固体的能带结构解读.pptx
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1、1 第第 八八 章章 固体的能带结构固体的能带结构(编者:华基美)(编者:华基美)2前言前言第第 八八 章章 晶体的能带结构晶体的能带结构从从STM得到的硅晶体得到的硅晶体表面的原子结构图表面的原子结构图物理学前言之一物理学前言之一材料的性质材料的性质大规模集成电路大规模集成电路半导体激光器半导体激光器超导超导人工微结构人工微结构38.1 晶体的能带晶体的能带 一一.电子共有化电子共有化晶体具有大量分子、原子或离子有规则晶体具有大量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。排列的点阵结构。电子受到周期性势场的作用。电子受到周期性势场的作用。a按量子力学须解定态薛定格方程。按量子力学须解定态薛定格方
2、程。4 解定态薛定格方程解定态薛定格方程(略),略),可以得出两点重要结论:可以得出两点重要结论:1.电子的能量是分立的能级电子的能量是分立的能级;2.电子的运动有隧道效应。电子的运动有隧道效应。原子的外层电子原子的外层电子(高能级高能级),势垒穿透概率势垒穿透概率较大,较大,电子可以在整个晶体中运动电子可以在整个晶体中运动,称为称为共有化电子。共有化电子。原子的内层电子与原子核结合较紧原子的内层电子与原子核结合较紧,一般一般不是不是 共有化电子。共有化电子。5二二.能带能带(energy band)量子力学计算表明,晶体中若有量子力学计算表明,晶体中若有N个个原子,由于各原子间的相互作用,对
3、应于原子,由于各原子间的相互作用,对应于原来孤立原子的每一个能级原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变在晶体中变成了成了N条靠得很近的能级条靠得很近的能级,称为称为能带能带。晶体中的电子能级晶体中的电子能级有什么特点?有什么特点?6能带的宽度记作能带的宽度记作 E,数量级为,数量级为 EeV。若若N1023,则能带中两能级的间距约则能带中两能级的间距约10-23eV。一般规律:一般规律:1.越是外层电子,能带越宽,越是外层电子,能带越宽,E越大。越大。2.点阵间距越小,能带越宽,点阵间距越小,能带越宽,E越大。越大。3.两个能带有可能重叠。两个能带有可能重叠。7离子间距离子间距a2P2S1SE0
4、能带重叠示意图能带重叠示意图8三三.能带中电子的排布能带中电子的排布 晶体中的一个电子只能处在某个能带中的晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。某一能级上。排布原则:排布原则:1.服从泡里不相容原理(费米子)服从泡里不相容原理(费米子)2.服从能量最小原理服从能量最小原理设孤立原子的一个能级设孤立原子的一个能级 Enl ,它它最多能容最多能容纳纳 2(2 +1)个电子。个电子。这一能级分裂成由这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后,条能级组成的能带后,能带最多能容纳能带最多能容纳 2N(2l+1)个电子。个电子。9 电子排布时,应从最低的能级排起。电子排布时,应从最低的能级排起。有
5、关能带被占据情况的几个名词:有关能带被占据情况的几个名词:1满带(排满电子)满带(排满电子)2价带(能带中一部分能级排满电子)价带(能带中一部分能级排满电子)亦称导带亦称导带 3空带(未排电子)空带(未排电子)亦称导带亦称导带 4禁带(不能排电子)禁带(不能排电子)2、3能带,最多容纳能带,最多容纳 6N个电子。个电子。例如,例如,1、2能带,最多容纳能带,最多容纳 2N个电子。个电子。2N(2l+1)10一一.布洛赫定理布洛赫定理一个在周期场中运动的电子的波函数应一个在周期场中运动的电子的波函数应具有哪些基本特点?具有哪些基本特点?在量子力学建立以后,布洛赫(在量子力学建立以后,布洛赫(F.
