圆锥曲线综合测试题(含答案).doc

第二章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝－28y　　　　　　 B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
解析　由条件可知＝7，∴p＝14，抛物线开口向右，故方程为y2＝28x.
答案　B
2．设P是椭圆＋＝1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4 B．5
C．8 D．10
解析　由题可知a＝5，P为椭圆上一点，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
答案　D
3．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
解析　把方程化为标准形式－＋＝1，
∴a2＝－，b2＝－.
∴c2＝－－＝4，
解得m＝－1.
答案　A
4．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是(　　)
A．(5,0)或(－5,0)
B．(，)或(，－)
C．(0,3)或(0，－3)
D．(，)或(－，)
解析　|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PF1|·|PF2|≤()2＝25.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，
此时P点是短轴端点，故选C.
答案　C
5．(2010·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．
依题意知⇒a2＝9，b2＝27，
所以双曲线的方程为－＝1.
答案　B
6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，

由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，
∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，
当且仅当A，P，N三点共线时取等号，
∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，
则可排除A、C、D项，故选B.
答案　B
7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)
A．4或－4 B．－2
C．4 D．2或－2
解析　由题可知，－(－2)＝4，∴p＝4.
∴抛物线的方程为x2＝－8y.
将(m，－2)代入可得m2＝16，
∴m＝±4.故选A.
答案　A
8．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且它的一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3，
由题意，得解得a2＝3，b2＝6，
故所求双曲线的方程为－＝1.
答案　C
9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点(　　)
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
解析　直线x＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．
答案　B
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　由椭圆的定义可知d1＋d2＝2a，
又由d1,2c，d2成等差数列，
∴4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝＝.
答案　A
11．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　)
A．x2＝y－ B．x2＝2y－
C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2
解析　由y＝x2⇒x2＝4y，焦点F(0,1)，
设PF中点Q(x，y)、P(x0，y0)，
则∴x2＝2y－1.
答案　C
12．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(1,3] D．(1,2]
解析　＝
＝|PF1|＋＋4a≥8a，
当|PF1|＝，即|PF1|＝2a时取等号．
又|PF1|≥c－a，∴2a≥c－a.
∴c≤3a，即e≤3.
∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]
答案　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．(2010·福建)若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
解析　由题意知＝，解得b＝1.
答案　1
14．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
解析　若焦点在x轴上，则a＝4，
由e＝，可得c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，
椭圆方程为＋＝1，
若焦点在y轴上，则b＝4，
由e＝，可得＝，∴c2＝a2.
又a2－c2＝b2，∴a2＝16，a2＝64.
∴椭圆方程为＋＝1.
答案　＋＝1，或＋＝1
15．设F1和F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．
解析　由题设知
②－①2得|PF1|·|PF2|＝2.
∴△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|＝1.
答案　1
16．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．

解析　如图，设双曲线一个焦点为F，
则△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.
∴c＝2a，∴e＝＝2.
答案　2
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．
解　把方程4x2＋9y2＝36写成＋＝1，
则其焦距2c＝2，∴c＝.
又e＝＝，∴a＝5.
b2＝a2－c2＝52－5＝20，
故所求椭圆的方程为＋＝1，或＋＝1.
18．(12分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
解　设直线上任意一点坐标为(x，y)，
弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3.
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝ ＝.
19、（本小题满分12分）
设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值
解：
（1）由椭圆定义知
又
（2）

即 .
则
解得 .
20、(本小题满分12分)
已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个
焦点的距离分别是7和1
（I） 求椭圆的方程‘
（II） 若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，
（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（20）解：
（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
{ 解得a=4,c=3,
所以椭圆C的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得

而，故 ①
由点P在椭圆C上得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. w.w
21．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.
(1)若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；
(2)在(1)的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A，B，F三点的圆恰好与直线l：x＋y＋3＝0相切，求椭圆C的方程．
解　

(1)如图，设直线l与圆O相切于E点，椭圆C的右顶点为D，
则由题意易知，△OED为直角三角形，
且|OE|＝b，|OD|＝a，∠ODE＝，
∴|ED|＝＝c(c为椭圆C的半焦距)．
∴椭圆C的离心率e＝＝cos＝.
(2)由(1)知，＝，
∴可设a＝2m(m>0)，则c＝m，b＝m，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
∴A(0，m)，∴|AF|＝2m.
直线AF的斜率kAF＝，∴∠AFB＝60°.
在Rt△AFB中，|FB|＝＝4m，
∴B(3m,0)，设斜边FB的中点为Q，则Q(m,0)，
∵△AFB为直角三角形，
∴过A，B，F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q，且半径为2m，
∵圆Q与直线l：x＋y＋3＝0相切，
∴＝2m.
∵m是大于0的常数，∴m＝1.
故所求的椭圆C的方程为＋＝1.
21．(12分)设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，抛物线C2：x2＋by＝b2.
(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；
(2)设A(0，b)，Q(3，b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B(0，b)，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程．
解　(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，
可得c2＝b2，由a2＝b2＋c2＝2c2，
有＝⇒e＝.

(2)由题设可知M、N关于y轴对称，
设M(－x1，y1)，N(x1，y1)(x1>0)，
由△AMN的垂心为B，
有·＝0⇒－x＋(y1－b)(y1－b)＝0.
由点N(x1，y1)在抛物线上，x＋by1＝b2，
解得y1＝－，或y1＝b(舍去)，
故x1＝b，M(－b，－)，N(b，－)，

答：燃烧的蜡烛变得越来越短，发光发热并伴有气体生成。得△QMN重心坐标(，)．
由重心在抛物线上得3＋＝b2，
∴b＝2，M(－，)，N(，－)，
又∵M，N在椭圆上，得a2＝，
椭圆方程为＋＝1，
抛物线方程为x2＋2y＝4.
22．(12分)(2010·北京)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；

7、将铁钉的一部分浸入硫酸铜溶液中，有什么现象？过一会儿，取出铁钉，我们又观察到了什么现象？（P36）(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．

4、小苏打和白醋混合后，产生了一种新物质——二氧化碳气体，这种气体能使燃着的火焰熄灭，这样的变化属于化学变化。解　(1)∵＝，且c＝，

答：①利用微生物的作用，我们可以生产酒、醋、酸奶、馒头和面包等食品。②土壤中的微生物可以分解动植物的尸体，使它们变成植物需要的营养素。③在工业生产和医药卫生中也都离不开微生物。∴a＝，b＝＝1.

9、在17世纪，人们发现把两个凸透镜组合起来明显提高了放大能力，这就是早期的显微镜。∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

5、垃圾的回收利用有哪些好处？(2)由题意知P(0，t)(－1<t<1)，

4、咀嚼馒头的外皮也可以感觉到甜味吗？为什么？由得x＝±，

5、铁生锈变成了铁锈，这是一种化学变化。水分和氧气是使铁生锈的原因。∴圆P的半径为.
∴＝|t|，解得t＝±.
∴点P的坐标是(0，±)．
(3)由(2)知，圆P的方程为

2、物质变化有快有慢，有些变化只改变了物质的形态、形状、大小，没有产生新的不同于原来的物质，我们把这类变化称为物理变化；有些变化产生了新的物质，我们把有新物质生成的变化称为化学变化。x2＋(y－t)2＝3(1－t2)．

2、昆虫种类繁多，分布很广，它们有着和其他动物不同的身体构造和本领。∵点Q(x，y)在圆P上，
∴y＝t±≤t＋.
设t＝cosθ，θ∈(0，π)，
则t＋＝cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋)，
当θ＝，即t＝，且x＝0，y取最大值2.