第六章实数知识点归纳及典型例题.doc

第十三章实数----知识点总结
一、算术平方根
1. 算术平方根的定义： 一般地，如果 的 等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做 ．
规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式 (x≥0)中，规定。
理解： (x≥0)
a是x的平方 x的平方是a x是a的算术平方根 a的算术平方根是x
2. 的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；
当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；
4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法： ）

二、平方根
1. 平方根的定义：如果 的平方等于a，那么这个数x就叫做a的 ．即：如果 ，那么x叫做a的 ．
理解： <—>
a是x的平方 x的平方是a x是a的平方根 a的平方根是x

2.开平方的定义：求一个数的 的运算，叫做 ．开平方运算的被开方数必须是 才有意义。
3. 平方与开平方 ：3的平方等于9，9的平方根是3
4. 一个正数有 平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数 平方根，即负数不能进行开平方运算
5. 符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；
正数a的负的平方根可用-表示．
6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
三、立方根
1. 立方根的定义：如果 的 等于，这个数叫做的 （也叫做 ），即如果 ，那么叫做的立方根。
2. 一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，
其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
理解： <—>
a是x的立方 x的立方是a x是a的立方根 a的立方根是x
3. 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；
一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。
四、实数
1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数

4. 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：

5. 实数与数轴上点的关系：
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大
6. 数的相反数是，这里表示任意一个实数。
7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
8. 无限小数是有理数（ ） 无限小数是无理数（ ）
有理数是无限小数（ ） 无理数是无限小数（ ）
数轴上的点都可以用有理数表示（ ） 有理数都可以由数轴上的点表示（ ）
数轴上的点都可以用无理数表示（ ） 无理数都可以由数轴上的点表示（ ）
数轴上的点都可以用实数表示（ ） 实数都可以由数轴上的点表示（ ）
五、考点分析
类型一、有关概念的识别
例1．下面几个数：，其中，无理数的个数有
　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A、的平方根是±3　B、1的立方根是±1　C、 D、是5的平方根的相反数
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
　　　A、1.5　　　 B、1.4　　　 C、 　　　D、
类型二、计算类型题
例2．设，则下列结论正确的是（ ）
　　A. 　　　B. C. 　　　　D.
　举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________.
【变式2】求下列各式中的
　　 （1） 　　　（2）　　　　（3）

类型三、数形结合
例3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为2，则A，B两点的距离为______
举一反三：
【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．

A． B． C． D．
类型四、实数非负性的应用
例4．已知，求的值。

【变式1】已知，求的值。

类型五、易错题
例5．判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3 （ ）　　　（2）的平方根是±15 （ ）
（3）当x=0或2时，　（ ）　　 （4）是分数 （ ）
类型六、实数应用题
例6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。

类型七、引申提高
例7. 把下列无限循环小数化成分数：① ② ③

一、填空题
1、（-0.7）2的平方根是　 　
2、若=25,=3,则a+b=　 　
3、已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是　 　
4、＝ ____________
5、若m、n互为相反数，则＝_________
6、大于-，小于的整数有______个。
7、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a= ，x= 。
二、选择题
1、以下语句及写成式子正确的是（ ）
A、7是49的算术平方根，即 B、7是的平方根，即
C、是49的平方根，即 D、是49的平方根，即
2、下列语句中正确的是（ ）
A、的平方根是 B、的平方根是
C、 的算术平方根是 D、的算术平方根是
3、下列语句中正确的是（ ）
A、任意算术平方根是正数 B、只有正数才有算术平方根
C、∵3的平方是9，∴9的平方根是3 D、是1的平方根
三、利用平方根解下列方程．

四、解答题
1、若，求的值。

4、已知，求7（x＋y）－20的立方根。

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