2022年上海市高考数学真题（解析版）.docx

2022年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1. 双曲线x29-y2=1的实轴长为 ．

2. 函数fx=cos2x-sin2x+1的周期为 ．

3. 已知a∈R，行列式a132的值与行列式a041的值相等，则a＝ ．

4. 已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 ．

5. x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，求z＝x+2y的最小值 ．

6. 二项式3+xn的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝ ．

7. 若函数fx=a2x-1x<0x+ax>00x=0，为奇函数，求参数a的值为 ．

8. 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．

9. 已知等差数列an的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5=0，则Sii=0,1,2,…,100中不同的数值有 个．

10. 若平面向量a→=b→=c→=λ，且满足a→⋅b→=0，a→⋅c→=2，b→⋅c→=1，则λ＝ ．

11. 设函数fx满足fx=f11+x对任意x∈[0,+∞)都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的fx都有{y|y=fx,0≤x≤a}=Af，则a的取值范围为 ．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.

1. 若集合A＝[﹣1,2)，B＝Z，则A∩B＝（ ）
A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{﹣1,0,1} C.{﹣1,0} D.{﹣1}

2. 若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A.a+b>2ab B.a+b<2ab C.a2+2b>2ab D.a2+2b<2ab

3. 如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC  、BB1  、CD  的中点，联结
A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、 B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（ ）

A.点P B.点B C.点R D.点Q

4. 设集合Ω=x,yx-k2+y-k22=4k|,k∈Z
①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（ ）
A.①成立②成立 B.①成立②不成立
C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.

1. 如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．

（1）求三棱锥体积VP-ABC    ；

（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．

2. fx=log3a+x+log36-x．
（1）若将函数fx图像向下移mm>0后，图像经过3,0，5,0，求实数a，m的值．

（2）若a>﹣3且a≠0，求解不等式fx≤f6﹣x．

3. 如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，∠DAB＝∠ABC＝120​∘，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；

（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；

（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．

4. 设有椭圆方程Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0，直线l:x+y-42=0，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1-2,0、F22,0  ．

（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；

（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为35，求b；

（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使PF1+PF2+d=6，随a的变化，求d的最小值．

5. 数列an对任意n∈N*且n≥2，均存在正整数i∈[1,n﹣1]，满an+1=2an-ai，a1=1， a2=3．
（1）求a4可能值；

（2）命题p：若a1,a2,⋯,a8成等差数列，则a9<30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由；

（3）若a2m=3m，m∈N*成立，求数列an的通项公式．

参考答案与试题解析
2022年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1.
【答案】
6
【考点】
双曲线的简单几何性质
【解析】
根据双曲线的性质可得a＝3，实轴长为2a＝6．
【解答】
解：由双曲线x29-y2=1，可知：a＝3，
所以双曲线的实轴长2a＝6．
故答案为：6．
2.
【答案】
π
【考点】
三角函数的周期性
【解析】
由三角函数的恒等变换化简函数可得fx=cos2x+1，从而根据周期公式即可求值．
【解答】
解：fx=cos2x-sin2x+1
=cos2x-sin2x+cos2x+sin2x
=2cos2x
=cos2x+1,
T=2π2=π.
故答案为：π.
3.
【答案】
3
【考点】
二阶行列式的定义
【解析】
根据行列式所表示的值求解即可．
【解答】
解：因为a132＝2a﹣3，a041=a，
所以2a﹣3＝a，解得a＝3．
故答案为：3．
4.
【答案】
24π
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
由底面积为9π解出底面半径R＝3，再代入侧面积公式求解即可．
【解答】
解：因为圆柱的底面积为9π，即πR2＝9π，
所以R＝3，
所以S侧＝2πRh＝24π．
故答案为：24π．
5.
【答案】
32
【考点】
简单线性规划
【解析】
根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可．
【解答】
解：如图所示：

