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配方法的拓展与解析

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。配方法的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab。
配方法在数学的教与学中有着广泛的应用。在初中阶段它主要适用于：一元二次方程、二次函数、二次代数式的讨论与求解。经过几年的教学实践发现：很多情况下用配方法解一元二次方程或者求二次函数的顶点坐标要比用公式法简单实用。
在应用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0）时有两种做法：
一种是先移走常数项，然后方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1，再两边同时加上一次项系数（除以二次项系数后的）一半的平方，把原方程化成(x＋m)=n(n≥0)的形式，再两边同时开方，把一元二次方程转化为一元一次方程。
典型例题：2x2+6x-3=0
解法1：移项得：2x2+6x=3
两边同时除以2得：
两边同时加得:
所以：
开方得：或
解得：
另一种方法是先移走常数项，然后通过“凑”与“配”进行配方。
解法2：移项得：2x2+6x=3
原方程变为：
即原方程化为：
两边同时开方得：或
解得：
与用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函数的顶点坐标时，要把二次项和一次项看作一个整体，提出（而不是除以）二次项的系数，再进行配方，但配方时与解一元二次方程的配方有所不同。
典型例题2：用配方法求的顶点坐标
解：
=
=
=
=
如上例，用配方法求二次函数顶点坐标时，不是等号两边同时加上一次项系数一半的平方，而是在中括号里加上一次项系数一半的平方，但为了保持原有的二次函数不变，必须在中括号里再减去一次项系数一半的平方。这是学生在以后学习用配方法求二次函数顶点坐标时经常与用配方法解一元二次方程相混淆的地方，也是学生经常出错的地方。
另外配方法在二次代数式的讨论与求解中应用也非常广泛。
典型例题3：用配方法证明:无论x为何实数，代数式的值恒大于零。
与用配方法求二次函数的顶点坐标类似，此题也是把二次项和一次项看作一个整体，并对其进行配方。解法如下:
∵
=
=＞0
∴无论x为何实数，代数式的值恒大于零。
典型例题4：若，求的值。
此题可以运用“裂项”与“凑”的技巧，把-20xy裂成-18xy与-2xy的和，来完成配方，并根据完全平方式为非负数的性质把二元二次方程化为二元一次方程组。其解法如下：
∵
∴
即
∴，
∴
典型例题5：（2005 卡西欧杯 全国初中数学竞赛）若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数)，则M的值一定是（ ）
A 正数 B负数 C零 D整数
精析：先将元多项式转化成几个完全平方式的和的形式，然后就其结构特征进行合理的分析、推理，可达到目的。
解：因为M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2≥0并且2（x-2y）2,（x-2）2,（y+3）2这三个式子不能同时为0，所以M〉0，故选A。
典型例题6 化简二次根式
精析：复合二次根式的化简是竞赛中比较常见的问题，化简的关键是将被开方数化成完全平方的形式，要用到配方的思想。
解：
同理可得
所以，原式=8
典型例题7 已知三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,请你判断这个三角形的形状。
精析：确定三角形的形状，主要是讨论三条边之间的关系。代数式a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蕴含了完全平方式，我们要重新拆项，组合如下：
2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab +b2+ a2-2ac+ c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
所以a=b=c
三角形是等边三角形