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2003年江西高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（　　）
A． B． C．y＝﹣2x D．y＝2x
2．（5分）已知x∈（，0），cosx，则tan2x等于（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（　　）
A． B． C．8 D．﹣8
4．（5分）等差数列{an}中，已知a1，a2+a5＝4，an＝33，则n为（　　）
A．48 B．49 C．50 D．51
5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（　　）
A．lg2 B．lg32 C． D．
8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（　　）
A．0 B． C． D．π
9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（　　）
A．2πR2 B． C． D．
11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（　　）
A． B． C． D．1
12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）
A．3π B．4π C．3 D．6π
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）不等式的解集是　 　．
14．（4分）在的展开式中，x3的系数是　 　（用数字作答）
15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则　 　．”

16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　 　种．（以数字作答）

三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．

18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．
19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n﹣1+an﹣1（n≥2）．
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明．
20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象．

21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

2003年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（　　）
A． B． C．y＝﹣2x D．y＝2x
【解答】解：∵直线y＝f（x）关于x对称的直线方程为y＝﹣f（x），
∴直线y＝2x关于x对称的直线方程为：
y＝﹣2x．
故选：C．
2．（5分）已知x∈（，0），cosx，则tan2x等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵cosx，x∈（，0），
∴sinx．∴tanx．
∴tan2x．
故选：D．
3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（　　）
A． B． C．8 D．﹣8
【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2y，
则其准线方程为y2，
所以a．
故选：B．
4．（5分）等差数列{an}中，已知a1，a2+a5＝4，an＝33，则n为（　　）
A．48 B．49 C．50 D．51
【解答】解：设{an}的公差为d，
∵，a2+a5＝4，
∴d4d＝4，即5d＝4，
解得d．
∴an（n﹣1），
令an＝33，
即33，
解得n＝50．
故选：C．
5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2＝60°，
∴tan∠OMF2，即cb，
∴ab，
∴e．
故选：B．
6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，
当x0＞0时，则x0＞1，
故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选：D．
7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（　　）
A．lg2 B．lg32 C． D．
【解答】解：令x5＝2，
∴得x，
∵f（x5）＝lgx，
∴f（2）＝lglg2．
故选：D．
8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（　　）
A．0 B． C． D．π
【解答】解：当φ＝0时，y＝sin（x+φ）＝sinx为奇函数不满足题意，排除A；
当φ时，y＝sin（x+φ）＝sin（x）为非奇非偶函数，排除B；
当φ时，y＝sin（x+φ）＝cosx，为偶函数，满足条件．
当φ＝π时，y＝sin（x+φ）＝﹣sinx，为奇函数，
故选：C．
9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由点到直线的距离公式得：，
∵a＞0，
∴a．
故选：C．
10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（　　）
A．2πR2 B． C． D．
【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为h，则，解得，
所以圆柱的全面积为：s＝2．
故选：B．
11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：由于若P4与P0重合，
故P2、P3也都是所在边的中点，
因为ABCD是长方形，
根据对称性可知P0P1的斜率是，
则tgθ．
故选：C．
12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）
A．3π B．4π C．3 D．6π
【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：
（1）一个正方体可以内接一个正四面体；
（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．
则球的半径R，
∴球的表面积为3π，
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）不等式的解集是　（2，4]　．
【解答】解：∵x0，
∴x＞0，
∵不等式，两边平方得，
4x﹣x2＜x2，
∴2x2﹣4x＞0，
解得，x＞2，x＜0（舍去），
∵4x﹣x2≥0，
∴0≤x≤4，
∴综上得：不等式的解集为：（2，4]，
故答案为（2，4]．
14．（4分）在的展开式中，x3的系数是　　（用数字作答）
【解答】解：根据题意，对于，
有Tr+1＝C99﹣r•x9﹣r•（）r＝（）r•C99﹣r•x9﹣2r，
令9﹣2r＝3，可得r＝3，
当r＝3时，有T4x3，
故答案．
15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则　S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2　．”

【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．
故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．
16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　72　种．（以数字作答）

【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33＝24种
4色全用时涂色方法：C21•A44＝48种
所以不同的着色方法共有72种．
故答案为：72
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．

【解答】解：（1）取BD中点M．
连接MC，FM．
∵F为BD1中点，
∴FM∥D1D且FMD1D．
又ECCC1且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．
∴EF⊥面DBD1．
∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．
故EF为BD1与CC1的公垂线．
（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1＝VD1﹣DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d．
则．
∵AA1＝2，AB＝1．
∴，，
∴．
∴
故点D1到平面DBE的距离为．

18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．
【解答】解：设z＝（rcos60°+rsin60°i），
则复数z的实部为．
由题设|z﹣1|2＝|z|•|z﹣2|，
即：（z﹣1）（1）＝|z|
∴r2﹣r+1＝r，
整理得r2+2r﹣1＝0．
解得r1，
r1（舍去）．
即|z|1．
19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n﹣1+an﹣1（n≥2）．
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，
∴a2＝3+1＝4，
∴a3＝32+4＝13；

（Ⅱ）证明：由已知an﹣an﹣1＝3n﹣1，n≥2
故an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
．n≥2
当n＝1时，也满足上式．
所以．
20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象．

【解答】解：（1）f（x）＝2sin2x+2sinxcosx＝1﹣cos2x+sin2x

所以函数的最小正周期为π，最大值为；

（2）由（1）列表得：
x

y
1
1
1
1
1
故函数y＝f（x）在区间上的图象是：
21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．
在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为

令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，
其中r（t）＝10t+60，
若在t时，该城市受到台风的侵袭，
则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，
即，
即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．
答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．
22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，
据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．
按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）
设k（0≤k≤1），
由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．
直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y＝0，①
直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a＝0． ②
从①，②消去参数k，
得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay＝0，
整理得．
当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；
当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；
当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；
当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．
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日期：2019/8/13 16:20:20；用户：黄熠；邮箱：huangyi12388@；学号：716378