由x-y≤0，x+y-1≥0,可知可行域为直线x﹣y＝0的左上方和x+y﹣1＝0的右上方的公共部分，
联立x-y=0x+y-1=0，可得x=12y=12，即图中点A12,12，
当目标函数z＝x+2y沿着与正方向向量a→＝1,2的相反向量平移时，离开区间时取最小值，
即目标函数z＝x+2y过点A12,12时，取最小值：12+2×12=32．
故答案为：32．
6.
【答案】
10
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得n的值．
【解答】
解：∵ 二项式3+xn的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，
即Cn2×3n-2=5Cn0×3n，即 nn-12=5×9，
∴ n＝10，
故答案为：10．
7.
【答案】
1
【考点】
分段函数的应用
函数奇偶性的性质
【解析】
（1）由题意，利用奇函数的定义可得 f-x=-fx，故有f-1=-f1，由此求得a的值．
【解答】
解：∵ 函数fx=a2x-1x<0x+ax>00x=0，为奇函数，∴ f-x=-fx，
∴ f-1=-f1，∴ -a2-1=-a+1，即 aa-1=0，求得a=0或a=1．
当a=0时，fx=-1,x<00,x=0x,x>0，不是奇函数，故a≠0；
当a=1时，fx=x-1,x<00,x=0x+1,x>0,是奇函数，故满足条件，
综上，a=1，
故答案为：1．
8.
【答案】
37
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果．
【解答】
解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有C11⋅C31⋅C42+C11⋅C32⋅C41种，
而所有的抽取方法共有C84种，
故每一类都被抽到的概率为C11⋅C31⋅C42+C11⋅C32⋅C41C84=3070=37，
故答案为：37．
9.
【答案】
98
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数前n项和公式求出a1＝﹣2d，从而Sn=d2n2-5n，由此能求出结果．
【解答】
解：∵ 等差数列an的公差不为零，Sn为其前n项和，S5=0，
∴ S5=5a1+5×42d=0，解得a1=-2d，
∴ Sn=na1+nn-12d=-2nd+nn-12d=d2n2-5n，
∵ d≠0，∴ Sii=0,1,2,…,100中S0=S5=0,
S2=S3=-3d，S1=S4=-2d，
其余各项均不相等，
∴ Sii=0,1,2,…,100中不同的数值有：101﹣3＝98．
故答案为：98．
10.
【答案】
45  
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．
【解答】
解：由题意，有a→⋅b→=0，则a→⊥b→，设⟨a→,c→⟩=θ，
a→⋅c→=2b→⋅c→=1⇒a→c→cosθ=2,①b→c→cosπ2-θ=1,②
则②①得，tanθ=12，
由同角三角函数的基本关系得：cosθ=255，
则a→⋅c→=a→c→cosθ=λ⋅λ⋅255=2，
λ2=5，则λ=45．
故答案为:45  .
11.
【答案】
5-12,+∞
【考点】
函数的值域及其求法
函数的定义域及其求法
【解析】
由题可得y∣y=fx,0≤x≤5-12=Af，再根据a<5-12时不合题意，进而即得；或等价于11+x+a≤a恒成立，即1a-1+a≤x恒成立，进而即得．
【解答】
解：法一：令x=1x+1，解得x=5-12（负值舍去），
当x1∈0,5-12时，x2=1x1+1∈5-12,1，
当x1∈5-12,+∞时，x2=1x1+1∈0,5-12，
且当x1∈5-12,+∞时，总存在x2=1x1+1∈0,5-12，使得fx1=fx2，
故y∣y=fx,0≤x≤5-12=Af，
若a<5-12，易得f5-12∉{y∣y=fx,0≤x≤a}，
所以a≥5-12，
即实数a的取值范围为5-12,+∞；
法二：原命题等价于任意a>0，fx+a=f11+x+a，
所以11+x+a≤a⇒x≥1a-1+a恒成立，
即1a-1+a≤0恒成立，又a＞0，
所以a≥5-12，
即实数a的取值范围为5-12,+∞．
故答案为：5-12,+∞．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
根据集合的运算性质计算即可．
【解答】
解：∵ A＝[﹣1,2)，B=Z，
∴ A∩B＝{﹣1,0,1}，
故选：B．
2.
【答案】
A
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．
【解答】
解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，
又a＞b＞0，所以a+b>2ab，故A正确，B错误，
a2+2b≥2a2×2b=2ab，当且仅当a2=2b，即a＝4b时取等号，故CD错误，
故选: A．
3.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
线段MN上不存在点在线段A1S、 B1D上，即直线MN与线段A1S、 B1D不相交，因此所求与D1可视的点，即求哪条线段不与线段A1S、 B1D相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断．
【解答】
解：线段MN上不存在点在线段A1S、 B1D上，即直线MN与线段A1S、 B1D不相交，
因此所求与D1可视的点，即求哪条线段不与线段A1S、 B1D相交，
对A选项，如图，连接A1P、PS 、 D1S，因为P、S分别为AB、CD的中点，
∴ 易证A1D1//PS，故A1、D1  、P 、S  四点共面，∴ D1P与A1S相交，∴ A错误；

