修改-黄金分割.pptx
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1、这是什么?独立思考,不迷信权威;尊重事实,不感情用事;思辨分析,不混淆是非;严谨推理,不违背逻辑请欣赏几个趣味数学题1.你能破译密文吗?:,:,,,,,.Data Mining(一):,:,,,,,.舅舅:不要吃酒,吃舅舅:不要吃酒,吃酒误事,酒误事,吃了二两酒,不是动吃了二两酒,不是动怒,就是动武,怒,就是动武,吃酒要被酒杀死,一吃酒要被酒杀死,一点酒也不要吃。点酒也不要吃。2.你能翻译成成语或词吗?7 2 2x3 40 6 二四六八 1 1=1 10002=100100100 7/8 6873xData Mining(二)7 2 2x3 40 6 二四六八 1 1=1 10002=1001
2、00100 7/8 6873x不三不四不三不四 接二连三接二连三 陆续不断陆续不断 无独有偶无独有偶 一成不变一成不变 千方百计千方百计 七上八下七上八下了不起了不起thanks3.不识字人写的信以上几个趣味问题跟数学中的“数”、“式”、“图形”有关,是否也可以看做“数学文化”艳丽、美丽的事物洋紫荊(洋紫荊(5 5)蝴蝶蝴蝶兰兰(5 5)黃黃蝉蝉(5 5)19第二章第二章若干数学问题中的数学文化若干数学问题中的数学文化第一节第一节:黄金分割:黄金分割大自然的模式之一大自然的模式之一由课程教材研究所编著的人民教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书数学二年级下册第9单元找规律(第118页)中有
3、这样一道题:1 1 2 3 5 8 21思考:1)你熟悉这一数列吗?2)这一数列有实际背景吗?21我们先来做一个游戏!我们先来做一个游戏!22十秒十秒钟钟加加数数请请用十秒,用十秒,计算计算出左出左边边一一列数列数的的和和。1235813213455+89?时间到时间到!23十秒十秒钟钟加加数数再再来来一次!一次!3455891442333776109871597+2584?时间到时间到!游戏答案及规律两个游戏都不是两个游戏都不是“加加”出来的,而是出来的,而是“乘乘”出来的出来的第一个游戏的第一个游戏的答案是答案是:2111=231第二个游戏的第二个游戏的答案是答案是:61011=6710为
4、什么?为什么?与今天要学的内容与今天要学的内容斐波那契数列有关斐波那契数列有关31“斐波那契斐波那契数数列列”若一若一个数个数列,列,前两项前两项等等于于1 1,而,而从从第三第三项项起,每一起,每一项项是是其其前前两项两项之和,之和,则称该数则称该数列为列为斐波那契斐波那契数数列列。即:。即:1,1,2,3,5,8,13,32斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250)斐波那契为什么要研究这个数列?这个数列有那么重要吗?你猜自然界中存在着这样的数列表示的数量关系吗?34 一、兔子问题和斐波那契数列一、兔子问题和斐波那契数列 1 兔子问题兔子问题 1)问题问题 取自意大利数学家取自意
5、大利数学家斐波那契的斐波那契的算盘书算盘书(1202年)年)(L.Fibonacci,1170-1250(L.Fibonacci,1170-1250)35兔子问题兔子问题 假设假设一一对对初生兔子要初生兔子要一个月一个月才到成熟才到成熟期,而一期,而一对对成熟兔子每月成熟兔子每月会会生一生一对对兔子,兔子,那那么么,由一,由一对对初生兔子初生兔子开开始,始,12 12 个个月月后会后会有多少有多少对成熟对成熟兔子呢?兔子呢?(即第(即第1313个月时)个月时)36解答解答1:图示法:图示法1 1 月月 1 1 对对37解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对38解答解答1
6、1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对39解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对40解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对41解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6 月月 8 8 对对42解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月
