刚性构件组成的二自由机械系统动力学.pptx
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1、 单自由度机械系统的刚性动单自由度机械系统的刚性动力学分析,采用的是等效力学模力学分析,采用的是等效力学模型方法。多自由度系统分析,本型方法。多自由度系统分析,本章主要介绍基于拉格朗日方程的章主要介绍基于拉格朗日方程的两自由度机械系统分析方法。两自由度机械系统分析方法。自由度和广义坐标自由度和广义坐标1、自由度、自由度 完全确定一个物体在空间位置所需要完全确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目,称为这个物体的自的独立坐标数目,称为这个物体的自由度。由度。系统自由度常用的简化方法:系统自由度常用的简化方法:集中质量法、广义坐标法、有限单元法集中质量法、广义坐标法、有限单元法集中质量法集中质量
2、法把连续分布的质量集中为几个质点把连续分布的质量集中为几个质点-最直接、最直接、最朴素的一种简化自由度的方法。最朴素的一种简化自由度的方法。对于一个实际动力学问题,应该同时兼顾计算精度和对于一个实际动力学问题,应该同时兼顾计算精度和计算工作量,在不改变所研究问题的本质并保证足够计算工作量,在不改变所研究问题的本质并保证足够的计算精度的前提下,作出合理的假设,尽量减少自的计算精度的前提下,作出合理的假设,尽量减少自由度数简化计算。由度数简化计算。若不计定滑轮的质量,则本系若不计定滑轮的质量,则本系统的两个集中质量统的两个集中质量m1、m2在在任一时刻的位置可分别用它们任一时刻的位置可分别用它们在
3、竖直方向的位移在竖直方向的位移y1(t)和)和y2(t)来确定,系统的自由)来确定,系统的自由度为度为2。若考虑滑轮的质量,由于定滑若考虑滑轮的质量,由于定滑轮做刚体定轴转动,只需用其轮做刚体定轴转动,只需用其转过的角度转过的角度q q(t)就能描述其上就能描述其上所有质点在任何时刻的位置。所有质点在任何时刻的位置。而在绳子不打滑的前提下,而在绳子不打滑的前提下,q q(t)不是独立参量不是独立参量q q(t)=y1(t)/r集中质量法例题集中质量法例题广义坐标法:广义坐标法:广义坐标法是将质量连续分布的动力学系统的位移表广义坐标法是将质量连续分布的动力学系统的位移表达为满足位移边界条件的基函
4、数的线形分布,这些达为满足位移边界条件的基函数的线形分布,这些组合系数就成为广义坐标。组合系数就成为广义坐标。如对长为如对长为l、质量连续分布的简支梁,设在、质量连续分布的简支梁,设在t时刻,时刻,x点点的坐标为的坐标为y(x,t),可将它表示为),可将它表示为在一般情况下,只需用前面有限的在一般情况下,只需用前面有限的n项叠加就项叠加就有足够的精度有足够的精度有限单元法 将实际动力学系统用由有限个仅在节点处相互连接的单元组成的离散系统来代替,对每个单元定义插值函数,用节点的位移来表示单元内任一点的位移,然后将每个单元内各个相应节点的位移叠加,从而建立系统的求解方程。这样,一个无限自由度系统的
5、振动问题,就转化为以节点位移为自由度的有限自由度动力学问题。系统的约束及其分类系统的约束及其分类限制质点系的各个质点的位置和运动的条件称为约束。限制质点系的各个质点的位置和运动的条件称为约束。将约束条件用数学公式表示,就得到相应的约束方程。将约束条件用数学公式表示,就得到相应的约束方程。根据约束方程的形式和所含的变量,约束通常有三种根据约束方程的形式和所含的变量,约束通常有三种分类方法。分类方法。一、定常约束和非定常约束一、定常约束和非定常约束各约束方程中都不显含时间各约束方程中都不显含时间t为定常约束,显含时间为定常约束,显含时间t为非定常约束。为非定常约束。质点受固定曲面约束,约束方程为质
6、点受固定曲面约束,约束方程为单摆的约束方程为单摆的约束方程为铰链四杆机构的约束方程为铰链四杆机构的约束方程为定定常常约约束束非定常约束例为非定常约束例为摆长摆长l随时间变化的单摆,设单摆的原长为随时间变化的单摆,设单摆的原长为l0,拉动绳子的速度拉动绳子的速度v0为常数,则其约束方程为为常数,则其约束方程为二、固执约束和非固执约束二、固执约束和非固执约束单摆借助于不可伸长的柔索或刚杆都可实现质点沿圆周单摆借助于不可伸长的柔索或刚杆都可实现质点沿圆周运动。但柔索只能限制质点向圆周外运动,而不能限制运动。但柔索只能限制质点向圆周外运动,而不能限制质点向圆内运动,其约束方程应写为质点向圆内运动,其约
7、束方程应写为三、完整约束和非完整约束三、完整约束和非完整约束长为长为l不计质量的定不计质量的定长杆连接两个同质量长杆连接两个同质量质点质点,限定中点限定中点C的速的速度度vc必须沿杆的方向必须沿杆的方向两质点距离不变写出方程两质点距离不变写出方程由点由点c速度方向必须沿杆的方向的条件写出方程速度方向必须沿杆的方向的条件写出方程含有坐标导数的方程不能积分成有限形式,即不能归结为只含有坐标导数的方程不能积分成有限形式,即不能归结为只含坐标的方程,这种约束为非完整约束。只包含坐标的(有含坐标的方程,这种约束为非完整约束。只包含坐标的(有时还有时间),成为完整约束。时还有时间),成为完整约束。集中参数