对B、C选项，如图，连接D1B、 DB，易证D1、B1  、B 、D四点共面，
故D1B、 D1R都与B1D相交，∴ B、C错误；

对D选项，连接D1Q，由A选项分析知A1、D1  、P 、S  四点共面记为平面A1D1PS，
∵ D1∈平面A1D1PS，Q∉平面A1D1PS，且A1S⊂平面A1D1PS，点D1∉A1S，
∴ D1Q与A1S为异面直线，
同理由B，C选项的分析知D1、B1  、B 、D四点共面记为平面D1B1BD，
∵ D1∈平面D1B1BD，Q∉平面D1B1BD，且B1D⊂平面D1B1BD，点D1∉B1D，
∴ D1Q与B1D为异面直线，
故D1Q与A1S，B1D都没有公共点，∴ D选项正确．

故选：D．
4.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
分k＝0，k＞0，k＜0，求出动点的轨迹，即可判定．
【解答】
解：当k＝0时，集合Ω=x,yx-k2+y-k22=4k|,k∈Z={0,0}，
当k＞0时，集合Ω=x,yx-k2+y-k22=4k|,k∈Z，
表示圆心为k,k2，半径为r=2k的圆，
圆的圆心在直线y=x2上，半径r=fk=2k单调递增，
相邻两个圆的圆心距d=k+1-k2+k+12-k22=4k2+4k+2，相邻两个圆的半径之和为l=2k+2k+1，
因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确，
若直线l斜率不存在，显然不成立，
设直线l:y=mx+n，若考虑直线l与圆x-k2+y-k22=4k的焦点个数，
d=mk+n-k2m2+1，r=2k，
给定m，n，当k足够大时，均有d＞r，
故直线l只与有限个圆相交，②错误．
故选: B.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.
1.
【答案】
解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC，
又O为AC边中点，所以△PAC为等腰三角形，
又AP＝AC＝2．所以△PAC是边长为2的为等边三角形，
∴ PO=3，三棱锥体积VP-ABC=13S△ABC⋅PO=13×34×22×3=1．
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

则P0,0,3，B3,0,0，C0,1,0，M32,12,0， 
PM→=32,12,-3，
平面PAC的法向量OB→=3,0,0，
设直线PM与平面PAC所成角为θ，
则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sinθ=PM→⋅OB→PM→⋅OB→=323×2=34，
所以PM与面PAC所成角大小为arcsin34.
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
直线与平面所成的角
【解析】
（1）直接利用体积公式求解；
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量，即可求解．
【解答】
解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC，
又O为AC边中点，所以△PAC为等腰三角形，
又AP＝AC＝2．所以△PAC是边长为2的为等边三角形，
∴ PO=3，三棱锥体积VP-ABC=13S△ABC⋅PO=13×34×22×3=1．
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

