北京中考专题复习--几何综合.docx

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几何综合

知识框架
几何综合题型一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程。

涉及初中数学九大几何模型：
1、 中点类辅助线
2、 角平分线、垂直平分线类辅助线
3、 相似模型
4、 旋转之手拉手模型
5、 旋转之对角互补模型
6、 旋转之半角模型
7、 旋转之构造等边三角形
8、 旋转之费马点模型
9、 最短距离问题

解题思路：从复杂的图形中“抽”出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路。
知识梳理
中点类辅助线

见中点---倍长中线：
凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
在△ABC中, AD是BC边中线。
方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE

例：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

方式2：间接倍长
1) （图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE
2) （图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD

例：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

方式3：平行线间线段有中点
如图：AD∥BE，F为DE中点。可构造8字全等 △ADF≌△HEF。

例：如图，在矩形ABCD中，BD=BE，F为DE中点。试探究AF与CF之间的位置关系。

例：如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，M为AD中点，CE⊥AB。
求证：∠EMD=3∠MEA。

见多个中点----构造中位线：
已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；
已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线；
已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.

例：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

见等腰三角形底边中点----连接顶点与中点，构造三线合一

直角三角形斜边中线：直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线
如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD，从而构造出等腰三角形。
角平分线、垂直平分线类辅助线
角平分线：
a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的题目辅助线的作法，一般有四种。
① 由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，利用角平分线性质。
② 以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形。
③ 当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一” 
④ 过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰 ”

例：如下图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CM⊥AD交AD的延长线于点M.

垂直平分线：
a、对称性；b、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

例：如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC， 作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H
（1）依题意补全图形
（2）求证：∠BAD=∠BFG
（3）试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明

相似模型

平行A字型、8字型：

斜交A字型、8字型：

共享型（母子型）：

双共享型：

双A字型：

一线三等角型：

旋转之手拉手模型

手拉手全等
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点
结论：（1）△ABC ≌△AB’C’ （2）∠BOB’=∠BAB’（3）OA平分∠BOC’

例：如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证明：（1）
（2）
（3） 与之间的夹角为
（4）
（5）
（6） 平分
（7）
手拉手相似
特点：由两个相似三角形所组成，并且一组等角的顶点为公共顶点
结论：（1）△AOC∽△BOD （2）∠AEB=∠AOB

例：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CE、AG,二者相交于点H。
求：（1）AG=CE （2）AG与CE之间的夹角为多少度？ （3）HD平分∠AHE

旋转之对角互补模型

对角互补，邻边相等。 （全等型—90°）

【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时：

以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=OC；③

（全等型—120°） （全等型—任意角）

【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③

对角互补模型总结：
①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；
③注意OC平分∠AOB时，
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？

旋转之半角模型
角含半角要旋转：构造两次全等

【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；
也可以这样：
【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；
【结论】：①∠EAF=45°；

【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：①EF=DF-BE；

【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；
【结论】：；
若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论仍然成立

旋转之构造等边三角形

等边三角形是一个具有丰富性质的完美图形,这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据,所以寻找、发现等边三角形是解一些几何题的关键.

例：在四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，∠ADC=30°
证明：。

分析：待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将AD、CD（作为直角边）和BD（作为斜边）集中到一个直角三角形中。

例: 如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD = CE，连接BD，AE相交于点F
（1）∠BFE的度数是
（2）如果，那么
（3）如果时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明

例: 如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F
（1）求∠AFB的度数
（2）求证：BF=EF
（3）连接CF，直接用等式表示线段
AB，CF，EF的数量关系

旋转之费马点模型

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.
若给定一个三角形△ABC 的话，从这个三角形的费马点 P 到三角形的三个顶点 A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.
问题：如图 1，如何找点 P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？
图文解析：
如图 1，把△APC 绕 C 点顺时针旋转 60°得到△A′P′C，连接 PP′．
则△CPP′为等边三角形，CP= PP′，PA =P′A′，
∴PA+PB+PC= P′A′+ PB+ PP′ ³ B C′．
∵点 A′可看成是线段CA 绕 C 点顺时针旋转60°而得到的定点，BA′为定长。
∴当 B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小。
∴∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，
∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，
∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.

