第四章图形的相似(知识点).doc

第四章 图形的相似
一．成比例线段
1.线段的比
※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成.
※2.成比例线段及比例的性质：
（1）成比例线段：四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
※注意点:
①a:b=k,说明a是b的k倍； ②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数；
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.
（2）比例的基本性质:若, 则ad=bc； 若ad=bc, 则
※合比性质:如果，那么；
※等比性质：如果（），那么＝
注意：若没有“b+d+…+n≠0”这个条件，需分类讨论.
二.平行线分线段成比例
※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图1，////，则.

推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.

定理推论：
①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
三.黄金分割
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割点.0.618:1；

四．相似多边形
一般地,形状相同的图形称为相似图形.
1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.
（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）
五．三角形的相似（“∽”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）
1.探索三角形相似的条件
※相似三角形的判定方法:
一般三角形
直角三角形
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等；
②两边对应成比例,且夹角相等；
③三边对应成比例.
①一个锐角对应相等；
②两条边对应成比例；
a. 两直角边对应成比例；
b. 斜边和一直角边对应成比例.
2.相似三角形的判定定理的证明
3.利用相似三角形测高（3种方法）
（1）利用太阳光线平行

运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.
（2） 利用标杆

运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.
（3） 利用反射

运用方法3：光线的入射角等于反射角.
4. 相似三角形的性质
（1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
（2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
（3）性质：
①相似三角形对应角相等，对应边成比例；
②相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
③相似三角形周长的比等于相似比；
④相似三角形面积的比等于相似比的平方.
※5.图形的位似：
→位似图形的概念：
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.
→位似图形的性质：
（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；
（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.
→位似图形的画法：
（1）画出基本图形； （2）选取位似中心；
（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；
（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形.
例题：如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍.

注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图.

→位似变换与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
例如：点A(x,y)的对应点为A´，则A´点的坐标可以这样确定
xA´=xA×k，yA´=yA×k 即A´（kx,ky）或xA´=xA×(-k)，yA´=yA×(-k) 即A´（-kx,-ky）
例题：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为的位似图形.

题：△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，点A的对应点A′的坐标为____________
总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似.
（1）平移：
上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移 左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移
（2）轴对称:
关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数
（3） 旋转:
绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数
（4）位似:
以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

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