分叉计算的若干问题.pptx
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1、11 前言前言2 2 弧长法与分岔点的判断3 3 动力系统分岔的定义动力系统分岔的定义4 4 非自治动力系统的等价分类非自治动力系统的等价分类5 5 同宿同宿(异宿异宿)轨道的寻求轨道的寻求6 6 求解动力系统的伪弧长法求解动力系统的伪弧长法 21 前言前言3u著名理论物理学家、诺贝尔奖金获奖 者 费 音 曼(Richard Phillips Feynmann,19181988)在他的 物 理 学 讲 义 (Lectures on Physics)中的一段话:“我们已经写下水流的方程,用实验的方法,我们发现了一系列用于理解的近似概念涡街、湍流尾迹、边界层。如果我们有稍许不同形式的类似方程,而且
2、我们没有法子对这方程作实验,我想以哪怕是原始的、可怀疑的、含混的方式去求解这一方程,以求确定数量性态或数量结果。例如,我们的方程是对于太阳,把它看为无太阳黑子、表面无硬块的结构、没有凸凹不平的氢气球。尽管作了这样的简化,我们仍然还未找到求解的方法。人类智慧觉醒的下一世纪,也许可能产生了解方程定量含义的新方法。”Richard Phillips Feynmann1918198819884u分岔是非常普遍的现象。u分岔是系统两种性质上不同的状态转变点。u掌握系统的分岔点对把握系统的性质和行为非常重要。u分岔问题是实质非线性问题。u分岔的研究目前引起所有的可以精确化的科学的共同兴趣。5 中青海省桥头
3、发电厂六期扩建工程施工现场1998年9月19日上午发生一起重大伤亡事事故故,一座正在修建中的冷冷却却塔塔在修至20米高处时,用于浇筑混凝土的钢模板突然全部坍塌脱落,致使正在施工的数十名工人全部从空中跌落下来,造成4人死亡,52人受伤。目前,事事故故原因正在调查中。图为事故事故现场。6 中新社深圳2000年十一月二十八日电:正在施工中的深圳盐坝高速公路起点高架引桥昨晚九时左右突然坍塌,在桥面作业的六十九名工人随桥面滚落坠下,截至今天凌晨一时三十分,所有人员均被救出,三十三人被送医院急救,其中十人重伤,二十三人轻伤。图为桥梁倒塌现场(陈文 摄)。初步认定事故是因技术问题造成建桥支架失稳引发的。7空
4、穴的萌生 假设 ,即弹性球的内半径趋于零。并且考虑,即在某个p作用下空穴半径从零突然增加到非零。在这样的条件下解有关方程,就会得到空穴萌生的条件。我们对这个问题进行了分析求解,并且对相应的分析表达式进行了数值计算,对于不同的值和不同的v值,得到值的结果表示在图上。从图上可以看出,当 时,趋于一个确定的值。这种情况正好是空穴从半径为零突然产生的临界情形。ab82 弧长法与分岔点的判断1.武际可,苏先樾.弹性系统的稳定性,科学出版社,1994.2.周 鲲.动力系统Hopf分岔的数值计算及应用,硕士论文.3.武际可,黄克服.分岔的数值方法,待出版.9 用伪弧长法追踪非线性方程组的解曲线:对于有限维静
5、力状态方程,若记 ,忽略状态变量和参变量的差别,则原来方程改变为:而且已知有一点 是满足(1)的。10对(1)微分得若令若记11这里表示划去该列.显然,引进弧长 这个辅助参数,并定义 空间中一维曲线的弧长由 来确定。12因而 是(1)式解曲线 的切向量,是其单位切向量.于是(1)式的求解可以化归为求解类似地,可将上式转化为常微分方程的Cauchy问题:13数值求解(2)式的最简单方式是Euler预报法,在求解过程中每前进一步或若干步后,可以做Newton型迭代修正,联合使用这两种方法,就形成了追踪解流形的一种有效算法,即预报修正法过程的延续算法。(2)14u考虑动力系统u 是它的平衡解即 u对