则P0,0,3，B3,0,0，C0,1,0，M32,12,0， 
PM→=32,12,-3，
平面PAC的法向量OB→=3,0,0，
设直线PM与平面PAC所成角为θ，
则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sinθ=PM→⋅OB→PM→⋅OB→=323×2=34，
所以PM与面PAC所成角大小为arcsin34.
2.
【答案】
解：（1）因为函数fx=log3a+x+log36-x，
将函数fx图像向下移mm>0后，得y＝fx﹣m＝log3a+x+log36-x-m的图像，
由函数图像经过点3,0和5,0，
所以log33+a+1-m=0log35+a+0-m=0，
解得a＝﹣2，m＝1．
（2）a>﹣3且a≠0时，不等式fx≤f6﹣x可化为log3a+x+log36-x≤log3a+6-x+log3x，
等价于a+x>06-x>0a+6-x>0x>0a+x6-x≤xa+6-x解得x>-ax<6x<a+6x>0ax-3≥0，
当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3，
当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6；
综上知，﹣3＜a＜0时，不等式fx≤f6﹣x的解集是(﹣a,3]，
a＞0时，不等式fx≤f6﹣x的解集是[3,6)．
【考点】
对数函数的图象与性质
不等式恒成立的问题
【解析】
（1）写出函数图像下移m个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出m和a的值．
（2）不等式化为log3a+x+log36-x≤log3a+6-x+log3x，写出等价不等式组，求出解集即可．
【解答】
解：（1）因为函数fx=log3a+x+log36-x，
将函数fx图像向下移mm>0后，得y＝fx﹣m＝log3a+x+log36-x-m的图像，
由函数图像经过点3,0和5,0，
所以log33+a+1-m=0log35+a+0-m=0，
解得a＝﹣2，m＝1．
（2）a>﹣3且a≠0时，不等式fx≤f6﹣x可化为log3a+x+log36-x≤log3a+6-x+log3x，
等价于a+x>06-x>0a+6-x>0x>0a+x6-x≤xa+6-x解得x>-ax<6x<a+6x>0ax-3≥0，
当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3，
当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6；
综上知，﹣3＜a＜0时，不等式fx≤f6﹣x的解集是(﹣a,3]，
a＞0时，不等式fx≤f6﹣x的解集是[3,6)．
3.
【答案】
解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB=10，BC=6，∠ABC=120∘，
由余弦定理可得OP2=OB2+BC2-2OB⋅BCcos∠ABC=36+100-2×6×10×-12)=196，
所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得OPsin120∘=BPsin∠POB    ，
所以1432=6sin∠POB，解得sin∠POB=3314，
所以∠POB的大小为arcsin3314；

（2）如图，连结QA，PB，OQ，OP，
∵ 曲线CMD上任意一点到O距离相等，
∴ OP＝OQ＝OM＝OC＝14，
∵ P，Q关于OM对称，
∴ P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S△QOM=S△POM=α，
则∠AOQ=∠BOP=S△BOP=π2-α，
则五边形面积S=2S△AOQ+S△QOM
＝212⋅OQ⋅OA⋅sinπ2-α+12⋅OQ⋅OM⋅sinα
＝196sinα+140cosα
=2874sinα+φ，其中tanφ=57，
当sinα+φ=1时，S五边形MQABP取最大值2874，
∴ 五边形MQABP面积S的最大值为2874．

【考点】
余弦定理
正弦定理
扇形面积公式
【解析】
（1）在△OBP中，直接利用余弦定理求出OP，再结合正弦定理求解；
（2）利用五边形CDQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题．
【解答】
解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB=10，BC=6，∠ABC=120∘，
由余弦定理可得OP2=OB2+BC2-2OB⋅BCcos∠ABC=36+100-2×6×10×-12)=196，
所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得OPsin120∘=BPsin∠POB    ，
所以1432=6sin∠POB，解得sin∠POB=3314，
所以∠POB的大小为arcsin3314；

（2）如图，连结QA，PB，OQ，OP，
∵ 曲线CMD上任意一点到O距离相等，
∴ OP＝OQ＝OM＝OC＝14，
∵ P，Q关于OM对称，
∴ P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S△QOM=S△POM=α，
则∠AOQ=∠BOP=S△BOP=π2-α，
则五边形面积S=2S△AOQ+S△QOM
＝212⋅OQ⋅OA⋅sinπ2-α+12⋅OQ⋅OM⋅sinα
＝196sinα+140cosα
=2874sinα+φ，其中tanφ=57，
当sinα+φ=1时，S五边形MQABP取最大值2874，
∴ 五边形MQABP面积S的最大值为2874．