6、Bloch)和布里渊(和布里渊(Brillouin)等人就致力于研究)等人就致力于研究周期场中电子的运动问题。他们的工作为周期场中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子的能带理论奠定了基础。晶体中电子的能带理论奠定了基础。布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子波函数的特点。波函数的特点。8.2(补充)(补充)布洛赫定理布洛赫定理 空间空间11在一维情形下,周期场中运动的电子能量在一维情形下,周期场中运动的电子能量E(k)和波函数和波函数 必须满足定态薛定谔方程必须满足定态薛定谔方程 k-表示电子状态的角波数表示电子状态的角波数V(x)-周期性的势能函数,它满足
7、周期性的势能函数,它满足 V(x)=V(x+n a)a -晶格常数晶格常数 n -任意整数任意整数12布洛赫定理:布洛赫定理:式中式中 也是以也是以a为周期的周期函数,为周期的周期函数,即即 *注注*:关于布洛赫定理的证明,有兴趣的读者:关于布洛赫定理的证明,有兴趣的读者 可以查阅可以查阅固体物理学固体物理学黄昆原著黄昆原著 韩汝琦改编韩汝琦改编(1988)P154具有具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数式形式的波函数称为布洛赫波函数,或布洛赫函数。或布洛赫函数。满足(满足(1)式的定态波函数必定具有如下的)式的定态波函数必定具有如下的特殊形式特殊形式13 布洛赫定理说明了一个在周期场中运
8、动的电子布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子波函数为:一个自由电子波函数波函数为:一个自由电子波函数 与一个具有与一个具有晶体结构周期性的函数晶体结构周期性的函数 的乘积。的乘积。只有在只有在 等于常数时,在周期场中运动的等于常数时,在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向,又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。倾向,又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。因此,布洛赫函数是比自由电子波函数因此,布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。
9、更接近实际情况的波函数。它是按照晶格的周期它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。调幅的行波。14 实际的晶体体积总是有限的。因此必须实际的晶体体积总是有限的。因此必须考虑边界条件。考虑边界条件。设一维晶体的原子数为设一维晶体的原子数为N,它的线度为它的线度为 L=Na,则则布洛赫波函数布洛赫波函数 应满足如下条件应满足如下条件此式称为周期性边界条件。此式称为周期性边界条件。二二.周期性边界条件周期性边界条件采用周期性边界条件以后,具有采用周期性边界条件以后,具有 N 个晶格点的个晶格点的晶体就相当于首尾衔接起来的圆环:晶体就相当于首尾衔接起来的圆环:在固体问题中,为了既考虑在固体问题中,为了既考
10、虑到晶体势场的周期性,又考虑到晶体是有限到晶体势场的周期性,又考虑到晶体是有限的,我们经常合理地采用的,我们经常合理地采用周期性边界条件周期性边界条件:15由周期性边界条件可以推出由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数布洛赫波函数 的的波数波数 k 只能取一些特定的分立值。只能取一些特定的分立值。aa周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。图图 2 周期性边界条件示意图周期性边界条件示意图16左边为左边为右边为右边为所以所以由周期性边界条件由周期性边界条件即周期性边界条件使即周期性边界条件使 k 只能取分立值:只能取分立值:证明如下证明如下:按照布洛
11、赫定理:按照布洛赫定理:17k 是代表电子状态的角波数是代表电子状态的角波数,n 是代表电子状态的量子数。是代表电子状态的量子数。对于三维情形对于三维情形,电子状态由一组量子数电子状态由一组量子数(nx、ny、nz)来代表。来代表。它对应一组状态角波数(它对应一组状态角波数(kx、ky、kz)。)。一个一个 对应电子的一个状态。对应电子的一个状态。18我们以我们以 为三个直角坐标轴,建立为三个直角坐标轴,建立一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、空间,或动量空间空间,或动量空间*。kx、ky、kz由于德布洛意关系由于德布洛意关系 ,即,即 ,所以所以 空间
12、也称为动量空间。空间也称为动量空间。注:注:在在 空间中,电子的每个状态可以用空间中,电子的每个状态可以用一个状态点来表示,这个点的坐标是一个状态点来表示,这个点的坐标是三三.空间空间19kykx0-112-23-31-12-2-33上式告诉我们,沿上式告诉我们,沿 空间的每个坐标轴方向,空间的每个坐标轴方向,电子的相邻两个状态点之间的距离都是电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。图图 3 表示二维表示二维 空间每个点所占的面积是空间每个点所占的面积是 。因此,因此,空间中每个状态点所占的体积为空间中每个状态点所占的体积为 。图图 3 二维二维 空间空间 示意图示意图20 8.3 克朗尼格克朗
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