2017年高考重庆理科数学试题及答案(精校版).doc

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（ ）
A． B． C． D．
2.设集合，．若，则（ ）
A． B． C． D．
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，
红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层
灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的
是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一
部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5.设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． 1 D． 9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们
四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成
绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上
信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
A2 B． C． D．
10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）
A. B. C. D.1
12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．
14.函数（）的最大值是 ．
15.等差数列的前项和为，，，则 ．
16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
的内角的对边分别为 ,已知．
(1)求
(2)若 , 面积为2,求
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

附： 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828 E是PD的中点

19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于
底面三角形BCD，

（1）证明：直线 平面PAB
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值
20. （12分）
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
(1) 求点P的轨迹方程；
(2) 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.
21.（12分）
已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且..
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲（10分）
已知.证明：
（1）；
（2）。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
理科数学解析
1．D
【解析】
2．C
【解析】1是方程的解，代入方程得
∴的解为或，∴
3．B
【解析】设顶层灯数为，，，解得．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．

5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线取到点时，所求最小值为．

6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得

7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】，，代入循环得，时停止循环，．

9．A
【解析】取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为
得，，．
10．C
【解析】，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为）
可知，，
作中点，则可知为直角三角形．
，
中，
，
则，则中，
则中，

又异面线所成角为，则余弦值为．

11．A
【解析】，
则，
则，，
令，得或，
当或时，，
当时，，
则极小值为．
12．B
【解析】几何法：
如图，（为中点），
则，
要使最小，则，方向相反，即点在线段上，
则，
即求最大值，
又，
则，
则．

解析法：
建立如图坐标系，以中点为坐标原点，
∴，，．
设，
，，，
∴

则其最小值为，此时，．
13．
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中，
则
14．
【解析】

令且

则当时，取最大值1．
15．
【解析】设首项为，公差为．
则

求得，，则，

16．
【解析】则，焦点为，准线，
如图，为、中点，
故易知线段为梯形中位线，
∵，，
∴
又由定义，
且，
∴

17.
【解析】（1）依题得：．
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）由⑴可知．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件
“新养殖法的箱产量不低于”为事件
而

（2）

箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由计算可得的观测值为

∵
∴
∴有以上的把握产量的养殖方法有关．
（3），
，
，∴中位数为．
19．【解析】

（1）令中点为，连结，，．
∵，为，中点，∴为的中位线，∴．
又∵，∴．
又∵，∴，∴．
∴四边形为平行四边形，∴．
又∵，∴
（2）以中点为原点，如图建立空间直角坐标系．
设，则，，，，，
．
在底面上的投影为，∴．∵，
∴为等腰直角三角形．
∵为直角三角形，，∴．
设，，．∴．
．∴．
∴，
，．设平面的法向量．
，∴
，．设平面的法向量为，
．
∴．
∴二面角的余弦值为．

20．
【解析】 ⑴设，易知
又
∴，又在椭圆上．
∴，即．
⑵设点，，，
由已知：，
，
∴，
∴．
设直线：，
因为直线与垂直．
∴
故直线方程为，
令，得，
，
∴，
∵，
∴，
若，则，，，
直线方程为，直线方程为，
直线过点，为椭圆的左焦点．

21．
【解析】 ⑴ 因为，，所以．
令，则，，
当时，，单调递减，但，时，；
当时，令，得．
当时，，单调减；当时，，单调增．
若，则在上单调减，；
若，则在上单调增，；
若，则，．
综上，．
⑵ ，，．
令，则，．
令得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以，．
因为，，，，
所以在和上，即各有一个零点．
设在和上的零点分别为，因为在上单调减，
所以当时，，单调增；当时，，单调减．因此，是的极大值点．
因为，在上单调增，所以当时，，单调减，时，单调增，因此是的极小值点．
所以，有唯一的极大值点．
由前面的证明可知，，则．
因为，所以，则
又，因为，所以．
因此，．
22．
【解析】⑴设
则．

解得，化为直角坐标系方程为
．
⑵连接，易知为正三角形．
为定值．
∴当高最大时，面积最大，
如图，过圆心作垂线，交于点
交圆于点，
此时最大

23．
【解析】⑴由柯西不等式得：
当且仅当，即时取等号．
⑵∵
∴
∴
∴
∴
由均值不等式可得：
∴
∴
∴
∴ 当且仅当时等号成立．