4.
【答案】
解：（1）由题意可得a=2，b=c=2，
Γ:x24+y22=1，A0,-2 ，
∵ AM的中点在x轴上，
∴ M的纵坐标为2，
代入x+y-42=0得M32,2．
（2）由直线方程可知B0,42，
①若cos∠BAM=35，则tan∠BAM=43，即tan∠OAF2=43，
∴ OA=34OF2=342，
∴ b=342．
②若cos∠BMA=35，则sin∠BMA=45，
∵ ∠MBA=π4，∴ cos∠MBA+∠AMB=22×35-22×45=-210 ，
∴ cos∠BAM=210，∴ tan∠BAM=7．
即tan∠OAF2=7，∴ OA=27，∴ b=27，
综上b=342或27．
（3）设Pacosθ,bsinθ，
由点到直线距离公式可得acosθ+bsinθ-422=6-2a，
很明显椭圆在直线的左下方，则-acosθ+bsinθ-422=6-2a，
即42-a2+b2sinθ+φ=62-22a，
∵ a2=b2+2，∴ 2a2-2​sinθ+φ=22a-22，
据此可得a2-1sinθ+φ=2a-2，sinθ+φ=2a-2a2-1≤1，
整理可得a﹣13a﹣5≤0，即1≤a≤53，
从而d=6-2a≥6-2×53=83．
即d的最小值为83．
【考点】
直线与圆锥曲线的关系
椭圆的定义和性质
直线与椭圆结合的最值问题
点到直线的距离公式
【解析】
（1）由题意可得椭圆方程为x24+y22=1，从而确定M点的纵坐标，进一步可得点M的坐标；
（2）由直线方程可知B0,42，分类讨论cos∠BAM=35和cos∠BMA=35两种情况确定b的值即可；
（3）设Pacosθ,bsinθ，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得acosθ+bsinθ-422=6-2a，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得1≤a≤53即可确定d的最小值．
【解答】
解：（1）由题意可得a=2，b=c=2，
Γ:x24+y22=1，A0,-2 ，
∵ AM的中点在x轴上，
∴ M的纵坐标为2，
代入x+y-42=0得M32,2．
（2）由直线方程可知B0,42，
①若cos∠BAM=35，则tan∠BAM=43，即tan∠OAF2=43，
∴ OA=34OF2=342，
∴ b=342．
②若cos∠BMA=35，则sin∠BMA=45，
∵ ∠MBA=π4，∴ cos∠MBA+∠AMB=22×35-22×45=-210 ，
∴ cos∠BAM=210，∴ tan∠BAM=7．
即tan∠OAF2=7，∴ OA=27，∴ b=27，
综上b=342或27．
（3）设Pacosθ,bsinθ，
由点到直线距离公式可得acosθ+bsinθ-422=6-2a，
很明显椭圆在直线的左下方，则-acosθ+bsinθ-422=6-2a，
即42-a2+b2sinθ+φ=62-22a，
∵ a2=b2+2，∴ 2a2-2​sinθ+φ=22a-22，
据此可得a2-1sinθ+φ=2a-2，sinθ+φ=2a-2a2-1≤1，
整理可得a﹣13a﹣5≤0，即1≤a≤53，
从而d=6-2a≥6-2×53=83．
即d的最小值为83．
5.
【答案】
解：（1）a3=2a2-a1=5，a4=2a3-a2=7或a4=2a3-a1=9．
（2）∵ a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8为等差数列，
∴ d=2，an=2n-1n∈[1,8],n∈N*，
a9=2a8-ai=30-ai<30．
逆命题q：若a9<30，则a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8为等差数列是假命题，
举例：a1=1，a2=3，a3=5， a4=7， a5=9， a6=11，a7=13，
a8=2a7-a5=17，a9=2a8-a7=21．
（3）因为a2m=3m，
∴ a2m+2=3m+1，a2m+1=2a2m-ajj≤2m-1，a2m+2=2a2m+1-aii≤2m， 
