2003年海南高考文科数学真题及答案.doc
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2003年海南高考文科数学真题及答案 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.(5分)直线y=2x关于x轴对称的直线方程为( ) A. B. C.y=﹣2x D.y=2x 2.(5分)已知x∈(,0),cosx,则tan2x等于( ) A. B. C. D. 3.(5分)抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为( ) A. B. C.8 D.﹣8 4.(5分)等差数列{an}中,已知a1,a2+a5=4,an=33,则n为( ) A.48 B.49 C.50 D.51 5.(5分)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 6.(5分)设函数若f(x0)>1,则x0的取值范围是( ) A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 7.(5分)已知f(x5)=lgx,则f(2)=( ) A.lg2 B.lg32 C. D. 8.(5分)函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=( ) A.0 B. C. D.π 9.(5分)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x﹣y+3=0的距离为1,则a=( ) A. B. C. D. 10.(5分)已知圆锥的底面半径为R,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为,该圆柱的全面积为( ) A.2πR2 B. C. D. 11.(5分)已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角)若P4与P0重合,则tgθ=( ) A. B. C. D.1 12.(5分)棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.3 D.6π 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分) 13.(4分)不等式的解集是 . 14.(4分)在的展开式中,x3的系数是 (用数字作答) 15.(4分)在平面几何里,有勾股定理“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则 .” 16.(4分)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答) 三、解答题(共6小题,满分74分) 17.(12分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1.AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点. (1)证明EF为BD1与CC1的公垂线; (2)求点D1到面BDE的距离. 18.(12分)已知复数z的辐角为60°,且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项.求|z|. 19.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an=3n﹣1+an﹣1(n≥2). (Ⅰ)求a2,a3; (Ⅱ)证明. 20.(12分)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx). (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间上的图象. 21.(12分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? 22.(14分)已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. 2003年全国统一高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.(5分)直线y=2x关于x轴对称的直线方程为( ) A. B. C.y=﹣2x D.y=2x 【解答】解:∵直线y=f(x)关于x对称的直线方程为y=﹣f(x), ∴直线y=2x关于x对称的直线方程为: y=﹣2x. 故选:C. 2.(5分)已知x∈(,0),cosx,则tan2x等于( ) A. B. C. D. 【解答】解:∵cosx,x∈(,0), ∴sinx.∴tanx. ∴tan2x. 故选:D. 3.(5分)抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为( ) A. B. C.8 D.﹣8 【解答】解:抛物线y=ax2的标准方程是x2y, 则其准线方程为y2, 所以a. 故选:B. 4.(5分)等差数列{an}中,已知a1,a2+a5=4,an=33,则n为( ) A.48 B.49 C.50 D.51 【解答】解:设{an}的公差为d, ∵,a2+a5=4, ∴d4d=4,即5d=4, 解得d. ∴an(n﹣1), 令an=33, 即33, 解得n=50. 故选:C. 5.(5分)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【解答】解:根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°, ∴tan∠OMF2,即cb, ∴ab, ∴e. 故选:B. 6.(5分)设函数若f(x0)>1,则x0的取值范围是( ) A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 【解答】解:当x0≤0时,,则x0<﹣1, 当x0>0时,则x0>1, 故x0的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞), 故选:D. 7.(5分)已知f(x5)=lgx,则f(2)=( ) A.lg2 B.lg32 C. D. 【解答】解:令x5=2, ∴得x, ∵f(x5)=lgx, ∴f(2)=lglg2. 故选:D. 8.(5分)函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=( ) A.0 B. C. D.π 【解答】解:当φ=0时,y=sin(x+φ)=sinx为奇函数不满足题意,排除A; 当φ时,y=sin(x+φ)=sin(x)为非奇非偶函数,排除B; 当φ时,y=sin(x+φ)=cosx,为偶函数,满足条件. 当φ=π时,y=sin(x+φ)=﹣sinx,为奇函数, 故选:C. 9.(5分)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x﹣y+3=0的距离为1,则a=( ) A. B. C. D. 【解答】解:由点到直线的距离公式得:, ∵a>0, ∴a. 故选:C. 10.(5分)已知圆锥的底面半径为R,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为,该圆柱的全面积为( ) A.2πR2 B. C. D. 【解答】解:设圆锥内接圆柱的高为h,则,解得, 所以圆柱的全面积为:s=2. 故选:B. 11.