2007年重庆高考理科数学真题及答案.doc

2007年重庆高考理科数学真题及答案

本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若等差数列的前3项和且，则等于（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
2、命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A、若≥，则≥或≤ B、若，则
C、若或，则 D、若≥或≤，则≥
3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A、5部分 B、6部分 C、7部分 D、8部分
4、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A、10 B、20 C、30 D、120
5、在中，，则等于（ ）
A、 B、 C、2 D、
6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、若是与的等比中项，则的最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、设正数满足等于（ ）
A、0 B、 C、 D、1
9、已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A、 B、 C、 D、
D
C
B
A
10、如右图，在四边形ABCD中，，，，则的值为（ ）
A、2 B、 C、4 D、
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上.
11、复数的虚部为_______________.
12、已知满足则函数的最大值是____________.
13、若函数的定义域为R，则的取值范围为___________________.
14、设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_____________.
15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种.（以数字作答）
16、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分）
设.
（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值.

18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：
（Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望.

19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）
如右图，在直三棱柱中，；点、分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为.
（Ⅰ）求异面直线与的距离；
C
E
D
A1
B1
C1
C
B
A
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值.

20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分）
已知函数在处取得极值，其中a、b为常数.
（Ⅰ）试确定a、b的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：
.

22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：

O
F
P3
P2
P1
为定值，并求此定值.

参考答案（理工科）

一、选择题
ADCBA CBBDC
二、填空题：
11、 12、7 13、
14、18 15、25 16、
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）

故的最大值为； 最小正周期.
（Ⅱ）由得，故.
又由得，故，解得.
从而.
18、解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，.
由题意知独立，且.
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
.
（Ⅱ）的所有可能值为.
,

，

，
.
综上知，的分布列为

0
9000
18000
27000
P

求的期望有两种解法：
解法一：由的分布列得
（元）
解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，
则有分布列

0
9000
P

故.
同理得.
综上有
（元）.
19、解法一：
（Ⅰ）因，且，故面A1ABB1，从而B1C1⊥B1E，又
B1E⊥DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线.
设BD的长度为，则四棱椎的体积为
.
而直三棱柱的体积为.
B1
F
C
E
D
A1
C1
C
B
A
由已知条件，故，解得.
从而B1D.
又直角三角形中，
,
又因.
故.
（Ⅱ）如右图，过B1作B1F⊥C1D，垂足为F，连接A1F.因A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1D，
故A1B1⊥面B1DC1，由三垂线定理知C1D⊥A1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角.
在直角中，，
又因，故
，所以.
20、解：（Ⅰ）由题意知，因此，从而.
又对求导得.
由题意，因此，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得.
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数.
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.
要使恒成立，只需.
即，从而.
解得或.
所以的取值范围为
21、（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因 此.
又由，得
，即或.
因，故不成立，舍去.
因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为
.
（Ⅱ）证法一：由可解得
从而.
因此.
令，则
.
因，故.
特别地，从而，
即.
证法二：同证法一求得及.
由二项式定理知，当时，不等式成立.
由此不等式有
.
证法三：同证法一求得及.
令.
因，因此.
从而
证法四：同证法一求得及.
下面用数学归纳法证明：.
当时，，因此，结论成立.
假设结论当时成立，即，则当时，

.
因，故.
从而.这就是说当时结论也成立.
综上对任何成立.
A
Q1

O
F
P3
P2
P1
22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为.
因焦点为，故半焦距.又右
准线的方程为，从而由已知
，
因此.
故所求椭圆方程为.
（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性，假设
，且.
又设在上的射影为，因椭圆的离心率，
从而有.
解得. 因此
，
而
，
故为定值.