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1991年辽宁高考文科数学真题及答案

考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分．

一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内

(1) 已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( )
(A) y2=8(x＋1)
(B) y2=－8(x＋1)
(C) y2=8(x－1)
(D) y2=－8(x－1)
(3) 函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ( )
(A)
(B) π
(C) 2π
(D) 4π
(4) P(2，5)关于直线x＋y=0的对称点的坐标是 ( )
(A) (5，2)
(B) (2，－5)
(C) (－5，－2)
(D) (－2，－5)
(5) 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 ( )
(A) 12对
(B) 24对
(C) 36对
(D) 48对
(6) 函数y=sin(2x＋)的图像的一条对称轴的方程是 ( )
(A) x=－
(B) x=－
(C) x=
(D) x=
(7) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 ( )
(A) 垂心
(B) 重心
(C) 外心
(D) 内心
(8) 已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6=25，那么a3＋a5的值等于 ( )
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
(9) 已知函数y=(x∈R，且x≠1)，那么它的反函数为 ( )
(A) y=(x∈R，且x≠1)
(B) y=(x∈R，且x≠6)
(C) y=(x∈R，且x≠－)
(D) y=(x∈R，且x≠－5)
(10) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 ( )
(A) 140种
(B) 84种
(C) 70种
（D）35种
(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( )
(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
(C) 丙是甲的充要条件
(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
(12) …(1－)]的值等于 ( )
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

(13) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C=0不通过 ( )
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(14) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 ( )
(A) 增函数且最小值为－5
(B) 增函数且最大值为－5
(C) 减函数且最小值为－5
(D) 减函数且最大值为－5
(15) 圆x2＋2x＋y2＋4y－3=0上到直线x＋y＋1=0的距离为的点共有 ( )
(A) 1个
(B) 2个
(C) 3个
(D) 4个

二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．
(16) 双曲线以直线x=－1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是__________________．
(17) 已知sinx=，则sin2(x－)=____________
(18) 不等式lg(x2＋2x＋2)<1的解集是_____________
(19) 在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a>1，那么a=_____________
(20) 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是、2．如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos2α＋cos2β＋cos2γ=_________

三、解答题：本大题共6小题；共60分．
(21) (本小题满分8分)
求函数y=sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值．
(22) (本小题满分8分)
已知复数z=1＋i, 求复数的模和辐角的主值．
(23) (本小题满分10分)
如图，在三棱台A1B1C1－ABC中，已知A1A⊥底面ABC，A1A= A1B1= B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC所成的角45º，求这个棱台的体积．
(24) (本小题满分10分)
设{an}是等差数列，bn=()an．已知b1＋b2＋b3=, b1b2b3=．求等差数列的通项an．
(25) (本小题满分12分)
设a>0，a≠1，解关于x的不等式
(26) (本小题满分12分)
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．

参考答案及评分标准

说明：
一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．
二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．
三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．
四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
五．只给整数分数．

一．选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．
(1)A (2)D (3)B (4)C (5)B (6)A (7)D (8)A (9)B (10)C (11)A (12)C (13)C (14)B (15)C

二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分．
(16) (－2，2) (17) 2－ (18) {x|－4<x<2} (19) 1+ (20) 2

三．解答题
(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．
解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x＋cos2x)+2sinxcosx+2cos2x ——2分
=1+sin2x+(1＋cos2x) ——4分
=2+sin2x+cos2x
=2+sin(2x+)． ——6分
当sin(2x+)=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+． ——8分
注：没有说明“当sin(2x+)=1时，函数y有最大值”而得出正确答案，不扣分．
(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．
解：=
= ——2分
=1－i． ——4分
1－i的模r==．因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切
tgθ=－1，所以辐角的主值θ=π． ——8分
(23)本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．
解：因为A1A⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A1A⊥BC．又BC⊥BB1，且棱AA1和BB1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB．
∴ △ABC是直角三角形，∠ABC=90º．并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，
∠ABB1=45º． ——3分
作B1D⊥AB交AB于D，则B1D∥A1A，故B1D⊥底面ABC．
∵ Rt△B1DB中∠DBB1=45º，
∴ DB=DB1=AA1=a，
∴AB=2a． ——6分
由于棱台的两个底面相似，故
Rt△ABC∽Rt△A1B1C1．
∵ B1C1=A1B1=a，AB=2a，
∴ BC=2a．
∴ S上=A1B1×B1C1=．
S下=AB×BC=2a2． ——8分
V棱台=·A1A·
=·a· ——10分
(24)本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力．满分10分．
解 设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+(n－1)d．
∴
b1b3=·==．
由 b1b2b3=，得=，
解得 b2=． ——3分
代入已知条件

整理得

解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2 ——6分
∴ a1=－1，d=2或a1=3，d=－2． ——8分
所以，当a1=－1，d=2时
an=a1+(n－1)d=2n－3．
当a1=3，d=－2时
an=a1+(n－1)d=5－2n． ——10分
(25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分．
解法一 原不等式可写成 ． ① ——1分
根据指数函数性质，分为两种情形讨论：
(Ⅰ)当0<a<1时，由①式得
x4－2x2+a2<0， ② ——3分
由于0<a<1时，判别式
△=4－4a2>0,
所以②式等价于
③
④
——5分
解③式得 x<－或x>，
解④式得 －<x<． ——7分
所以，0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－<x<－}∪{x|<x<}．
——8分
(Ⅱ) 当a>1时，由①式得
x4－2x2＋a2>0， ⑤ ——9分
由于a>1，判别式△<0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}． ——12分
综合得
当0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
当a>1时，原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}．
解法二 原不等式可写成 ． ① ——1分
(Ⅰ) 当0<a<1时，由①式得
x4－2x2＋a2<0， ② ——3分
分解因式得 (x2－1＋)(x2－1－)<0． ③
④
⑤
即
⑥⑦
或 ——5分
解由④、⑤组成的不等式组得
－<x<－．
或 <x< ． ——7分
由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
——8分
(Ⅱ) 当a>1时，由①式得
x4－2x2＋a2>0， ⑧ ——9分
配方得 (x2－1)2＋a2－1>0， ⑨
对任意实数x，不等式⑨都成立，即a>1时，原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}． ——12分
综合得
当0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
当a>1时，原不等式的解集为 {x|－∞<x<＋∞}．
(26) 本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．
解法一 设所求椭圆方程为

依题意知，点P、Q的坐标满足方程组
①

②

将②式代入①式，整理得
(a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)=0, ③ ——2分
设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x＋1与椭圆的交点为
P(x1，x1＋1)，Q(x2，x2＋1)． ——3分
由题设OP⊥OQ,|PQ|=，可得

整理得
④
⑤
——6分
解这个方程组，得
或
根据根与系数的关系，由③式得
(Ⅰ) 或 (Ⅱ) ——10分
解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得
或
故所求椭圆的方程为
， 或 ——12分
解法二 同解法一得
(a2+b2)x2+2a2x+a2(1－b2)=0， ③ ——2分
解方程③得
． ④ ——4分
则直线y=x+1与椭圆的交点为
P (x1，x1+1)，Q (x2，x2+1)．
由题设OP⊥OQ，得