(5分)已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角)若P4与P0重合,则tgθ=( ) A. B. C. D.1 【解答】解:由于若P4与P0重合, 故P2、P3也都是所在边的中点, 因为ABCD是长方形, 根据对称性可知P0P1的斜率是, 则tgθ. 故选:C. 12.(5分)棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.3 D.6π 【解答】解:借助立体几何的两个熟知的结论: (1)一个正方体可以内接一个正四面体; (2)若正方体的顶点都在一个球面上,则正方体的体对角线就是球的直径. 则球的半径R, ∴球的表面积为3π, 故选:A. 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分) 13.(4分)不等式的解集是 (2,4] . 【解答】解:∵x0, ∴x>0, ∵不等式,两边平方得, 4x﹣x2<x2, ∴2x2﹣4x>0, 解得,x>2,x<0(舍去), ∵4x﹣x2≥0, ∴0≤x≤4, ∴综上得:不等式的解集为:(2,4], 故答案为(2,4]. 14.(4分)在的展开式中,x3的系数是 (用数字作答) 【解答】解:根据题意,对于, 有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•()r=()r•C99﹣r•x9﹣2r, 令9﹣2r=3,可得r=3, 当r=3时,有T4x3, 故答案. 15.(4分)在平面几何里,有勾股定理“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则 S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2 .” 【解答】解:建立从平面图形到空间图形的类比,于是作出猜想:S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2. 故答案为:S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2. 16.(4分)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 72 种.(以数字作答) 【解答】解:由题意,选用3种颜色时:涂色方法C43•A33=24种 4色全用时涂色方法:C21•A44=48种 所以不同的着色方法共有72种. 故答案为:72 三、解答题(共6小题,满分74分) 17.(12分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1.AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点. (1)证明EF为BD1与CC1的公垂线; (2)求点D1到面BDE的距离. 【解答】解:(1)取BD中点M. 连接MC,FM. ∵F为BD1中点, ∴FM∥D1D且FMD1D. 又ECCC1且EC⊥MC, ∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1.又FM⊥面DBD1. ∴EF⊥面DBD1. ∵BD1⊂面DBD1.∴EF⊥BD1. 故EF为BD1与CC1的公垂线. (Ⅱ)解:连接ED1,有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE. 由(Ⅰ)知EF⊥面DBD1, 设点D1到面BDE的距离为d. 则. ∵AA1=2,AB=1. ∴,, ∴. ∴ 故点D1到平面DBE的距离为. 18.(12分)已知复数z的辐角为60°,且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项.求|z|. 【解答】解:设z=(rcos60°+rsin60°i), 则复数z的实部为. 由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|, 即:(z﹣1)(1)=|z| ∴r2﹣r+1=r, 整理得r2+2r﹣1=0. 解得r1, r1(舍去). 即|z|1. 19.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an=3n﹣1+an﹣1(n≥2). (Ⅰ)求a2,a3; (Ⅱ)证明. 【解答】解:(Ⅰ)∵a1=1, ∴a2=3+1=4, ∴a3=32+4=13; (Ⅱ)证明:由已知an﹣an﹣1=3n﹣1,n≥2 故an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 .n≥2 当n=1时,也满足上式. 所以. 20.(12分)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx). (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间上的图象. 【解答】解:(1)f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x 所以函数的最小正周期为π,最大值为; (2)由(1)列表得: x y 1 1 1 1 1 故函数y=f(x)在区间上的图象是: 21.(12分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? 【解答】解:如图建立坐标系:以O为原点,正东方向为x轴正向. 在时刻:t(h)台风中心P(x,y)的坐标为 令(x′,y′)是台风边缘线上一点,则此时台风侵袭的区域是(x′﹣x)2+(y′﹣y)2≤[r(t)]2, 其中r(t)=10t+60, 若在t时,该城市受到台风的侵袭, 则有(0﹣x)2+(0﹣y)2≤(10t+60)2, 即, 即t2﹣36t+288≤0,解得12≤t≤24. 答:12小时后该城市开始受到台风侵袭. 22.(14分)已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. 【解答】解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程, 据此再判断是否存在两定点,使得点P到定点距离的和为定值. 按题意有A(﹣2,0),B(2,0),C(2,4a),D(﹣2,4a) 设k(0≤k≤1), 由此有E(2,4ak),F(2﹣4k,4a),G(﹣2,4a﹣4ak). 直线OF的方程为:2ax+(2k﹣1)y=0,① 直线GE的方程为:﹣a(2k﹣1)x+y﹣2a=0. ② 从①,②消去参数k, 得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay=0, 整理得. 当时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点; 当时,点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长; 当时,点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值; 当时,点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a. 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/8/13 16:20:20;用户:黄熠;邮箱:huangyi12388@;学号:716378- 配套讲稿:
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