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第十章 联立方程计量经济模型
教学要求及目的：
1、了解联立方程模型产生的背景
2、识记联立方程模型的基本概念及类型
3、理解联立方程模型的识别条件
4、重点掌握联立方程模型的参数估计
第一节 联立方程模型的概念
一、联立方程模型的问题提出
我们在研究经济问题时，经常用到经济数学模型，即用数学表达式来模拟、描述经济活动，揭示其本质的规律。计量经济学模型就是我们常用的一种经济数学模型。
在前面的学习中，讨论了单方程计量经济学模型，只能描述经济变量之间的单向因果关系，即若干解释变量的变化引起被解释变量的变化。但经济现象是错综复杂的，其中诸因素之间的关系在很多情况下，不是单一方程模型所描述的简单的单向因果关系，而是相互依存的交错的双向或多向因果关系。如某一农产品的价格，影响着对该农产品的需求和供给；同时，市场对该农产品的需求和供给又影响着该农产品的价格。为了描述变量之间的多向因果关系，就需要建立由多个方程组成的联立方程模型。又如，研究消费函数时，一般认为消费是由收入决定的；但从社会再生产的动态过程来看，消费水平的改变又会导致生产规模的变化，进而影响收入，所以消费又决定收入。因此利用单方程模型很难完整、准确地反映经济系统内的这种复杂关系，只有将多个方程有机地组合起来才能合理地进行经济问题的描述。
联立方程模型就是由多个相互联系得单一方程组成的方程组。由于其包含的变量和描述的经济关系较多，所以能够较为全面地反映经济系统的运行规律。在联立方程模型中，每个都描述了变量间的一个因果关系，所描述的经济系统中有多少个因果关系，联立方程模型中就对应有多少个方程。
从上面分析来看，就提出了这样一个问题：必须发展新的方法来估计联立方程计量经济学模型，这就从计量经济学方法上提出了联立方程模型问题。
二、联立方程模型中的几个基本概念
（一）变量
在联立方程模型中，某些变量可能是一个方程中的解释变量，同时又是另一个方程中的被解释变量。为了明确起见，需要对变量重新进行分类。
1． 内生变量
内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。内生变量受模型系统中其他变量的影响，也可能影响其他变量。它一般是被解释变量（在其他方程中也可作为解释变量），且是模型求解的结果。建模时往往要求模型中的方程个数等于内生变量的个数。
一般情况下，因为，内生变量变量满足：。
由于内生变量是随机变量，如果它在某个方程中作为解释变量，则该方程就存在随机解释变量问题，方程中参数的最小二乘估计量一般是有偏的和不一致的，此时最小二乘法不是一个好的参数估计方法。
2． 外生变量
由模型系统以外的因素决定其取值的变量称为外生变量，或者是没有概率分布的确定变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，它不受模型系统的影响，但它对模型系统有影响。在联立方程组模型中，必须事先给定外生变量值，才能求出内生变量的值。外生变量可分为政策性外生变量和非政策性外生变量。政策性外生变量，如税率、利率、货币供给量、政府支出等；非政策性外生变量，如时间趋势、自然条件等。
一般情况下，外生变量X满足。
3． 预定变量（前定变量）
外生变量和滞后变量统称为预定变量。滞后变量包括内生滞后变量和外生滞后变量。在联立方程模型中由于外生变量的值在模型求解之前给定，滞后变量则取前期的历史值，所以前定变量都作为解释变量。如果某个方程中只有预定变量作为解释变量，解释变量中没有内生变量，则该方程中参数的最小二乘估计量具有无偏性和最小方差性。
（二）方程
联立方程模型中的方程按照时否包含随机项可分为两类。方程中含有随机项和未知参数的称为随机方程式，随机方程式中的参数需要估计；方程中不含有随机项和未知参数的称为非随机方程式，非随机方程式不需要估计参数。
1． 技术方程
技术方程是根据客观经济技术关系建立的方程，它也称为随机方程。比如：生产函数方程就是反映在一定生产技术条件下，生产要素投入量与产出量之间技术关系的方程。