8、系统的自由度和广义坐标是与系统的约集中参数系统的自由度和广义坐标是与系统的约束有连带关系的两个概念。束有连带关系的两个概念。广义坐标具有两个特性,一是完备性,二是独立广义坐标具有两个特性,一是完备性,二是独立性。性。在完整约束的条件下在完整约束的条件下,用来确定质点系在空间的位置所用来确定质点系在空间的位置所需需独立坐标的个数独立坐标的个数,称为质点的自由度或自由度称为质点的自由度或自由度.或写成投影形式:或写成投影形式:i=1,2,3n 广义坐标用广义坐标用qi表示表示,对于定常约束情况而言对于定常约束情况而言如图所示双摆,可用如图所示双摆,可用A、B的坐标来的坐标来描述其运动,但描述其运动
9、,但A、B坐标并不独立,坐标并不独立,满足约束条件:满足约束条件:两个摆角就可以完全描述双摆的运动两个摆角就可以完全描述双摆的运动广义坐标广义坐标自由度自由度机构如图机构如图,轮轮C C作纯滚作纯滚动动3.3.约束方程约束方程(在点在点O 建立直建立直角坐标角坐标)1.1.刚体数目刚体数目 3;3;2.2.定轴转动刚体定轴转动刚体 OA ;平面运动刚体平面运动刚体 AB及轮及轮C ;结论结论:8个约束方程个约束方程4.广义坐标广义坐标5.自由度计算自由度计算广义坐标数为:3n-s=1,即:自由度约束方程数或刚体数n=3选广义坐标为选广义坐标为:自由度恒等于广义坐标数自由度恒等于广义坐标数总总
10、结结(1)检查刚体检查刚体(质点质点)数目数目 n n。(2)检查各刚体的运动形式检查各刚体的运动形式。(3)(3)列写出约束方程。列写出约束方程。(4)(4)计算自由度计算自由度,确定广义坐标确定广义坐标。(a)空间刚体系空间刚体系 k k=6=6n n-s s,空间质点系空间质点系 k k=3=3n-sn-s(b)平面刚体系平面刚体系 k k=3=3n-sn-s,平面质点系平面质点系 k k=2=2n-sn-s 广义坐标1、两个质点自由度的变化M1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,z2)zxyo六个坐标x1,x2,y1,y2,z1,z2(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)
11、2=l2六个坐标x1,x2,y1,y2,z1,z2五个坐标自由自由度为五zM1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,z2)xyo用一杆限制:构成曲柄连杆机构yM1(x1,y1)M2(x2,y2)xoM1(x1,y1)M2(x2,y2)xoyzM1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,z2)xyoyxoM1(x1,y1)M2(x2,y2)约束方程z1=0z2=0y2=0 x12+y12=R2(x2-x1)2+y12=l2质点系只有一个自由度。n个质点的质点系的自由度没有受到约束:3n受到l个约束:r=3n-l工程问题:约束多,自由度数目较少。r=3n-l 不方便。工程的改进方法适当选择独立变量独
12、立变量描述质点系的位置广义坐标:独立变量独立变量三、广义坐标应用x1=Rcosy1=Rsinz1=0y2=0z2=0yxoM1(x1,y1)M2(x2,y2)1、曲柄连杆机构2、双摆锤oyxa bM1(x1,y1)M2(x2,y2)3、小结n个质点l个约束广义坐标:q1、q2、qr任意一点直角坐标(xi,yi,zi)为广义坐标的函数xi=xi(q1,q2,qr)yi=yi(q1,q2,qr)zi=zi(q1,q2,qr)i=1,2,n;r=1,2,3n-l质量为质量为m的小环的小环P被限制在一个被限制在一个半径为半径为R的光滑大圆环上的光滑大圆环上,大圆大圆环绕过大环中心的铅垂轴以环绕过大环中
13、心的铅垂轴以的角速度均匀转动的角速度均匀转动,以小环为系以小环为系统统,试确定其自由度试确定其自由度.质点在球坐标系中用质点在球坐标系中用r,描述描述非定常约束非定常约束练习练习虚位移:质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移虚位移:质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移M实位移实位移:在无限小时间间隔在无限小时间间隔d dt t内内,系统的真实运动所产生的位移系统的真实运动所产生的位移所谓真实运动所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始条件的系统运动。因此条件的系统运动。因此,在任意时刻在任意时刻,系统的实位移是惟一的。系统
