MIMO作业.doc

MIMO系统的信道容量仿真实现
与分析

学 院 ：通信工程学院
专 业 ：电子与通信工程
姓 名 ：李小瑜
学 号 ：1501120442

信道容量定义为在接收端错误传送概率任意小的前提下，通信信道可能达到的最大的传输速率。本文主要是以瑞利衰落信道为模型对MIMO信道容量进行计算仿真，分别在发射端不可知的信道和发射端可知的信道两种情形下，对不同天线数目的信道容量进行了仿真实现，并进行了分析比较。
1. MIMO信道容量
假设MIMO系统有N条发射天线，M条接收天线，并假定信道尽在接收端可知，在发射端不可知。MIMO信道容量定义为：
（1-1）
由于信道的输入与信道的熵是独立的，故。设接收噪声的协方差矩阵是，发射信号的协方差矩阵为，则接收信号的协方差矩阵为
（1-2）
在所有协方差为的y向量中，零均值循环对称随机向量的熵最大，这也意味着x也是零均值循环对称复高斯随机变量，这种分布完全由表现。于是我们有如下二式：
（1-3）
（1-4）
故互信息变为
（1-5）
MIMO系统的信道容量在输入协方差矩阵的条件下，互信息量最大的量，即为：
（1-6）
下面从信道对发送端可知与否两个方面来进一步计算MIMO信道容量。
1.1信道对发送端未知
如果信道对发送端是不可知的，采用平均分配功率的方式获取最佳的信道容量。设各个发射天线的信号都有相同的功率，每根接收天线的噪声功率为，故信噪比为，这种情况下的信道容量为：
（1-7）
式中是一个M*M的正定转置矩阵，这个矩阵的特征值分解由给出，这里Q是一个M*M的满足的矩阵并且，其中。假设特征值是有序的，则
（1-8）
其中是以形式获得的来自矩阵的奇异值分解的奇异信号，那么MIMO信道的容量有下式给出：
（1-9）
利用矩阵性质和，上式可以简化为：
(1-10）
R是信道矩阵的秩，是的正特征值，由此可见MIMO信道的容量是r个单独并行SISO信道容量之和。进一步由上式得到信道容量公式：
（1-11）
其中威沙特矩阵，；，；是阶单位矩阵。如果信道系数是随机变量，上式表示的是瞬时信道容量。可以对所有信道系数的实现取平均值得到平均信道容量。
1.2 信道对发送端可知
当MIMO信道下信道参数对发射端是可知的，可使用注水原理来获取最佳的信道容量。注水算法的基本思想是：在总的发射功率的限制下，将更多的发射功率分配给质量好的信道，对于质量差的信道分配较少的功率甚至不分配功率。
我们知道MIMO信道容量等于总发送功率在各个信道之间最优分配后，各个独立并行SISO信道的容量之和。由下式给出:
（1-12）
这里是第i个子信道的发射能量，这样有。为了使互信息量最大，发射机可以访问单独的子信道并且为他们分配可变的功率。因此，互信息的最大值问题就为
（1-13）
采用拉格朗日方法，最佳的能量分配方法为：
和 (1-14)
下面给出注水算法的具体步骤：
Step1:迭代计数p=1,计算
Step2：用计算，i=1,2,.....r-p+1
Step3:若分配到最小增益的信道能量为负值，即设，p=p+1，转置step1
若任意非负，即得到最优的注水分配功率。
2. 仿真程序设计思路
本文是以瑞利衰落信道为无线信道模型来建立仿真模型，从理论上推导MIMO信道容量公式，并分别从信道对发送端可知与不可知两个方面进一步细化了MIMO信道容量公式，最后通过不同发射天线、接收天线和不同信噪比下对信道容量进行了仿真分析。
（1） 当信道对发射端不可知时，采用发射功率平均分配的方法。
首先，根据信道容量公式直接对各个参数进行赋值，建立相应维数的零矩阵，用于存放最后得到的信道容量。采用嵌套的for循环，计算不同发射天线数与接收天线数下的信道容量，在求信道容量时，将信噪比转换成dB单位，并比较发射天线数接收天线数的大小得到威沙特矩阵。最后，经过10000次循环得到平均信道容量以减少瑞利衰落信道的随机性带来的仿真数据的误差。
（2） 当信道对发射端可知时，采用注水算法。
利用注水算法求信道容量与平均分配功率方法求信道容量的不同在于对威沙特矩阵特征值的求解以及对i个子信道的发射能量的最佳分配算法的求解。由MATLAB中的eig函数求得威沙特矩阵Q的特征值元素，并取它的正特征值后在进行升序排列。对于各个发射子信道的最佳能量分配主要是对于的求解，通过注水迭代算法，若任意非负，即得到最优的注水分配功率。
根据以上两种情况，分别设置仿真数据，具体实现如下：
①　 接收天线数一定，以信噪比为横坐标，信道容量为纵坐标，设置不同的发射天线数，
比较在相同接收天线数和相同信噪比下，随着发射天线数的变化信道容量的变化以及在一定接收天线和发射天线数下，信道容量随着信噪比的变化而变化的情况。
②　 发射天线数一定，以信噪比为横坐标，信道容量为纵坐标，设置不同的接收天线数，
比较在相同发射天线数和相同信噪比下，随着接收天线数的变化信道容量的变化以及在一定接收天线和发射天线数下，信道容量随着信噪比的变化而变化的情况。
3.仿真结果与分析
（1）发射端未知CSI的仿真结果图

图1 接收天线数一定，发射天线数不断增加

图2发射天线数一定，接收天线不断增加

图1中接收天线数都为4，发射天线数从2增加到4。图2中发射天线数为4，接收天线数从2增加到4。从这两个图中，我们可以看出，当接收天线和发射天线数一定时，信道容量随着信噪比的增加而增加。当接收天线和信噪比一定时，信道容量随着发射天线数的增加而增加。通过对比图1和图2，当发射天线数大于接收天线数时，信道容量增大的幅度会减小。

（2）发射端已知CSI的仿真结果图

图3接收天线数一定，发射天线数不断增加

图4 发射天线数一定，接收天线数不断增加

图3中接收天线数都为4，发射天线数从2增加到4。图4中发射天线数为4，接收天线数从2增加到4。当信道对发射端可知时，同样可从这两个图中看出，当接收天线和发射天线数一定时，信道容量随着信噪比的增加而增加。当接收天线和信噪比一定时，信道容量随着发射天线数的增加而增加。从图3和图4中，可以看出，当使用注水算法时，发射天线数是否大于接收天线数对于信道容量的变化影响不大。
（3） 比较发射端知道信道状态与发射端不知道信道状态下的信道容量
选取图2和图4中的仿真结果进行对比，为了更直观的看出两个图的异同点，更易于比较分析，把两个图放到一起，做出了如下仿真图：

图5 发射端未知CSI和发射端已知CSI的比较
通过比较分析，我们可以看出：
a. 在小信噪比时，信噪比相同的条件下，利用注水算法获得的信道容量大于利用平均分配功率算法获得的容量。信道容量相同时，发射端已知CSI下的信噪比比发射端未知CSI下的小。
b. 当信噪比增大到一定程度时，利用注水算法获得的信道容量和利用平均分配功率算法获得的信道容量基本相同。
由此可以得出，在瑞利衰落信道下且小信噪比的情况下，发射端必须要知道CSI才能获得最大的信道容量。