2． 行为方程
行为方程是解释或描述居民、企业团体和政府的经济行为的方程。这类方程都带有随机误差项，也称为随机方程。
3． 定义方程
由它定义某一经济变量与其他经济变量的恒等关系。这类方程中既没有未知参数，也没有随机误差项。
4． 平衡方程
平衡方程表示经济系统均衡或平衡状态的恒等关系式。与定义方程一样，它不含未知参数和随机误差项。
5． 制度方程式
制度方程式是指与法律、法令、规章制度有直接关系的经济数量关系式，有随机项，含有未知参数，如税收方程式。
例如，在一个由国民收入、消费、投资、政府支出等变量构成的简单的宏观经济系统中，对这些变量之间的关系用经济数学模型来进行描述。
（10-1）
从上面的模型来看，内生变量包括：国民收入、消费、投资；外生变量包括：前期国民收入和政府支出。消费方程和投资方程为随机方程式，而收入方程为非随机方程式。
三、联立方程模型的分类
（一）模型的结构式
1、定义
依据经济理论直接设定的描述经济变量关系结构的联立方程组模型形式称为结构式模型。结构模型是在对经济变量的影响关系进行理论分析基础上建立的，反映了内生变量直接受预定变量、其他内生变量和随机项影响的因果关系。模型中的每个随机方程的被解释变量不仅是内生变量，而且还是由其他变内生变量、前定变量和随机误差项所表示的变量，这种方程称为结构方程，各结构方程的参数称为结构参数。
在结构模型中，结构参数表示每个解释变量对被解释变量的直接影响，参数的符号表示影响的方向，其绝对值表示这种直接影响的大小程度。式（10-1）就是结构模型。
现在我们学习联立方程模型结构式的一般形式。把结构方程中所有观测变量的项移到左边，用Y表示内生变量，表示内生变量的结构参数，X表示预定变量，表示预定变量的结构参数，结构模型的一般形式可写作：
（10-2）
模型(10-2)中有g个内生变量,，…，；k个预定变量,，…，；g个结构方程。，i=1，2，…，g表示随机项。对独立结构方程的个数等于内生变量的数目的模型被称为完备结构式模型。（10-2）的矩阵形式为
（10-3）
(t=1,2,……n)。
亦即
（10-4）
其中
， ，
2、结构式模型的特点
结构式模型具有以下特点：
1）模型直观地描述了经济变量之间的关系结构，模型的经济意义明确。例如，在式（10-1）中，第一个方程是依据凯恩斯的绝对收入假说建立的消费函数；第二个方程是投资函数，表示投资额的变化主要取决于当期和前期的国内生产总值；第三个方程是定义方程，反映了国内生产总值包括消费、投资和政府支出。
2）.模型只反映了各变量之间的直接影响，却无法直观地反映各变量之间的间接影响和总影响。例如，政府支出G的增加将会引起收入Y的变化，进而引起居民消费C的变化，但这种间接影响却无法通过结构方程（或结构参数）直接反映出来。同样地，上期收入Yt-1通过投资I、收入Y等变量对居民消费C的间接影响也没有直观地反映出来。
3）无法直接运用结构是模型进行预测。联立方程模型预测就是根据预定变量的值，预测模型之能够内生变量。但是结构式中的解释变量中间，往往还包含着需要预测的内生变量，所以无法进行预测。
（二）模型的简化式
1、定义
模型的简化式是指将结构式模型中的每个内生变量都只表示为前定变量和随机扰动项的函数，所构成的模型称为简化型模型。习惯上用表示简化式模型中每一个方程的简化型参数。
2、求得简化式的方法
有两种：
第一种方法是直接估计法，即直接把模型中的每一个内生变量表示成前定变量和随机扰动项的线性函数，如：简化式一般形式为
　（i=1,2,……n）　 （10-5）
用矩阵形式表示为，并用普通最小二乘法估计上述的πij值，就得到用直接估计法建立的简化式模式。对于（10.4）所表示的模型，其简化式模型为
（10-6）
第二种方法是间接估计法。即在一定条件下通过推导，将每个内生变量表示成前定变量和随机误差项的函数。其中每个前定变量的系数称为简化式参数。
例如：对于简单Keynesian模型（10-1）通过变量连续代换的方法，把内生变量Ct，It，Yt表示为前定变量Gt，Yt-1与随机项ut的函数。