7、月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6 月月 8 8 对对7 7 月月13 13 对对43解答解答2:列表法:列表法可以可以将结将结果以列果以列表表形式形式给给出:出:2 2月月3 3月月4 4月月6 6月月5 5月月7 7月月8 8月月9 9月月1010月月1 12 2月月1 11 1月月1 13 3月月1 11 12 23 35 58 813132121343455558989144144因此,斐波那契因此,斐波那契问题问题的答案是的答案是 144144对成对成熟兔子熟兔子。以以上数列上数列,即即“斐波那契斐波那契数数列列”解答3:树图法 表示小兔子,表示大兔子1月 2月 (1个
8、月后)13月 14月 25月 36月 5有规律吗?(到第13个月时有144对成熟兔子)45 兔子问题的另外一种提法:兔子问题的另外一种提法:第一个月是一对大兔子,类似繁殖;到第十二第一个月是一对大兔子,类似繁殖;到第十二个月时,共有多少对兔子?个月时,共有多少对兔子?月月 份份 大兔对数大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子到十二月时有大兔子144对,小兔子对,小兔子89对,对,共有兔子共有兔子144+89=233对。对。规律规律46 2 斐波那契数列斐波那契数列 1
9、)公式公式 用用 表示第表示第 个月大兔子的对数,则有个月大兔子的对数,则有二阶递二阶递推公式推公式 (第(第 个月大兔子对数对于上个月大兔子对数个月大兔子对数对于上个月大兔子对数 与与小兔子对数之和,而上个月小兔子对数又等于上上个小兔子对数之和,而上个月小兔子对数又等于上上个月大兔子对数月大兔子对数 ,所以,所以 )47 2)斐波那契数列斐波那契数列 令令n=1,2,3,依依次次写写出出数数列列,就就是是 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,这这就就是是斐斐波波那那契契数数列列。其其中中的的任任一一个个 数,都叫数,都叫斐波那契数斐波那契数。48斐波
10、那契斐波那契数数列列的有趣特性的有趣特性数学数学家家发现发现了了许多许多斐波那契斐波那契数数列的特性。列的特性。例如:例如:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,第第3 3、6 6、9 9、1212等项等项的的数数字能被字能被2 2整除。整除。第第4 4、8 8、1212等项等项的的数数字能被字能被3 3整除。整除。第第5 5、1010等项等项的的数数字能被字能被5 5整除。整除。其其余依余依此此类类推。推。49 思思:请构造一个请构造一个3阶递推公式。阶递推公式。公务员考试中就有找数的规律的一些题目公务员考试中就有找数的规律的一些题目.小学数学中就有找数的规律的训练小
11、学数学中就有找数的规律的训练义务教育数学课程标准义务教育数学课程标准中有以下例子:中有以下例子:在下面的横线上填数,使这列数具有某种规在下面的横线上填数,使这列数具有某种规律,并说明有怎样的规律。律,并说明有怎样的规律。3,5,7,,.你能写出一种不足为奇,你能写出一种不足为奇,你能写出几种?你能写出几种?(1)在横线上依次填入)在横线上依次填入9,11,13,形成奇,形成奇数列。数列。(2)在横线上依次填入)在横线上依次填入11,17,27,使这,使这列数从第三个数开始,每个数都是前两个的列数从第三个数开始,每个数都是前两个的和减和减1。(3)在横线上依次填入在横线上依次填入27,181,4
12、897,使这,使这列数从第三个数开始,每个数都是前两个的列数从第三个数开始,每个数都是前两个的积减积减8。训练合情推理、数学猜想训练合情推理、数学猜想52 二、二、相关的问题相关的问题 斐斐波波那那契契数数列列是是从从兔兔子子问问题题中中抽抽象象出出来来的的,如如果果它它在在其其它它方方面面没没有有应应用用,它它就就不不会会有有强强大大的的生生命命力力。发发人人深深省省的的是是,斐斐波那契数列确实在许多问题中出现。波那契数列确实在许多问题中出现。53 1 跳格游戏跳格游戏 54 如图,一个人站在如图,一个人站在“梯子格梯子格”的起点处的起点处向上跳,从格外只能进入第向上跳,从格外只能进入第1
