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不定积分解题方法总结

摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。
关键词：不定积分；总结；解题方法

不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。

1. 利用基本公式。（这就不多说了~）
2. 第一类换元法。（凑微分）
设f(μ)具有原函数F(μ)。则

其中可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：
例1：
【解】
例2：
【解】

3. 第二类换元法：
设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

4. 分部积分法.
公式：
分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：
（1） 降低多项式部分的系数
（2） 简化被积函数的类型
举两个例子吧~！
例3：
【解】观察被积函数，选取变换,则

例4：
【解】

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。
在中，的选取有下面简单的规律：

将以上规律化成一个图就是：

（a^x
arcsinx）
（lnx
Pm(x)
sinx)
ν
μ

但是，当时，是无法求解的。
对于（3）情况，有两个通用公式：

（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5 不定积分中三角函数的处理
1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。
被积函数上下同乘变形为

令，则为

2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意的使用。

三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。
3. 函数的降次
①形如积分（m，n为非负整数）
当m为奇数时，可令，于是
，
转化为多项式的积分
当n为奇数时，可令，于是
，
同样转化为多项式的积分。
当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：

不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

② 形如和的积分（n为正整数）
令，则，，从而

已转化成有理函数的积分。
类似地，可通过代换转为成有理函数的积分。

③形如和的积分（n为正整数）
当n为偶数时，若令，则，于是

已转化成多项式的积分。
类似地，可通过代换转化成有理函数的积分。
当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。

4.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。

5. 几种特殊类型函数的积分。
（1） 有理函数的积分
有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：）
1.有理真分式化为部分分式之和求解
①简单的有理真分式的拆分

②注意分子和分母在形式上的联系

此类题目一般还有另外一种题型：

2.注意分母（分子）有理化的使用
例5：
【解】

故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分
万能公式：
的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。
对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系数 来做。（注：没举例题并不代表不重要~）

（3） 简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现时，可令；同时出现时，可令；同时出现时，可令x=sint；同时出现时，可令x=cost等等。
（4）善于利用，因为其求导后不变。

这道题目中首先会注意到，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为与分母差，另外因为求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以。
（5）某些题正的不行倒着来

这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当这类一般的换元法行不通时尝试下。这种思路类似于证明题中的反证法。
（6）注意复杂部分求导后的导数

注意到:

本题把被积函数拆为三部分：，的分子为分母的导数，的值为1，的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。
（7）对于型积分，考虑的符号来确定取不同的变换。
如果，设方程两个实根为，令
，
可使上述积分有理化。
如果，则方程没有实根，令
，
可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设
，
至于采用哪种替换，具体问题具体分析。