从简化型中得出参数关系式体系

由本例的简化型中容易看出，简化式参数是度量前定变量变化时对内生变量的总影响，而结构式参数只表明一个单一方程内前定变量对内生变量的直接影响。例如π21度量Yt-1增加一单位时对It的影响，是由两部分组成，第一部分b2是It对Yt-1的直接影响，第二部分是Yt-1的增加影响It，It影响Yt，Y又影响It。另外Y影响C, C又影响Y，因而影响I。

由于简化参数反映了前定变量对内生变量的总影响，所以简化式可用于经济预测与经济结构分析。
3、特点
简化式模型具有以下特点：
1）简化式方程的解释变量都是与随机项不相关的前定变量，可以应用OLS对简化式方程中的参数进行估计，其估计量是无偏的和一致的。
2）简化式参数反映了前定变量对内生变量的总影响，包括直接影响和间接影响。
3）利用简化式模型可以直接进行预测。在得到估计的简化式模型之后，根据前定变量的已知信息就可以预测模型中的所有内生变量。
4）简化式模型没有客观地描述经济系统内各个变量间的内在联系，模型的经济含义不是分明确。
（三）结构式模型与简化式模型的关系
结构式模型直观地描述了经济变量之间的关系结构，模型有十分明确地经济含义，但却不便于进行参数估计、经济预测、政策评价等定量分析。简化式模型完全是根据内生变量的含义，将经济系统内各变量之间的关系人为地简化而得到的模型，所以没有明确的经济含义。但简化式模型却反映了前定变量对内生变量的总影响，能够进行最小二乘法参数估计及直接进行经济预测等分析。针对结构式模型和简化式模型的不同特点，在实际应用中可以根据不同的研究目的合理地选择模型，同时也需要了解两类模型之间的转换过程，以及结构参数与简化参数之间的关系。
结构式模型： （10-7）
简化式模型： （10-8）
对于（10-7）式，两边同时左乘，整理得到

将其与10-8式比较，可以得到：
(10-9)
（10-9）描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称其为参数关系体式。
（四）递归模型
如果一个模型的结构方程可以用下面这种方式排列，第一个方程右边只包含外生变量；第二个方程右边只包含外生变量与第一个内生变量（第一个方程中的被解释变量）；…,一般地，第m个方程的右边只包含外生变量和前面的m-1个方程的内生变量Y1到Ym-1，这种模型称为递归模型。例如
（10-10）
其中含有m个内生变量，k个外生变量，并假定随机变量uj（j=1,2,……,m）是相互独立的。
为了便于理解，我们写出上述递归模型的完整形式：

