高三数学第一轮复习单元测试题—-集合与函数.doc

高三数学第一轮复习单元测试题— 集合与函数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合,则满足的集合B的个数是 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．8
2．已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xÎR｝，则MÇN＝ （ ）
A．Æ B．{x|x³1} C．｛x|x>1｝ D．{x| x³1或x<0}
3．有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是card= card+ card；
②的必要条件是cardcard；
③的充分条件是cardcard；
④的充要条件是cardcard.
其中真命题的序号是
A．③、④ B．①、② C．①、④ D．②、③
4．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝ （ ）
A． B．｛x|0＜x＜3｝ C．｛x|1＜x＜3｝ D．｛x|2＜x＜3｝
5．函数的反函数是 （ ）
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
6．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
8．函数的反函数的图象与y轴交于点
（如图2所示），则方程的根是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1

9．已知函数若则 （ ）
A．　　　　　　　 B．
C．　　　　　　　 D．与的大小不能确定
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为 （ ）
A．　 B．　 C．　　 D．
11．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所
围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（ ）

12．关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．函数对于任意实数满足条件，若则_______.
14．设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27，则f（m＋n）＝___________________．
15．设则__________．
16．设，则的定义域为_____________ ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数满足且对于任意, 恒有成立.
（1）求实数的值;
（2）解不等式.

18（本小题满分12分）
20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：

每亩需劳力
每亩预计产值
蔬 菜

1100元
棉 花

750元
水 稻

600元
问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？

19．（本小题满分12分）
已知函数

（1）若且函数的值域为,求的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当时, 是单调函数, 求实数k的取值范围;
（3）设, 且为偶函数, 判断＋能否大于零?

20．（满分12分）
已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）－x2+x ）=f（x）－x2+x.
（1）若f（2）=3,求f（1）;又若f（0）=a,求f（a）;
（2）设有且仅有一个实数x0,使得f（x0）= x0,求函数f（x）的解析表达式.

21．（本小题满分12分）
设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和 之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的
上方.

22．（本小题满分14分）
设a为实数，记函数的最大值为g（a）.
（1）设t＝，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）；
（2）试求满足的所有实数a．

参考答案（1）
1．C．，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集
个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选择答案C．
2．C．M＝｛x|x>1或x£0｝，N＝｛y|y³1｝故选C
3．B．选由card= card+ card+ card知card= card+
cardcard=0.由的定义知cardcard.
4．D．　,用数轴表示可得答案D．
5．A．∵ ∴ 即
∵ ∴ 即
∴函数的反函数为.
6．B．由，故选B．
7．B．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇
函数,是减函数;故选A．
8．C．利用互为反函数的图象关于直线y=x对称，得点（2，0）在原函数的图象上，即，
所以根为x=2.故选C
9． B．取特值，选B；或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对
成轴和区间的关系的方法， 易知函数的对成轴为,开口向上的抛物线, 由, x1+x2=0，需
分类研究和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选B;
10．B．理解明文密文（加密），密文明文（解密）为一种变换或为一种对应关系，构建方程组求解，依提意用明文表示密文的变换公式为，于是密文14，9，23，28满足，即有 ，选B；
11．D．当x=时,阴影部分面积为个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时,即点（）在直线y=x的下方,故应在C、D中选;而当x=时, ,阴影部分面积为个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即,即点（）在直线y=x的上方,故选D．
12．B．本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根.
故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个；故选B．
13．由得，所以，则.
14．f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕·〔f－1（x）＋6〕＝3m·3n＝3m ＋n＝27
\m＋n＝3\f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2．
15．．
16．由得，的定义域为。故，解得.
故的定义域为.
17． （1） 由知, …① ∴…②又恒成立, 有恒成立,故．
将①式代入上式得:, 即故．
即, 代入② 得,．
（2） 即 ∴
解得:　　　, ∴不等式的解集为．
18．设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u，
依题意得x+y+z=50，，则u=1100x+750y+600z=43500+50x.
∴ x0,y=90－3x0,z=wx－400,得20x30,∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20.
∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元．
19 （1） ∵, ∴又恒成立,
∴, ∴, ∴.
∴
（2） 则
,
当或时, 即或时, 是单调函数.
（3） ∵是偶函数∴,
∵设则.又
∴＋
,∴＋能大于零.
20．（1）因为对任意xεR，有f（f（x）－ x2 + x）=f（x）－ x2 +x，所以f（f（2）－ 22+2）=f（2）－ 22+2.
又由f（2）=3，得f（3－22+2）－3－22+2，即f（1）=1.
若f（0）=a，则f（a－02+0）=a－02+0，即f（a）=A．
（2）因为对任意xεR，有f（f（x））－ x2 +x）=f（x）－ x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f（x0）－ x0. 所以对任意xεR，有f（x）－ x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f（x0）－x + x0= x0, 又因为f（x0）－ x0，所以x0－ x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f（x）－ x2 +x=0，即f（x）= x2 –x. 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，
故x2≠0. 若x2=1,则有f（x）－ x2 +x=1，即f（x）= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为f（x）= x2 –x+1（xR）.
21．（1）

答：火柴燃烧、铁钉生锈、白糖加热等。 （2）方程的解分别是和，
由于在和上单调递减，
在和上单调递增，因此
.
由于.
（3）[解法一] 当时，.

13、以太阳为中心，包括围绕它转动的八大行星（包括围绕行星转动的卫星）、矮行星、小天体（包括小行星、流星、彗星等）组成的天体系统叫做太阳系。 ，

23、我国是世界上公认的火箭的发源地，早在距今1700多年前的三国时代的古籍上就出现了“火箭”的名称。 . 又，
① 当，即时，取，
.

22、绿色植物的一些细胞能进行光合作用，制造养料，它们好像是一个个微小的工厂。 ， 则.

5、在咀嚼米饭过程中，米饭出现了甜味，说明了什么？ ② 当，即时，取， ＝.
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时，.由 得，

2、昆虫种类繁多，分布很广，它们有着和其他动物不同的身体构造和本领。 令 ，解得 或，
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；

6、化学变化伴随的现象有改变颜色、发光发热、产生气体、产生沉淀物。当时，的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线
绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像
位于函数图像的上方.
22．（1）∵，∴要使有意义，必须且，即

答：放大镜的中间厚，边缘薄，光线在透过放大镜时会产生折射，因此会把物图像放大。∵，且……① ∴的取值范围是。
由①得：，∴，。

10、由于煤、石油等化石燃料消耗的急剧增加，产生了大量的二氧化碳，使空气中的二氧化碳含量不断增加，导致全球气候变暖、土壤沙漠化、大陆和两极冰川融化，给全球环境造成了巨大的压力。 （2）由题意知即为函数，的最大值，
∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

答：当地球运行到月球和太阳的中间，如果地球挡住了太阳射向月球的光，便发生月食。由知在上单调递增，故；
2）当时，，，有=2；
3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，．
综上所述，有=．
（3）当时，；
当时，，，∴，
，故当时，；
当时，，由知：，故；
当时，，故或，从而有或，
要使，必须有，，即，
此时，。
综上所述，满足的所有实数a为：或．