13、1格,从格中,格,从格中,每次可向上跳一格或两格,问:每次可向上跳一格或两格,问:可以用多可以用多少种方法,跳到第少种方法,跳到第n n格?格?解:设跳到第解:设跳到第n n格的方法有格的方法有 种。种。由于他跳入第由于他跳入第1 1格,只有一种方法;跳入格,只有一种方法;跳入第第2 2格,必须先跳入第格,必须先跳入第1 1格,所以也只有一格,所以也只有一种方法,从而种方法,从而 55 而能一次跳入第而能一次跳入第n格的,只有第格的,只有第 和第和第 两格,因此,跳入第两格,因此,跳入第 格的方法格的方法 数,是跳入第数,是跳入第 格的方法数格的方法数 ,加上跳入,加上跳入 第第 格的方法数格
14、的方法数 之和。之和。即即 。综合得递推公式。综合得递推公式 容易算出,跳格数列容易算出,跳格数列 就是斐波那契数列就是斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,56 4 连分数连分数 这这 不不 是是 一一 个个 普普 通通 的的 分分 数数,而而 是是 一一 个个 分分母母 上上 有有 无无 穷穷 多多 个个“1”的的 繁繁 分分 数数,我我 们们 通通 常常称这样的分数为称这样的分数为“连分数连分数”。你能看出这个连分数可以通过什么样的式子得到?你能看出这个连分数可以通过什么样的式子得到?57 上述连分数可以看作上述连分数可以看作(看得出是关键)(看得出是关键)是是 中,把
15、中,把 的表达式反复代入等号的表达式反复代入等号右端得到的;例如,第一次代入得到的是右端得到的;例如,第一次代入得到的是 反复迭代,就得到上述连分数。反复迭代,就得到上述连分数。58 上述这一全部由上述这一全部由1构成的连分数,构成的连分数,是最简单的一个连分数。是最简单的一个连分数。59 通常,求连分数的值,如同求无理数的通常,求连分数的值,如同求无理数的值一样,我们常常需要求它的近似值。值一样,我们常常需要求它的近似值。如果把该连分数从第如果把该连分数从第 条分数线截住,即条分数线截住,即把第把第 条分数线上、下的部分都删去,就条分数线上、下的部分都删去,就得到该连分数的第得到该连分数的第
16、 次近似值,记作次近似值,记作 。60 对照对照 可算得可算得 61 发现规律后可以改一种方法算,发现规律后可以改一种方法算,例如例如 顺序排起来,顺序排起来,这个连分数的近似值逐次为这个连分数的近似值逐次为 62 5 黄金矩形黄金矩形 1)定定义义:一一个个矩矩形形,如如果果从从中中裁裁去去一一个个最最大大的的正正方方形形,剩剩下下的的矩矩形形的的宽宽与与长长之之比比,与与原原矩矩形形的的一一样样(即即剩剩下下的的矩矩形形与与原原矩矩形形相相似似),则则称称具具有有这这种种宽宽与与长长之之比比的的矩矩形形为为黄黄金金矩矩形形。黄黄金金矩矩形形可可以以用用上上述述方法无限地分割下去。方法无限地
17、分割下去。6364 2)试求黄金矩形的宽与长之比(也称为试求黄金矩形的宽与长之比(也称为黄金比)黄金比)解:设黄金比为解:设黄金比为 ,则有,则有 将将 变形为变形为 ,解,解 得得 ,其正根为,其正根为 。65 3)与斐波那契数列的联系与斐波那契数列的联系 为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系,我们为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系,我们 把黄金比化为连分数,去求黄金比的近似值。化把黄金比化为连分数,去求黄金比的近似值。化 连分数时,沿用刚才连分数时,沿用刚才“迭代迭代”的思路:的思路:66 反复迭代,得反复迭代,得 也可以这样变形注意到前面求黄金比黄金比 所满足的等式所满足的等式 则可以做如
18、下变形:则可以做如下变形:这就是前面讨论过的产生最简单连分数的那个等式这就是前面讨论过的产生最简单连分数的那个等式68 它它竟竟然然与与我我们们在在上上段段中中研研究究的的连连分分数数一一样样!因因此此,黄黄金金比比的的近近似似值值写写成成分分数数表表达的数列,也是,达的数列,也是,其其分分子子、分分母母都都由由斐斐波波那那契契数数列列构构成成。并并且,这一数列的极限就是黄金比且,这一数列的极限就是黄金比 。69 三、三、黄金分割黄金分割 1 定义:定义:把任一线段分割成两段,把任一线段分割成两段,使使 ,这样的分割叫黄金分割,这样的分割叫黄金分割,这样的比值叫黄金比。这样的比值叫黄金比。(可
19、以有两个分割点)(可以有两个分割点)1小段小段大段大段70 2 求黄金比求黄金比 解:设黄金比为解:设黄金比为 ,不妨设全段长为,不妨设全段长为 1,则大段,则大段=,小段,小段=。故有故有 ,解得解得 ,其正根为,其正根为 A B 小段小段大段大段71 3 黄金分割的尺规作图黄金分割的尺规作图 设线段为设线段为 。作。作 ,且,且 ,连,连 。作。作 交交 于于 ,再作再作 交交 于于 ,则,则 ,即即为为 的黄金分割点。的黄金分割点。72 证:不妨令证:不妨令 ,则,则 ,证完。证完。73 4.黄金分割的美黄金分割的美 黄黄金金分分割割之之所所以以称称为为“黄黄金金”分分割割,是是比比喻喻