如果假定随机项ui和uj的分布是独立的，因而出现在每个方程右边的Y项与该方程中的误差项将是无关的。所以，给定外生变量(Xi)的值，就可以用递归系统中的每个方程应用OLS法，所得估计量具有BLUE性质。
由于递归模型中的内生变量的系数矩阵形成一个下三角矩阵，所以递归模型也称为三角形模型。
即
因此，实际上，只要判断内生变量的系数矩阵B是否具有以上的形式，就能判断一个模型是否为递归模型。如在供给导向的宏观经济系统中，总资产由前期资本存量和劳动力数量决定；国民收入由总产值决定；居民收入、财政收入由国民收入决定；消费和投资又由居民收入和财政收入决定…...如果将这些关系用计量经济模型描述，就是一个典型的递归系统模型。
第二节 联立方程模型的识别
一、模型的识别
1、模型识别的定义
模型的识别问题是从能否由被估计出的简化式参数求出结构式参数值的计算问题中引伸出来的。从本质上讲，识别问题是讨论模型中的结构方程是否具有确定的统计形式（指变量间的随机关系）。而从简化式与结构式的关系角度，识别问题是讨论是否能够从所估计的简化式参数求出结构式参数。若能求出，则结构方程具有确定的统计形式；若不能则相反。从结构式模型中若干方程或全部方程的关系角度，是讨论模型中若干个方程或全部方程的任意线性组合是否与被识别方程的统计形式相同，若不同则具有唯一的统计形式，那么是可识别的；反之，则是不可识别的。
关于识别的定义，有以下三种等价的表述方式：
第一、如果联立方程模型中某个结构方程具有确定的统计形式，则称该方程是可识别的；否则，称该方程是不可识别的。
第而、如果联立方程模型中某个结构方程无法用模型中的其他方程线性组合成相同的统计形式，则称该方程是可识别的；否则为不可识别的。
第三、如果联立方程模型中某个方程中的结构参数，可以由参数关系体系得方程组中求解得到，则该方程为可识别的；否则为不可识别的。
所谓统计形式，即方程中的变量与变量之间的函数关系式。“确定的统计形式”，即模型中其他方程或所以方程的任意线性组合所构成的新的方程，都不再具有这种统计形式。
2、具体应用
下面用一些简单的例子阐述识别问题的含义，并引出不可识别、恰好识别和过度识别的定义。
例如，简单的市场供需平衡模型
（10-11）
D=某商品的需求量，S=某商品的供给量，P=某商品的价格。从结构方程之间关系看，很容易看出需求方程与供给方程具有相同的统计形式，因此，需求方程和供给方程都是不可识别的。
这里应注意的一点是，只有在统计上必须估计其参数的那些方程才存在识别问题，因此对定义方程、平衡方程不存在识别问题。同时，在联立方程模型中，只要有一个方程是不可识别的，该模型就是不可识别的。
现将消费者收入Y引入到需求函数中，则有引入消费者收入的市场供需平衡模型：
（10-12）
其中Y是外生变量，它是影响需求的重要变量。
我们从结构方程之间的关系来判断每个方程的识别问题。对需求方程来说，它和供给方程的线性组合具有与它本身相同的统计形式，所以需求方程是不可识别的，而对于供给方程，任何方程的线性组合不能构成与其相同的统计形式，所以供给方程可以识别。由于需求方程是不可识别的，那么，整个市场供需平衡模型是不可识别的。
我们从本例可以看到，一个方程的识别性依赖于模型其他方程中是否包含更多的变量。
把滞后价格变量引入供给函数，模型变为引入滞后价格变量的供给需求模型：
　 　 （10-13）
由Dt=St得

其中

代入供给方程或需求方程，得到

其中

由6个简化式系数π0，π1，π2，π3，π4，π5，可以唯一地确定6个结构参数a0，a1，a2，b0，b1，b2。需求方程和供给方程都具有唯一的统计形式，他们都可以识别，则整个模型是可以识别的。
由此引出恰好识别的定义：若模型中某一结构方程可识别，并且能够从相应的参数对应关系求得此方程全部结构参数的唯一解值，则称此结构方程是恰好识别的。
如果在引入时间变量，可以得到引入时间变量的供给需求模型
（10-14）
可得：　　　

其中

由８个简化式系数决定7个结构式参数，结构式参数可以有多组值。所以过度识别定义为：若某一结构方程可识别，但从参数对应关系中求得的结构参数有多组（不唯一）的解值，则称此结构方程是过度识别的。
其实，识别问题不是一个统计问题，如果模型可以识别，即使样本容量小，也可以近似地估计出结构参数，样本容量越大，结构参数的估计值越准确。如果模型是不可识别的，对任意的样本都无法估计出模型的参数。并且模型不可识别，就不能用任何有效的经济计量方法正确地估计出模型参数，也就更谈不上利用模型进行经济分析和预测了，这就是模型识别的基本含义。
识别是联立方程模型特有的，本质上是某一方程在联立方程模型中表示方法是否唯一的问题，只有在统计上必须估计系数的方程才产生识别问题。
综上所述，对模型的识别问题可概括为如下情况：