14、的实位移是惟一的。虚位移与实位移虚位移与实位移虚位移不惟一虚位移不惟一虚位移可以是线位移,也可以是角位移虚位移可以是线位移,也可以是角位移虚位移原理虚位移原理与广义力与广义力(1 1)静止质点可以有虚位移,但肯定没有实位移。)静止质点可以有虚位移,但肯定没有实位移。即:实位移与力有关,而虚位移只与约束有关。即:实位移与力有关,而虚位移只与约束有关。(2 2)虚位移是约束允许的微小位移,与时间无关,)虚位移是约束允许的微小位移,与时间无关,实位移是真实发生的位移,可以是微小值,也可实位移是真实发生的位移,可以是微小值,也可 以是有限值,而且与时间有关。以是有限值,而且与时间有关。虚位移与实位移的
15、区别与联系虚位移与实位移的区别与联系(4 4)在定常系统中,微小的实位移是虚位移之一)在定常系统中,微小的实位移是虚位移之一 ,在非定常系统中,微小的实位移不再成为虚位移之一。在非定常系统中,微小的实位移不再成为虚位移之一。(3)虚位移不惟一,而实位移是惟一的。)虚位移不惟一,而实位移是惟一的。虚位移与实位移区别与联系 无限小的位移 无限小或有限位移有多种不同方向 有确定的方向 仅与约束有关 与约束、所受力及运动情况有关虚位移实位移二、虚位移的分析方法二、虚位移的分析方法 1 1、几何法、几何法(虚速度法)自由度:k322211在同一时刻(位置),各点之间的虚位移的关系在同一时刻(位置),各点
16、之间的虚位移的关系等同于各点之间的虚速度的关系。等同于各点之间的虚速度的关系。2 2、解析法、解析法(i=1,n)2 1BAabxyn个质点自由度为k取广义坐标:自由度:2取广义坐标:1,2虚位移原理虚位移原理 一、虚功一、虚功理想约束力的虚功:理想约束力的虚功:理想约束力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。理想约束力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。(a)即约束处无虚位移,如固定端约束,铰支座等;(b)即约束力与虚位移相垂直,如光滑接触面约束等.(c)即约束点上约束力的合力为零,如铰链连接;(d)即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上
17、所作的功。作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。主动力的虚功:主动力的虚功:计算方法与力的元功计算一样。二、虚位移原理(虚功原理)二、虚位移原理(虚功原理)具具有有双双侧侧、定定常常、理理想想约约束束的的质质点点系系,在在给给定定位位置置平平衡衡的的充充要要条条件是:所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零件是:所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。解析式解析式矢量形式的虚位移原理:矢量形式的虚位移原理:直角坐标形式的虚位移原理:直角坐标形式的虚位移原理:例例1:已知已知 OA=L,试求试求系统在图示位置平衡时,系统在图示位置平衡时,力偶矩力偶矩M与力与力F的关系的关
18、系(不计摩擦)。(不计摩擦)。ABO基本步骤:基本步骤:1.确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件2.分析主动力作用点的虚位移分析主动力作用点的虚位移3.求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 ABO解:解:例例2:图示椭圆规机构图示椭圆规机构,连杆连杆A、B长为长为l,,杆重和摩擦力不计杆重和摩擦力不计,试求试求:在图示位置平在图示位置平衡时主动力衡时主动力FA和和FB之间的关系。之间的关系。xyO 1.几何法几何法2.解析法解析法解:解:xyO rB rA例3.图示曲柄式压榨机的销钉上作用有水平力 ,此力位于平面 内。作用线平分 。设 ,各处摩擦及杆重不计,求对物体的压
19、缩力。虚功方程解:取机构为研究对象,受力如图建立图示坐标系,以 角为自变量其中力和虚位移都是代数值,、正向为正如两点的虚位移为,根据虚位移原理,有代入虚功方程得对坐标变分写出B点和C点的坐标能否用虚位移原理求约束反力?例4:多跨静定梁所受荷载如图所示。试求链杆D的约束反力。图中长度单位为米。解:去除D点的约束,用约束反力 代替,将 作为主动力给系统一虚位移,则由几何关系虚功方程如何求虚位移间的关系结束语:虚位移原理与达朗伯原理相结合,又为非自由质点系动力学问题建立了普遍方程,是分析力学的基础。几何静力学平衡条件只是刚体平衡的充分必要条件,虚位移原理是质点系平衡的充分必要条件。用几何静力学平衡条
