2005年山东高考理科数学真题及答案.doc

2005年山东高考理科数学真题及答案
第I卷（共60分）
参考公式：如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.
（1） （ ）
（A） （B） （C）1 （D）
（2）函数的反函数图像大致是 （ ）
（A） （B） （C） （D）

（3）已知函数，则下列判断正确的是（ ）
（A）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是
（B）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是
（C）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是
（D）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是
（4）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）
（A）（B）（C）（D）
（5）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）
（A）7 （B） （C）21 （D）
（6）函数，若则的所有可能值为（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
（7）已知向量，且，，则一定共线的三点是（ ）
（ A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D
（8）设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10）设集合A、B是全集的两个子集，则是的（ ）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）冲要条件（D）既不充分也不必要条件
（11），下列不等式一定成立的是（ ）
（A）（B）
（C）
（D）
（12）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第II卷（共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.
（13）.
(14)设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率.
(15)设、满足约束条件则使得目标函数的最大的点是.
(16)已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若则
②若则③若，则④是两条异面直线，若，则
上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知向量和，且求的值.
(18)(本小题满分12分)
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.
（I）求袋中所有的白球的个数；
（II）求随机变量的概率分布；
（III）求甲取到白球的概率.
（19）（本小题满分12分）
已知是函数的一个极值点，其中，
（I）求与的关系式；
（II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
(20)(本小题满分12分)
如图，已知长方体
直线与平面所成的角为，垂直于
，为的中点.
（I）求异面直线与所成的角；
（II）求平面与平面所成的二面角；
（III）求点到平面的距离.
（21）（本小题满分12分）
已知数列的首项前项和为，且
（I）证明数列是等比数列；
（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.
(22)(本小题满分14分)
已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（I）求动圆圆心的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
B
D
C
C
A
D
D
A
A
B
二．填空题
13． 14. 15. 16. ③④
三.解答题
17.考查知识点：（三角和向量相结合）
解:
=
==
由已知,得又

18.（考查知识点：概率及分布列）
解:(I)设袋中原有个白球,由题意知
可得或(舍去)即袋中原有3个白球.
(II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

所以的分布列为:

1
2
3
4
5

(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则
19.（考查知识点：函数结合导数）
解(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以
（II）由（I）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：

1

0

0

调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.
（III）由已知得，即
又所以即①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以解之得又所以
即的取值范围为
20．(考查知识点：立体几何)
解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系
由已知可得，
又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得
（I）因为所以=
易知异面直线所成的角为
（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由
即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为
（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，
所以距离=所以点到平面的距离为
21．（考查知识点:数列）
解：由已知可得两式相减得
即从而当时所以又所以从而
故总有，又从而即数列是等比数列；
（II）由（I）知
因为所以
从而=
=-=
由上-=
=12①
当时，①式=0所以；
当时，①式=-12所以
当时，又
所以即①从而
22．（考查知识点:圆锥曲线）
解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；
（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①
（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点
（2）当时，由，得==
将①式代入上式整理化简可得：，所以，
此时，直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点
所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.