　　　 　 　　　不可识别——一个或一个以上的结构方程不可识别
模型的识别　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　恰好识别
　　　　 　 　　可识别——每一个结构方程可识别
过度识别
二、模型的简化式识别条件
前面都是从识别的定义出发来判断结构方程的识别特性，但是当模型包含较多的变量和方程时，这样判断就比较麻烦。为此我们需要研究模式的识别条件。
假设联立方程模型的结构式为BY+ΓX=U，它相应的简化式模型为Y=πX+V，其中有g个内生变量，k个前定变量，ki表示第i个结构方程中所含的先决变量数目，gi表示第i个结构方程中所含的内生变量数目。
1、简化式识别条件
1）秩条件：
若秩，则第i个结构方程不可识别。
若秩，则第i结构方程可识别。
2）阶条件：
当第个结构方程可识别时
若 则该方程恰好识别。
若则该方程过度识别。
其中是简化式参数矩阵中划去第i个结构方程中所不包含的内生变量所对应的行和第i个结构方程中所包含的前定变量所对应的列后，剩下的参数按原次序组成的矩阵，R表示矩阵的秩。
例10-1设某一模型的结构式为
（10-15）
式中Y1，Y2，Y3为内生变量，即g=3；X1，X2，X3为前定变量。即k=3。第一个结构方程中g1=2，k1=2；第二个结构方程中g2=2，k2=1。其结构参数矩阵为

经过计算可得B的逆矩阵和简化参数矩阵

对于第一个结构方程，它不含内生变量Y3，包含前定变量X1，X2，则划掉π中第三行和第一、第二列得到
根据秩条件，R（π（1））=1=g1-1=2-1，因此第一个结构方程可识别，进而可用阶条件，这里k-k1=3-2=1=g1-1=2-1，因此第一个结构方程是恰好识别的。
对于第二个结构方程，它不含内生变量Y1，包含前定变量X3，划去π中第一行及第三列得
因此R（π（2））=1=g2-1=2-1，此结构方程可识别，再用阶条件，k-k2=3-1=2，g2-1=2-1=1，有k-k2>g2-1，第二个结构方程是过度识别的。
对于第三个结构方程，它含内生变量Y1，Y2，Y3（没有不包含的内生变量），包含前定变量X3，则保留中的全部行，再划掉其第三列，得

其秩R（π（3））=1<g3-1=3-1，因此由秩条件，第三个结构方程是不可识别的，由于第三个结构方程是不可识别的，所以该联立方程模型是不可识别的。
三、模型的结构式识别条件
如果结构方程中包含了模型中的所有变量，则该方程与模型中任何一个方程的线性组合都与该方程有相同的统计形式，因而该方程一定是不可识别的。这一事实表明，如果一个结构方程可以识别，则必然有若干个变量被排斥在该方程之外。由此可以给出判别结构方程识别性的阶条件。
模型的结构式表示为
或　 　 （10-16）
其中含有g个内生变量，k个前定变量，以及g个方程，因此它是完备的模型。假定其中第i个结构方程中所含的内生变量的个数为，前定变量的个数为，矩阵（B(i)，Γ(i)）为从模型系数矩阵（B，Γ）中去掉第i行，并去掉第i个结构方程包含的内生变量所对应的列而形成的矩阵。对结构式模型（10.15）中第i个结构方程的识别条件是：
1．结构方程识别的阶条件（完备的结构型）
记M为结构模型中内生变量和前定变量的总个数（M=g+k）,为第个结构方程中所含变量（内生变量和前定变量）的个数：=
当第i个结构方程是可识别时
若，或，称阶条件成立，此时如果第i个结构方程可识别，则第i个结构方程是恰好识别的；
若，或，称阶条件成立，此时如果第i个结构方程可识别，则第i个结构方程是过度识别的；
若，或，称阶条件不成立，则第i个结构方程一定不可识别。
需要指出的是，识别的阶条件只是结构方程可识别的一个必要条件，而非充要条件。即如果阶条件不成立，则对应的结构方程不可识别；如果阶条件成立，则对应的结构方程是否可识别不能确定，还需进一步通过秩条件判别。
2．结构方程识别的秩条件
识别的阶条件实际上是要求某个特定方程排斥（即不包含）一定数目的变量，以保证达到其在统计形式上与模型中其他方程不同的目的。但是，它不能保证模型中的另一个方程也排斥完全相同的变量，如果这样将与待定方程具有相同的统计形式。所以，阶条件只能作为识别的必要条件。
识别的秩条件则是一个充分必要条件，其具体内容为：
在具有g个方程的结构式模型中，任何一个方程能够被识别的充分必要条件是：该方程被排斥变量结构参数矩阵的秩为g-1。或者说，该方程被排斥变量的结构参数矩阵中，至少有一个g-1阶的非零行列式。
若秩Rank（B(i)，Γ(i)）<g-1，则第i个结构方程不可识别。
若秩Rank（B(i)，Γ(i)）=g-1，则第i个结构方程是可识别的。
其中秩条件是判断对应结构方程可否识别的充分必要条件，，则秩条件成立，则对应的结构方程一定可识别；，则秩条件不成立，则对应的结构方程一定不可识别。利用秩条件可以判别结构方程是否可识别，但不能确定是恰好识别还是过度识别。
识别的秩条件实际上是要求某个特定方程所排斥的变量，必须以不同的统计形式出现在其他g-1个方程中，这样才能保证模型中的其他方程或这些方程的线性组合与待定方程具有不同的统计形式。
例10-2 设某联立方程结构式模型如下
（10-17）
其中Y、C、I为内生变量，g=3；Gt、Yt-1和观察值始终取1的虚变量D为预定变量，k=3。其结构式参数矩阵为：