6、给定的动力系统作微小扰动 u 有u把上面的两个式子相减就可以得到u如果u有非零解,就说 是动力系统的分岔点15 判判断断和和确确定定解解曲曲线线上上的的分分岔岔点点:为为了了寻寻求求一一种种适适于于高高维维问题的算法来判断和确定分岔点,我们可以引进一个变换:矩阵A,B的特征值具有如下关系:它将A的特征值所在复平面上的虚轴映射成了B的特征值所在复平面上的特征圆.16因此,在初始状态(稳定状态),的特征值在复平面 的左半平面上,而对应的 的特征值均在复平面的单位圆内.这样,通过变换将寻求系统的分岔点的问题转化为用乘幂法(文献1)求矩阵 的具最大模的共轭复特征值的问题.如果我们搜索出具有最大模 的点
7、并能进一步判断 即对应,则无疑 之对应的点 就是静分岔点;否则为Hopf分岔点。由于在实际计算中很难恰有 因此我们需要借助于变号法来搜索解曲线上的分岔点。u1.武际可,苏先樾.弹性系统的稳定性,科学出版社,1994.17分叉,即当时的数值分析方法。根据定理5.5.1(文献1),可以把求分岔方向化为线性特征值问题其中,是的单位正交基底。(3).分岔方向的寻求:对于静分岔方向的寻求,这里仅给出简单18首先要求出的两个单位向量 ,为了避免求向量的微分,取适当小的正数,计算矩阵19对应的非零、单重实特征根的特征向量 就确定了近似 的分岔方向 对于多重分岔情形,文献1也给出具体的追踪方法。u当探寻到Ho
8、pf分岔点后,就需要追踪出周期性的闭轨。设闭轨是空间中的一封闭曲线,这里是曲线弧长。我们对x(s)采用m个等距分点的Hermite插值,就会的戴一组非线性方程组。这样.我们把追踪极限环这一动态问题转化为一个静态问题,而后者利用伪弧长算法可以毫无困难地进行.于是线性特征值问题20若干算例利用弧长法可以没有困难地计算材料软化、塑性流动曲屈后行为等一系列以前认为困难的问题。u悬臂槽钢的弯曲21u栱的大变形22233 动力系统分岔的定义24其相应的平衡方程为u定义定义1 1.令令是系统是系统(4)(4)的一个不动点,且矩阵的一个不动点,且矩阵没有纯虚的特征值没有纯虚的特征值.如果在如果在 的任意邻域内
9、都存在异于的任意邻域内都存在异于的两个不同的解的两个不同的解和和,且在这两点的稳定流行的维数,且在这两点的稳定流行的维数,则称则称是是(4)(4)的静分岔点。的静分岔点。u 对对于于分分岔岔问问题题,尽尽管管人人们们十十分分关关心心,也也已已经经研研究究了了许许多多年年,但但是是对对于于它它的的定定义义却却没没有有认认真真地地推推敲敲。就就以以平平衡衡解解的的分分岔岔来来说说,就有两种不同的定义。就有两种不同的定义。u 考虑动力系统考虑动力系统 25的两个不同的解的两个不同的解u定义定义2.2.令令是系统是系统(3)(3)的一个零解,且矩阵的一个零解,且矩阵没有纯虚的特征值没有纯虚的特征值.如
10、果在如果在 的任意邻域内都存在异于的任意邻域内都存在异于和和,则称,则称是是(3)(3)的静分岔点。的静分岔点。u我们在我们在77、88中证明了在如下条件,即中证明了在如下条件,即:是系统是系统(3)(3)的孤立奇点,的孤立奇点,0 0是矩阵是矩阵的单重特征值,以上两个定义是的单重特征值,以上两个定义是等价的等价的.但是当有重特征值是可以是不等价的但是当有重特征值是可以是不等价的,并且给出了反例并且给出了反例.u定义定义3.3.如果存在如果存在的某个点的某个点,对于任给的,对于任给的存在不同的存在不同的和和,使,使而且对应而且对应(3)(3)有两个不同的解有两个不同的解,即:,即:7 周鲲,武
11、际可,谈谈分岔的定义,非线性动力学学报,Vol.2,No.3,p.264-2698 K.Zhou,J.K.Wu,On the definitions of bifurcation,International Journal of Bifurcation and Chaos,Vol.7,No.8,(1997)26分别属于不同的等价类,则称为(3)的一个分岔点.u 在在这这个个定定义义中中,我我们们把把动动力力系系统统的的分分岔岔同同它它的的等等价价类相联系,类相联系,不同的等价类定义就有不同的分岔。不同的等价类定义就有不同的分岔。如果解274 非自治线性动力系统的等价类 5.Wu jike,Hu
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