钢筋混凝土结构的有限元.pptx
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1、因为钢筋混凝土结构由钢筋和混凝土两种材料组成。如何将这类结构离散化,这一问题与一般均匀连续的由一种或几种材料组成的结构有类似之处,但也有不同之点。由于钢筋混凝土结构中的钢筋一般被包裹于混凝土之中,而且相对体积较小,因之,在建立钢筋混凝土的有限元模型时,必须考虑到这一特点。通常构成钢筋混凝土结构的有限元模型主要有三种方式:分离式、组合式和整体式。现在分别介绍如下。3.1 分离式模型分离式模型 分离式模型把混凝土和钢筋作为不同的单元来处理。即混凝土和钢筋各自被划分为足够小的单元。在平面问题中,混凝土可划分为三角形或四边形单元,钢筋同样也可划分为三角形或四边形单元。考虑到钢筋是一种细长材料,通常可忽
2、略其横向抗剪强度,这样,可以将钢筋作为线形单元来处理。如此处理,可以大大减少单元数目,并且可避免因钢筋单元划分过细而在钢筋和混凝土的交界处采用很多过渡单元。在分离式模型中,钢筋和混凝土之间可以插入连接单元来模拟钢筋和混凝土之间的粘结和滑移,见图3-l。这一点是组合式或整体式有限元模型无法实现的。若钢筋和混凝土之间粘接很好,不会有相对滑移,则两者之间可视为刚性连接,这时也可不用连接单元。1双弹簧连接单元双弹簧连接单元在钢筋混凝土有限元分析中,有一种特殊单元即能描述钢筋与混凝土之间粘结作用的单元。一般有常用的两种单元,即双弹簧连接单元与四边形滑移单元。这一节先介绍双弹簧连接单元。如图3-9所示,在
3、垂直于钢筋和平行于钢筋表面方向设置互相垂直的一组弹簧。这组弹簧是设想的力学模型,它具有弹性刚度,但并无实际几何尺寸,所以它可以放置在需要设置连接的任何地方。这种双弹簧单元,可以不计算弹簧中的应力而直接建立节点力与节点位移之间的关系,因为弹簧刚度经常用单位伸长所需要的力来表示。设节点i,j在局部坐标系中产生位移差,可由节点位移表示为 用矩阵表示 (3-72)分别表示沿 和 方向的位移差值。若局部坐标轴 与整体坐标轴 的夹角为 ,则上式中的ccos ,ssin 。又设弹簧刚度在 与 方向分别为 和 ,则内力和位移差之间的关系为 (3-73)其中 与 分别为沿 与沿 方向弹簧中的内力。利用虚功原理可
4、以建立节点力与内力之间的关系式中:节点力 。将式(3-72)和式(3-73)代入,可得其中 即为连接单元的刚度矩阵。具体乘出展开后可得显式表达如下其中 与 数值受到钢筋表面性质、直径和间距,混凝土的品种、强度,构件尺寸,单元划分等许多因素的影响,应从实验数据出发根据不同的具体情况确定。2四边形滑移单元四边形滑移单元这种单元是一种退化了的四边形单元,即宽度等于零的四边形单元。它首先由美国学者古德曼(Goodman)用于岩石力学中作为节理单元,后又引申用于各种边界接触面的单元,如基础与土壤之同,桩与土之间的接触单元,钢筋与混凝土间的粘结滑移单元。由于这种单元宽度等于零,所以它可以很方便地放于钢筋和
5、混凝土之间而不影响钢筋与混凝土单元的几何划分。由于这种单元由四边形单元退化而来,它可应用和混凝土单元同样的位移插值函数,因而可以建立更为协调的关系。图3-10表示一个4节点平面滑移单元,节点用1,2,3,4表示,它的宽度t0,这表示1和4,3和2节点在开始时占有同一空间位置。设单元局部坐标为 ,其方向由 与整体坐标轴 的夹角 来确定。设在局部坐标中上层3-4对下层1-2的相对滑移为取线性位移插值 式中:,和 为待定常数。(3-77)将节点坐标值代入上式,可得如下4个方程;求解此方程,可以求得4个待定常数如下=()+()=()()()+()=()()将此式代回式(3-77),可得下列关系:用矩阵
6、形式表示,可简写为 式中:节点位移列阵 形函数矩阵;由物理关系,将节点力和位移差联系起来:其中 与 表示切向与法向的材料刚度系数,它可由实验决定。运用能量原理,可得单元刚度矩阵为:积分后展开,可得单元刚度矩阵的表达式如下:因刚度矩阵是按总体坐标集合的,单元刚度矩阵在集合到整体刚度矩阵中去以前,应先进行坐标转换。这可以通过坐标转换矩阵来实现:式中:整体坐标系中的单元刚度矩阵;局部坐标系中的单元刚度矩阵;坐标转换矩阵。它可用下列式子表示:将式(3-87)乘出展开后可以得到具体的单元刚度矩阵表达式为 式中:这一四边形单元也可应用高次插值函数、例如6节点曲边单元。经分析,若在沿钢筋的单元网格划分不均匀
7、时,或者在混凝土和钢筋应用高次插值单元的情况下,四边形单元可以更自然地得到比较协调的刚度矩阵。3.2 组合式模型组合式模型 1.分层组合式分层组合式在组合式模型中,最常用的有两种方式,第一种为分层组合式,即在横截面上分成许多混凝土层和若干钢筋层,并对截面的应变做出某些假定(如应变沿截面高度为直线分布是应用最广泛的一种假设)。根据材料的实际应力应变关系和平衡条件可以导出单元的刚度表达式(包括轴向刚度和弯曲刚度)。这种组合方式在杆件系统,尤其在钢筋混凝土板、壳结构中应用很广。这一方法将混凝土分为许多条带,对钢筋则同一层钢筋分为同一钢筋条带。对一般受弯构件,将混凝土分为710层计算弯矩和曲率的关系即
8、能满足工程要求。计算中、假定每一条带上的应力是均匀分布的。以受弯构件为例(见图3-11),实际计算可按下列步骤进行。(1)加一级荷载 ,由刚度计算出曲率增量。(2)计算每一条带的应变(3)由钢筋与混凝土的 关系求出每一条带的应力 和(4)求出每一条带的作用力并求出合力矩和合力(5)检查是否满足,满足了可加下一级荷载,不满足时应重新计算中和轴和曲率。轴向力 大于零时,中和轴应稍向下调(增大压区面积),反之则向上调,当 偏小时,应增加曲率,反之应减小曲率,这一过程用手算是比较麻烦的。但由计算机进行还是相当迅速的。2.带钢筋的四边形单元带钢筋的四边形单元设任意四边形单元中包含有一根钢筋,如图3-l
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