对于第一个结构方程：

k1=1，g1=2，因为
R（B（2）Γ（1））=2=g-1=3-1
所以该方程可以识别；又因为
k-k1=2>g1-1=1
所以该方程是过度识别的。
对于第二个结构方程

k2=2，g2=2，因为
R（B（2）Γ（2））=2=g-1=3-1
所以该方程可以识别；又因为
k-k2=1=g2-1
所以该方程是恰好识别的。
第三个方程是平衡方程，不存在识别问题。所以该联立方程模型是可以识别的。
通过此例可以发现结构式方法要比简化式方法更简单，因而也更常用。
四、模型识别的其他判别规则
当模型中的方程数目较多时，利用识别的定义或识别的判别条件判断模型的可识别性都非常麻烦，又是甚至是不可能的。以下是一些依据阶条件和秩条件得出的判断规则，在实践中常常是简单而实用的。
1．如果一个方程中包含了模型中的所有变量（即所有内生变量和前定变量），则该方程一定是不可识别的，因为该方程不满足阶条件。
2．如果一个方程包含了一个内生变量和全部前定变量，则该方程是恰好识别的。因为该结构方程实际上就是简化式方程；被解释变量是内生变量，解释变量为所有的前定变量，结构参数即简化式参数，所以是可识别的，又因为变量个数(其中，)，由阶条件是恰好识别的。
3．如果第i个方程排斥的变量中没有一个在第j个方程中出现，则第i个方程是不可识别的。因为此时第j个方程中的变量一定也包含在第i个方程中（即为第i个方程所包含变量的子集），所以第i个方程与第j个方程的线性组合与第j个方程有相同的统计形式。
4．如果模型中的两个方程具有相同的变量，则这两个方程都是不可识别的。
模型的可识别性决定了模型中的每一个结构方程是否具有唯一的统计形式，所以在构造联立方程模型和估计模型之前，应该判断该模型的可识别性，否则，进一步的计量经济研究将失去意义。
第三节 联立方程模型的参数估计方法
对于已经建立的联立方程计量经济学模型的理论模型，如果它是可以识别的，则可以选择适当的计量经济学方法估计模型参数。对联立方程组模型参数进行估计的方法分为两大类，即单一方程估计法和方程组系统估计法。这两种方法是相对而言的，系统估计方法是同时估计整个模型的全部结构参数，而单一方程估计法是对联立方程组中每一个可识别的结构方程逐一单独估计参数，最后获得整个模型的参数估计值。单一方程估计法的优点是计算简单，常用的有间接最小二乘法、工具变量法和两阶段最小二乘法以及有限信息估计法。系统估计方法又称完全信息法，估计时要考虑各个结构参数和变量之间的联系和影响。限于方程组系统估计法的复杂性，本章只介绍单方程估计方法。
一、间接最小二乘法（ILS）
1、基本步骤
间接最小二乘法是联立方程计量经济学模型的一种单方程估计方法，每次用于结构模型的一个方程，但该方程必须是恰好识别的。它的基本步骤是：把被估计的结构方程所包含的内生变表示为模型中全部预定变量和随机项的函数，即导出相应的简化型方程，以此消除方程中随机项与解释变量之间的相关性，使每一个简化型方程都满足OLS假定，从而可以应用OLS求得简化型参数的估计值，然后代入简化式，可以间接求得结构方程参数的估计值。
2、具体实例
用一个简单的例子说明此算法的步骤及其可使用的前提条件。一个结构式模型为
　　　　 （10-18）
模型中三个内生变量Y1，Y2，Y3，其一般表达式为
（10-19）
其系数矩阵表示为
AY+ΓX=U