20、这这一一“分分割割”如如黄黄金金一一样样珍珍贵贵。黄黄金金比比,是是工工艺艺美美术术、建建筑筑、摄摄影影等等许许多多艺艺术术门门类类中中审审美美的的因因素素之之一一。认认为为它它表表现现了了恰恰到好处的到好处的“和谐和谐”。例如例如:74 1)人体各部分的比人体各部分的比 肚肚 脐脐:(头(头脚)脚)印堂穴:印堂穴:(口(口头顶)头顶)肘关节:肘关节:(肩(肩中指尖)中指尖)膝膝 盖:盖:(髋关节(髋关节足尖)足尖)752)著名建筑物中各部分的比著名建筑物中各部分的比 如埃及的金字塔,如埃及的金字塔,高(高(137米)与底边长米)与底边长(227米)之比为米)之比为0.629古希腊的巴特农神殿
21、,古希腊的巴特农神殿,塔高与工作厅高之比为塔高与工作厅高之比为340 5530.61576 3)美观矩形的美观矩形的 宽长比宽长比 如国旗和其它用到如国旗和其它用到矩形的地方(建筑、家矩形的地方(建筑、家具)具)4)风景照片中,风景照片中,地平线位置的安排地平线位置的安排 775)正五角星中的比正五角星中的比78 6)舞台报幕者舞台报幕者 的最佳站位的最佳站位 在整个舞台宽度的在整个舞台宽度的0.618处较美处较美 7)小说、戏剧的小说、戏剧的 高潮出现高潮出现 在整个作品的在整个作品的0.618处较好处较好79 四、四、优选法优选法(自学)自学)1 华罗庚的优选法(华罗庚的优选法(“0.61
22、8法法”)二二十十世世纪纪六六十十年年代代,华华罗罗庚庚创创 造造了了 并并证证 明明了了优优选选法法,还还用用很很大大的的精精力力去去推推 广广优优选法。选法。“优优选选法法”,即即对对某某类类单单因因素素问问题题,用用最少的试验次数找到最少的试验次数找到“最佳点最佳点”的方法。的方法。80 例如,炼钢时要掺入某种化学元素加大钢例如,炼钢时要掺入某种化学元素加大钢 的强度,掺入多少最合适?假定已经知道每的强度,掺入多少最合适?假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到克到2000克之间,现克之间,现求最佳加入量求最佳加入量,误差,误差不得超过不
23、得超过1克。最克。最“笨笨”的方法是分别加入的方法是分别加入100克,克,1002克,克,1000克,做克,做1千次试千次试验,就能发现最佳方案验,就能发现最佳方案。81 一种动脑筋的办法是二分法,取一种动脑筋的办法是二分法,取10001000克克20002000克的中点克的中点15001500克。再取进一步二分法的中点克。再取进一步二分法的中点12501250克与克与17501750克,分别做两次试验。如果克,分别做两次试验。如果17501750克处效克处效果较差,就删去果较差,就删去17501750克到克到20002000克的一段,如果克的一段,如果12501250克处效果较差,就删去克处
24、效果较差,就删去10001000克到克到12501250克的一克的一段。再在剩下的一段中取中点做试验,比较效果段。再在剩下的一段中取中点做试验,比较效果决定下一次的取舍,这种决定下一次的取舍,这种“二分法二分法”会不断接近会不断接近最好点,而且所用的试验次数与上法相比,大大最好点,而且所用的试验次数与上法相比,大大减少。减少。82 表表 面面 上上 看看 来来,似似 乎乎 这这 就就 是是 最最 好好 的的 方方法法。但但 华华 罗罗 庚庚 证证 明明 了了,每每 次次 取取 中中 点点 的的 试试 验验方方 法法 并并 不不 是是 最最 好好 的的 方方 法法;每每 次次 取取 试试 验验
25、区区 间间的的 0.6 1 8处处 去去 做做 试试 验验 的的 方方 法法,才才 是是 最最 好好的,称之为的,称之为“优选法优选法”或或“0.618法法”。华华 罗罗 庚庚 证证 明明 了了,这这 可可 以以 用用 较较 少少 的的 试试 验验次数,较快地逼近最佳方案。次数,较快地逼近最佳方案。83 2 黄金分割点的再生性和黄金分割点的再生性和“折纸法折纸法”黄金分割点的再生性黄金分割点的再生性84 即:即:如果是如果是 的黄金分割点,的黄金分割点,是是 的的黄金分割点,黄金分割点,与与 当然关于中点当然关于中点 对称。对称。特殊的是,特殊的是,又恰是又恰是 的黄金分割点。同样,的黄金分割
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