∴ a2m+2=4a2m-2aj-ai，
∴ 2aj+ai=4a2m-a2m+2=4×3m-3m+1=3m=a2m，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明an+1>an恒成立：
当n=1，a2>a1明显成立，
假设n＝k时命题成立，即ak>ak-1>ak-2⋯>a2>a1>0，
则ak+1-ak=2ak-ai-ak=ak-ai>0，则ak+1>ak，命题得证．
回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：
1．若 j＝2m﹣1，则a2m=2aj+ai=2a2m-1+ai>a2m-1-ai矛盾，
2．若 j＝2m﹣2，则aj=3m-1，∴ ai=3m-2aj=3m-1，∴ i＝2m﹣2，
此时a2m+1=2a2m-aj=2×3m-3m-1=5×3m-1，
∴ an=1n=15×3n-32n=2k+1,k∈N*3n2n=2k,k∈N*
3．若j＜2m﹣2，则2aj<2×3m-1，
∴ ai=3m-2aj>3m-1，∴ j＝2m﹣1，
∴ a2m+2=2a2m+1-a2m-1（由（2）知对任意m成立），
a6=2a5-a3，
事实上：a6=2a5-a2矛盾．
综上可得an=1n=15×3n-32n=2k+1,k∈N*3n2n=2k,k∈N*．
【考点】
数列递推式
命题的真假判断与应用
数列的应用
数学归纳法
【解析】
（1）利用递推关系式可得a3＝5，然后计算a4的值即可；
（2）由题意可得an=2n-1n∈[1,8],n∈N*，则a9=2a8-ai<30，从而命题为真命题，给出反例可得命题q为假命题．
（3）由题意可得a2m+2=2a2m+1-aii≤2m，a2m+1=2a2m-ajj≤2m-1，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式．
【解答】
解：（1）a3=2a2-a1=5，a4=2a3-a2=7或a4=2a3-a1=9．
（2）∵ a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8为等差数列，
∴ d=2，an=2n-1n∈[1,8],n∈N*，
a9=2a8-ai=30-ai<30．
逆命题q：若a9<30，则a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8为等差数列是假命题，
举例：a1=1，a2=3，a3=5， a4=7， a5=9， a6=11，a7=13，
a8=2a7-a5=17，a9=2a8-a7=21．
（3）因为a2m=3m，
∴ a2m+2=3m+1，a2m+1=2a2m-ajj≤2m-1，a2m+2=2a2m+1-aii≤2m， 
∴ a2m+2=4a2m-2aj-ai，
∴ 2aj+ai=4a2m-a2m+2=4×3m-3m+1=3m=a2m，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明an+1>an恒成立：
当n=1，a2>a1明显成立，
假设n＝k时命题成立，即ak>ak-1>ak-2⋯>a2>a1>0，
则ak+1-ak=2ak-ai-ak=ak-ai>0，则ak+1>ak，命题得证．
回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：
1．若 j＝2m﹣1，则a2m=2aj+ai=2a2m-1+ai>a2m-1-ai矛盾，
2．若 j＝2m﹣2，则aj=3m-1，∴ ai=3m-2aj=3m-1，∴ i＝2m﹣2，
此时a2m+1=2a2m-aj=2×3m-3m-1=5×3m-1，
∴ an=1n=15×3n-32n=2k+1,k∈N*3n2n=2k,k∈N*
3．若j＜2m﹣2，则2aj<2×3m-1，
∴ ai=3m-2aj>3m-1，∴ j＝2m﹣1，
∴ a2m+2=2a2m+1-a2m-1（由（2）知对任意m成立），
a6=2a5-a3，
事实上：a6=2a5-a2矛盾．
综上可得an=1n=15×3n-32n=2k+1,k∈N*3n2n=2k,k∈N*．