由结构式识别条件可知第一个结构方程恰好识别，第二个是过度识别，第三个不可识别。经形式计算可得

由于结构式参数与简化式参数的对应关系为
II=-A-1T
可知模型简化式Y=πX+V
（10-20）
用间接最小二乘法（ILS法）对每一个结构方程进行估计，其步骤如下：
联立方程模型（10-18）中的第一个结构方程式是恰好识别的，该方程含有两个内生变量Y1和Y2，对应的简化式方程为：
（10-21）
（10-22）
将这两个式子代入到式（10-18）中，得
（）
+
将此式整理得：

将等号两边相同变量的系数相比较可知
（10-23）
因此，若已知式（10-23）中πij的值时，可由上三式唯一确定其中的结构参数。由于简化式方程式（10-21）和式（10-22）中解释变量（前定变量）X1，X2，X3与随机误差项不相关，如果前定变量之间不存在多重共线性且当随机误差项满足零均值、同方差、无自相关的假定时，用普通最小二乘法分别对（10-21）和（10-22）的简化式参数作出的估计值，具有最佳线性无偏和一致的特性。再将代入式（10-23）中，则由此得到
（10-24）
由此可见，对于恰好识别的结构方程，ILS方法是求出其包含的全部内生变量所对应的简化式方程中参数的OLS估计值，再由参数对应关系式可唯一确定这个结构方程的结构参数估计值，显然ILS方法不能有效地求出整个模型中每一个结构方程的结构参数。
二、工具变量法（IV）
对于联立方程模型来说，工具变量法是以适当的预定变量为工具变量代替结构方程中作为解释变量的内生变量，以减少随机项与解释变量之间的相关性。通过工具变量法所求得的参数估计值对于小样本来说是有偏的，但对于大样本是一致的。
工具变量法是一种单方程估计方法，每次只适用于模型中的一个结构方程。
1、工具变量法的主要步骤
主要步骤如下：
第一步，选择适当的工具变量，代替结构方程右边出现的作为解释变量的内生变量。在联立方程模型中，所选择作为工具变量的预定变量必须满足以下条件。
（1）它必须与将要由它代替的结构方程中的内生变量高度相关。
（2）它必须是真正的预定变量，因而与结构方程中的随机项u不相关。
（3）它必须同结构方程中的其他预定变量相关性很小，以避免多重共线性。
（4）如果在同一结构方程中采用一个以上的工具变量，这些工具变量之间的相关性也必须很小，避免产生多重共线性。
第二步，分别用每个工具变量去乘结构方程，并对所有的样本观测值求和，这样就得到与未知参数一样多的线性方程，解这些方程组成的方程组，就可求得结构参数的估计值。
下面举例说明工具变量法对结构方程的参数估计。

t=1,2,……n　　　　　　 （10-25）
（10-25）用矩阵表示
（10-26）
这里
，
，
，
这里的下标1是用来强调第一个结构方程的，Y(1)的下标(1)是表示第一个结构方程中的g1个内生变量的观测值矩阵除去了第一列（即Y1的观测值），Y(1)就是第一个结构方程右边的(g1-1)个内生变量的观测值矩阵。
按照上面第一步对工具变量的要求，在第一个结构方程所不含外生变量中选g1-1个工具变量，给出样本值和外生变量X1,X2,……,Xk的样本值一起按行构成矩阵z0，z0为k1+g1-1行，n列矩阵，用z0左乘（10.23）两边，取期望得到拟正规方程

