傅里叶变换经典.pptx
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1、1积分变换积分变换Fourier变换变换Recall:周期函数在一定条件下可以展开为周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数级数;但全直线上的非周期函数不能用但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示表示;引进类似于引进类似于Fourier级数的级数的Fourier积分积分(周期趋于无穷时的极限形式周期趋于无穷时的极限形式)21Fourier积分公式积分公式1.1Recall:在工程计算中在工程计算中,无论是电学还是力学无论是电学还是力学,经常要和随时间经常要和随时间变化的周期函数变化的周期函数fT(t)打交道打交道.例如例如:具有性质具有性质fT(t+T)=fT(t),其中其中T
2、 T称作周期称作周期,而而1/T代表代表单位时间振动的次数单位时间振动的次数,单位时间通常取秒单位时间通常取秒,即每秒重复即每秒重复多少次多少次,单位是赫兹单位是赫兹(Herz,或或Hz).).t3 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近线性组合来逼近.Fourier级数级数方波方波4个正弦波的逼近个正弦波的逼近100个正弦波的逼近个正弦波的逼近4 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内
3、的情况即可情况即可,通常研究在闭区间通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的内函数变化的情况情况.是以是以T为周期的函数,在为周期的函数,在上满足上满足Dirichlet条件:条件:连续或只有有限个第一类间断点;连续或只有有限个第一类间断点;只有有限个极值点;只有有限个极值点;可展开成可展开成Fourier级数,且在连续点级数,且在连续点t处成立:处成立:5引进复数形式:引进复数形式:6级数化为:级数化为:7合并为:合并为:级数化为:级数化为:若以若以描述某种信号,描述某种信号,则则可以刻画可以刻画的特征频率。的特征频率。8 对任何一个非周期函数对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某
4、个周期都可以看成是由某个周期函数函数fT(t)当当T时转化而来的时转化而来的.作周期为作周期为T的函数的函数fT(t),使其在使其在-T/2,T/2之内等于之内等于f(t),在在-T/2,T/2之外按周期之外按周期T延拓到整个数轴上延拓到整个数轴上,则则T越大越大,fT(t)与与f(t)相等的范围也越大相等的范围也越大,这就说明当这就说明当T时时,周期函数周期函数fT(t)便可转化为便可转化为f(t),即有即有9例例 矩形脉冲函数为矩形脉冲函数为如图所示如图所示:1-1Otf(t)1101-13T=4f4(t)t 现以现以f(t)为基础构造一周期为为基础构造一周期为T的周期函数的周期函数fT(
5、t),令令T=4,则则11则则12sinc(x)xsinc函数介绍函数介绍13前面计算出前面计算出w可将可将以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上141-17T=8f8(t)t现在将周期扩大一倍现在将周期扩大一倍,令令T=8,以以f(t)为基础构造为基础构造一周期为一周期为8的周期函数的周期函数f8(t)15则则16则在则在T=8时时,再将再将以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上17如果再将周期增加一倍如果再将周期增加一倍,令令T=16,可计算出可计算出w再将再将以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上18一般地一般地,对于周期对于周期T19 当周期当周期T越来越大时越来越大时,各个频率的正弦波的频
6、率间各个频率的正弦波的频率间隔越来越小隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状函数的形状,因此因此,如果将方波函数如果将方波函数f(t)看作是周看作是周期无穷大的周期函数期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即将那个频率上的轮廓即sinc函数的函数的形状看作是方波函数形状看作是方波函数f(t)的各个频率成份上的分布的各个频率成份上的分布,称称作方波函数作方波函数f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换.201.21.2Fourier积分公式与积分公式与Fo
7、urier积分存在定理积分存在定理21O w1 w2 w3 wn-1wnw222324付氏积分公式也可以转化为三角形式付氏积分公式也可以转化为三角形式25又考虑到积分又考虑到积分262Fourier变换变换2.1Fourier变换的定义变换的定义27 Fourier积分存在定理的条件是积分存在定理的条件是Fourier变换存在的变换存在的一种充分条件一种充分条件.28 在频谱分析中在频谱分析中,傅氏变换傅氏变换F()又称为又称为f(t)的频谱函的频谱函数数,而它的模而它的模|F()|称为称为f(t)的振幅频谱的振幅频谱(亦简称为频谱亦简称为频谱).).由于由于 是连续变化的是连续变化的,我们称
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