因此，当△ABC 的每一个内角都小于 120°时，所求的点 P 对三角形每边的张角都是 120°，所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.当有一内角大于或等于 120°时，所求的 P 点就是钝角的顶点．
费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

例：四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 600 得到 BN，连接 EN、AM、CM.
（1）求证:△AMB≌△ENB；
（2）当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；

最短距离问题

三角形----两边之和大于第三边型

1.直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
3.点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。

两点之间的距离----线段最短型

4.点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。

点到直线的距离----垂线段最短型

5. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。

典例精讲
【2018西城期末】如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点C在线段OB上， OC=2BC，AO边上的一点D满足∠OCD=30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△，C，D两点的对应点分别为点，，连接，，取的中点M，连接OM．
（1）如图2，当∥AB时，α=________°，此时OM 和之间的位置关系为________；
（2）画图探究线段OM和之间的位置关系和数量关系，并加以证明．

图1 图2 备用图

【2018海淀期末】在△ABC中，∠A90°，ABAC．
（1）如图1，△ABC 的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“”是否正确：________（填“是”或“否”）；
（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PBPA．
①如图2，点P在△ABC内，∠ABP30°，求∠PAB的大小；
②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APCα，∠BPCβ，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．

图1 图2 图3

【2018昌平期末】已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点.
（1）以点C为旋转中心，将△ ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；
（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；
（3）若AC= ，BF=1，连接CF，则CF的长度为 .

【2018丰台期末】如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC.
（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：AE=AF； （2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B=30°，CB=2， 用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明.

图2
图1

【2018门头沟期末】如图27-1有两条长度相等的相交线段AB、CD，它们相交的锐角中有一个角为60°，为了探究AD、CB与CD(或AB)之间的关系，小亮进行了如下尝试：
（1）在其他条件不变的情况下使得，如图27-2，将线段AB沿AD方向平移AD的长度，得到线段DE,然后联结BE,进而利用所学知识得到AD、CB与CD(或AB)之间的关系：____________________；(直接写出结果)
（2）根据小亮的经验，请对图27-1的情况（AD与CB不平行）进行尝试，写出AD、CB与CD(或AB)之间的关系，并进行证明；

图27-2
图27-1

（3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论: __________________________.

【2018怀柔期末】在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P.
(1)依题意补全图形；
(2)若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；
(3)小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系.

【2018平谷期末】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．

备用图
图1

【2018朝阳期末】

【2018通州期末】如图1，在矩形中，点为边中点，点为边中点；点，为边三等分点，，为边三等分点.小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示.那么，图2中四边形的面积与图3中四边形的面积相等吗？

成功秘诀：好市口＋个性经营（1）小瑞的探究过程如下

图1 图2 图3
在图2中，小瑞发现， ；

500元以上 12 24%在图3中，小瑞对四边形面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整：

（1）位置的优越性 设，

民族性手工艺品。在饰品店里，墙上挂满了各式各样的小饰品，有最普通的玉制项链、珍珠手链，也有特别一点如景泰蓝的手机挂坠、中国结的耳坠，甚至还有具有浓郁的异域风情的藏族饰品。 ∵
∴，且相似比为，得到
∵

自制饰品一反传统的饰品消费模式，引导的是一种全新的饰品文化，所以非常容易被我们年轻的女生接受。 ∴，且相似比为，得到
又∵，

4、如果学校开设一家DIY手工艺制品店，你是否会经常去光顾？∴

一、 消费者分析∴，，
∴，则（填写“”，“”或“”）

据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种ＤＩＹ的方式，完全自助。（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形对边上的点.则.

此次调查以女生为主，男生只占很少比例，调查发现58％的学生月生活费基本在400元左右，其具体分布如（图1-1） 图4
【2018东城期末】

10、如果学校开设一家DIY手工艺制品店，你希望＿＿＿＿＿

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