20、件求一些机构的平衡问题极不方便,虚位移原理是求解静力平衡问题有效而普遍的方法。广义力广义力 可得:可得:交换求和次序,有交换求和次序,有 记:记:为广义力为广义力 则:广义力的求法广义力的求法1、用公式直接计算、用公式直接计算对于保守系统,如果主动力是有势力,则势能对于保守系统,如果主动力是有势力,则势能V已知时,主动已知时,主动力和势能的关系为:力和势能的关系为:广义力可表示为:广义力可表示为:由于广义坐标变分由于广义坐标变分d dqj的任意性,因此要使方程恒能满足,则所的任意性,因此要使方程恒能满足,则所有有 qj前的系数都应等于零,即前的系数都应等于零,即具有固执、定长理想约束的完整系统
21、,平衡的必要和充分条件为:具有固执、定长理想约束的完整系统,平衡的必要和充分条件为:对应于每一广义坐标的广义力都等于零。对应于每一广义坐标的广义力都等于零。2、利用虚位移原理间接计算、利用虚位移原理间接计算 给给qj一个增量一个增量qj,而其他广义坐标保持不变,即虚位,而其他广义坐标保持不变,即虚位移是相互独立的,可令移是相互独立的,可令主动力元功之和为因而有例例 如图所示,在螺旋压榨机的手柄如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在上作用一在水平面内的力偶水平面内的力偶 ,其力偶矩,其力偶矩 M=2Fl,螺杆的,螺杆的导程为导程为h。求:机构平衡时加在被压物体上的力。求:机构平衡时加在被压物
22、体上的力。解:给虚位移解:给虚位移满足如下关系:满足如下关系:例例 图中所示结构,各杆自重不计,在图中所示结构,各杆自重不计,在点作用一铅直点作用一铅直向上的力向上的力,AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。求:支座求:支座的水平约束力。的水平约束力。解解:解除解除B B 端水平约束端水平约束,以力以力FBx 代替代替,如图如图 (b)(b)。带入虚功方程带入虚功方程 在弹簧处也代之以力,如图,其中在弹簧处也代之以力,如图,其中 如图在如图在CG间加一弹簧,刚度间加一弹簧,刚度K,且已有伸长量,且已有伸长量0,仍求,仍求 FBx。解得解得例题例题3 如图所示如图所示,匀质杆匀质杆OA,质量为
23、质量为m1,长为长为l1,能在能在竖直平面内绕固定的光滑铰链竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动转动,此杆的此杆的 A端用端用光滑铰链与另一根质量为光滑铰链与另一根质量为m2,长为长为l2的匀质杆的匀质杆 AB相连相连.在在 B端有一水平作用力端有一水平作用力 .求处于静平衡时求处于静平衡时,两杆与两杆与铅垂线的夹角铅垂线的夹角1和和 2.Al1Bl2Oxy1、判断约束类型、判断约束类型是否完整约束是否完整约束?是否理想约束是否理想约束?2、判断自由度、判断自由度3、分析受力、分析受力(主动力主动力)ABOxy4、由虚功原理、由虚功原理5、建立坐标系、建立坐标系(必须是静止坐标系必须是静止坐标系
24、)6、转化成广义坐标、转化成广义坐标广义力广义力广义力广义力广义平衡方程广义平衡方程 可求出系统处于静平衡时可求出系统处于静平衡时1,2所满足的方程所满足的方程:所以所以 法二法二 先求出广义力先求出广义力,再写出平衡方程再写出平衡方程s=2,所以有所以有2个广义力个广义力 虚功原理主要用于求解:虚功原理主要用于求解:(1)(1)系统的静平衡位置;系统的静平衡位置;(2)(2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系关系.应用虚功原理解题的主要步骤是:应用虚功原理解题的主要步骤是:(1)明确系统的约束类型明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理所要求看
25、是否满足虚功原理所要求的条件;的条件;(2)正确判断系统的自由度正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标;选择合适的广义坐标;(3)分析并图示系统受到的主动力;分析并图示系统受到的主动力;(4)通过坐标变换方程通过坐标变换方程,将虚功原理化成将虚功原理化成 的形式的形式,进而得出广义平衡方程进而得出广义平衡方程 对有势系对有势系,求出系统的势能求出系统的势能V 后,后,可通过可通过 得广义平衡方程得广义平衡方程;(5)求解广义平衡方程求解广义平衡方程.达朗贝尔原理与动力学普遍方程达朗贝尔原理与动力学普遍方程达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法,即用动力学中研究平衡问题的方法来研
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