a+b+c的符号;当x= -1时,可确定a-b+c的符号; 当x=2时,可确定4a+2b+c的符号,当x=-2时,可确定4a-2b+c的符号. (6)由对称轴公式与x=1和x= -1比较,可确定2a+b,2a-b的符号. 1. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论: ①a+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.其中所有正确结论的序号是( ) A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③ 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论: ①a<0;②c>0;③b2﹣4ac>0;④<0中,正确的结论有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.如图,二次函数y=x2+(2﹣m)x+m﹣3的图象交y轴于负半轴,对称轴在y轴的右侧,则m的取值范围是( ) A. m>2 B. m<3 C. m>3 D. 2<m<3 4.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中正确的说法有 . ①ac<0; ②方程ax2+bx+c=0的根是x1= -1, x2= 3 ③a+b+c>0 ④当x>1时,y随x的增大而增大. 5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.有以下结论: (1)abc>0; (2)4ac<b2; (3)2a+b=0; (4)a-b+c>2.其中正确的结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第4题 第5题 -第6题 6.如图所示,二次函数的图象经过点,且与轴交点的横坐标分别为,其中,,下列结论中正确的有( ) ①;②;③;④. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为( ,1),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确结论个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中:①b>0;②c<0;③4a+2b+c > 0;④(a+c)2<b2,其中正确的个数是 ( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是( ) A B C D 10. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法:①ab<0; ②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x<1时,y随x值的增大而增大;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3.其中,正确的说法有( )A.①②⑤ B.①②④ C.①③⑤ D.②④⑤ 八、 二次函数与几何图形 (一)二次函数与三角形 类型一:三角形的某一条边在坐标轴上或与坐标轴平行 这类题目的做题步骤:1.求出二次函数的解析式;2.求出相关点的坐标;3.求出相关线段的长;4.选择合适方法求出图形的面积。 1.已知:抛物线的顶点为D(1,-4),并经过点E(4,5). (1)求抛物线解析式; (2)求抛物线与x轴的交点A、B坐标,与y轴交点C坐标; (3)求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD. 2.如图,二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于两点,与y轴负半轴交于点C,若抛物线顶点D的横坐标是1,A、B两点间的距离是4,且△ABC的面积是6. (1) 求A和B两点的坐标; (2)求此二次函数的表达式; (3)求四边形ACDB的面积. 类型二:三角形三边均不与坐标轴平行,作三角形的铅垂高(歪歪三角形拦腰截) 1.关于的知识点:如图,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的 三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部 线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.可得出一种计算三角形面积的新方法:, 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 2.①铅垂高:横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值,表示为; ②水平宽:两个点的横坐标差的绝对值,表示为. 1. 如图,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B. (1)求抛物线和直线AB的解析式; (2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时, 求△CAB的铅垂高CD及; (3) 是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由. 如2. 如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋 转120°,得到线段OB. (1)求点B的坐标; (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐坐 标;若不存在,请说明理由. (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若 有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由. 调研结论:综上分析,我们认为在学院内开发“DIY手工艺品”商店这一创业项目是完全可行的。 三、主要竞争者分析 3.如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合). 8、你是如何得志DIY手工艺制品的?(1)求抛物线的解析式; (2)求△ABC的面积; (3)个性体现(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标. 上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”,还专门为大学生创业提供担保,贷款最高上限达到5万元。 3、你是否购买过DIY手工艺制品? Beadwrks公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流,体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎;同样,自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感,这里更是创作的源泉。 现在是个飞速发展的时代,与时俱进的大学生当然也不会闲着,在装扮上也不俱一格,那么对作为必备道具的饰品多样性的要求也就可想而知了。 可是创业不是一朝一夕的事,在创业过程中会遇到很多令人难以想象的疑难杂症,对我们这些80年代出生的温室小花朵来说,更是难上加难。 就算你买手工艺品来送给朋友也是一份意义非凡的绝佳礼品哦。而这一份礼物于在工艺品店买的现成的礼品相比,就有价值意义,虽然它的成本比较低但它毕竟它是你花心血花时间去完成的。就像现在最流行的针织围巾,为何会如此深得人心,更有人称它为温暖牌绝大部分多是因为这个原因哦。而且还可以锻炼你的动手能力,不仅实用还有很大的装饰功用哦。 4.如图,已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=2. (1)求二次函数的解析式; (2)设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点,且△PBD为直角三角形,求点P的坐标. 精品文档- 配套讲稿:
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