这里由于，即，故得上式，因此得到参数的工具变量法估计量为

2、工具变量法的不足
下面对工具变量法的有效性做进一步讨论。对于恰好识别方程，工具变量法是一种有效的估计方法；而对于过度识别方程却不是一种有效的估计方法，同时还可以看出工具变量法有下面一些不足之处。（1）从模型中选择预定变量做工具变量需要满足工具变量的条件。由于模型中内生变量间因果关系的交错，内生变量与许多预定变量都是相关的，因此，选择合适的预定变量作为某一个内生变量的工具变量是相当困难的。且预定变量多于一个时又要满足不相关，这有时是不可能的。（2）由于随机项不可观测，这就很难确定工具变量与无关。由于上述原因，在实际中，人们很少用工具变量法对结构参数进行估计。但是掌握了工具变量法，它可以有助于我们理解其它较好的经济计量方法，如两阶段最小二乘法。
三、两阶段最小二乘法（2SLS）
1、适用范围
ILS法和IV法适合于恰好识别的结构方程的参数估计，但在实际的联立方程计量经济学模型中，由于模型规模较大，所含的前定变量和内生变量都较多，但在每一个结构方程中，所含的变量数却很少，于是经常出现k-ki>gi-1的情形，两阶段最小二乘法就是一种既适用于恰好识别，又适用于过度识别的结构方程参数估计的一种单方程估计方法，是应用的最多的一种联立方程模型参数估计方法。
2、具体实例
一般讲，联立方程模型的第i个方程可表示为
（10-27）
其中，
， ，
，， 。
(10-27)可以表示为
（10-28）
2SLS中的第一阶段，Y0中每个变量对X用OLS法进行回归计算，其关系式为
（10-29）
、V0的矩阵元素排列类似于上面的矩阵。的OLS估计式为

于是
第二阶段，用代替（10-28）中的Y0，即
（10-30）
对（10-30）应用OLS法，得到结构参数估计量为
（10-31）
这就是第个结构方程的2SLS的估计量。
四、有限信息估计方法
所谓有限信息估计方法，是不同于上述ILS，IV，2SLS的另一类联立方程模型的单方程估计方法。上述几种方法是以残差平方和最小，即以最小二乘为选择参数估计量的标准。有限信息估计方法主要包括最小方差比较法、最大似然法。因为它们仍是对每个结构方程逐一估计，仍属单方程方法；在估计时仅考虑了所涉及的方程所提供的信息，故又称有限信息估计法。
（一）最小方差比较法（LVR）
1．可以把联立方程模型中所要估计的第1个结构方程写成
(10-32)
如果内生变量的某种线性组合
就是该结构方程的估计式。显然，人们希望所选择的，使得仅依赖于X0，而不是依赖于，也就是说仅把X0作为的解释变量。这显然是符合原结构方程所描述的各经济变量之间的客观关系的。当然这样做会带来一定的误差，人们希望选择合适的，使得下列比值

最小（仅稍大于１）。这就叫有限信息最小方差比较法。
2．的选择
由多元线性回归计算公式可知，上述方差比的分母为

其中
同样，上述方差比的分子为，其中

于是
最小方差比较方法就是使上式达到极小的情况下求得的方法。l极小等价于达到极小，并满足约束条件＝常数。应用拉格朗日乘子法求解，构造下列拉格朗日函数。

对求偏导数并令其为０

显然，最小方差比较法就是求解的特征方程，其一种方法是求的最小特征根，这个最小特征根对应的特征向量就是所求的结果。
3．LVR的步骤
（1）利用样本观测值计算残差矩阵R1和R；
（2）求解特征方程，得到，并进行正规化，一般使其第一个元素为1，故所确定的组合内生变量为

（3）计算的样本值，然后用对X0进行OLS回归，以求得的估计值，连同上面得到的，构成了第一个结构方程的所有参数估计值。