2008年广东高考（理科）数学试题及答案.pdf

第 1 页（共 5 页）开始1i n 整除a?是输入mn，结束am i输出ai，1ii 图 3否2008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）（广东卷）数学数学(理科理科)一、选择题：本大题共选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的 1已知，复数的实部为，虚部为 1，则的取值范围是（C ）02azazA B C D(15)，(13)，(15)，(13)，【解析】，而，即，12az20 a5112 a51z2记等差数列的前项和为，若，则（D ）nannS112a 420S 6S A16 B24 C36 D48【解析】，故 20624dS3d481536dS3某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表 1已知在全校 学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C）A 24 B 18 C 16 D 12 表 1【解析】依题意我们知道二年级的女生有 380 人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的500人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 2:3:31682644若变量满足则的最大值是（C）xy，24025000 xyxyxy，32zxyA90 B80 C70 D40【解析】画出可行域,利用角点法易得答案 C.5将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示分别是三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体ABC，GHI按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（A）EFDIAHGBCEFDABC侧视图 1图 2BEABEBBECBED【解析】解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案 A.6已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（D）:p:qA B C D()pqpq()()pq()()pq【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有 为真命题 pq()()pq 7设，若函数，有大于零的极值点，则（B）aR3axyexxRA B C D 3a 3a 13a 13a 【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有()3axfxaexR()30axfxae成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为()30axfxae0a 13ln()xaa0 x a.3a 8在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若ABCDACBDOE，ODAECDF，则（B）AC aBD bAF A B C D 1142ab2133ab1124ab1233ab【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案:1:2DF FC B.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分（一）必做题（912 题）9阅读图 3 的程序框图，若输入，则输出 ，4m 6n a i （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）:【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，na而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍 maamn数 12，即此时有。3i 10已知（是正整数）的展开式中，的系数小于 120，26(1)kxk8x则 k【解析】按二项式定理展开的通项为，26(1)kx22166()rrrrrrTCkxC k x我们知道的系数为，即，也即，8x444615C kk415120k 48k 而是正整数，故只能取 1。kk11经过圆的圆心，且与直线垂直的直线 2220 xxyC0 xy 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y男生 377 370 z 第 2 页（共 5 页）方程是 【解析】易知点 C 为，而直线与垂直，我们设待求的(1,0)0 xy直线的方程为，将点 C 的坐标代入马上就能求出参数的 yxbb值为，故待求的直线的方程为。1b 10 xy 12已知函数，则的最小正周期是 ()(sincos)sinf xxxxxR()f x【解析】,此时可得函数的最小正周期。21 cos21()sinsin cossin222xf xxxxx22T二、选做题（二、选做题（1315 题，考生只能从中选做两题）题，考生只能从中选做两题）13（坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题）已 知 曲 线的 极 坐 标 方 程 分 别 为，12CC，cos3，则曲线与交点的极坐标为 4cos0 02，1C2C【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。cos3(0,0)4cos22 36(2 3,)614（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围aRx2104xxaaa是 【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取2110,44aaxx a值范围为 10,415（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交PAOA2PA ACOPCO于点，则圆的半径 B1PB OR【解析】依题意，我们知道,PBAPAC由相似三角形的性质我们有,2PAPBRAB即。22221322 1PA ABRPB三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤 16（本小题满分 13 分）已知函数，的最大值是 1，其图像经过点()sin()(0 0)f xAxA，xR 13 2M，（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值()f x02，3()5f12()13f()f【解析】（1）依题意有，则，1A()sin()f xx将点代入得，1(,)3 2M1sin()32而，05362故；()sin()cos2f xxx（2）依题意有，而，312cos,cos513,(0,)2，2234125sin1(),sin1()551313。3124556()cos()coscossinsin51351365f17（本小题满分 13 分）随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求 1 件产1%70%品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有 6，2，1，-2；，126(6)0.63200P50(2)0.25200P，20(1)0.1200P4(2)0.02200P 故的分布列为：6 2 1-2 P0.63 0.25 0.1 0.02 （2）6 0.632 0.25 1 0.1(2)0.024.34E 第 3 页（共 5 页）AyxOBGFF1图 4（3）设技术革新后的三等品率为，则此时 1 件产品的平均利润为 x()6 0.72(1 0.70.01)(2)0.014.76(00.29)E xxxx 依题意，即，解得 所以三等品率最多为()4.73E x 4.764.73x0.03x 3%18（本小题满分 14 分）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图 4 所示，过点作轴0b 222212xybb28()xyb(02)Fb，x的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点 GG1F（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角AB，PABP形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【解析】（1）由得，28()xyb218yxb当得，2yb4x G 点的坐标为，(4,2)b14yx4|1xy过点 G 的切线方程为即，(2)4ybx2yxb令得，点的坐标为，0y 2xb1F(2,0)b由椭圆方程得点的坐标为，1F(,0)b即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；2bb 1b 2212xy28(1)xy（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,AxP以为直角的只有一个，PABRt ABP同理 以为直角的只有一个。PBARt ABP若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，APBP21(,1)8xx AB(2,0)(2,0)。222421152(1)108644PA PBxxxx 关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，2xxAPBRt ABP因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。ABP19（本小题满分 14 分）设，函数，试讨论函数的单调性 kR111()11xxf xxx，()()F xf xkxxR()F x【解析】1,1,1()()1,1,kxxxF xf xkxxkxx 21,1,(1)()1,1,21kxxF xkxx对于，1()(1)1F xkx xx当时，函数在上是增函数；0k()F x(,1)当时，函数在上是减函数，在上是增函数；0k()F x1(,1)k1(1,1)k对于，1()(1)21F xk xx 当时，函数在上是减函数；0k()F x1,当时，函数在上是减函数，在上是增函数。0k()F x211,14k211,4k20（本小题满分 14 分）如图 5 所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，PABCDABCDRBD，垂直底面，分别是上的点，且60ABD45BDCPDABCD2 2PDREF，PBCD，过点作的平行线交于 PEDFEBFCEBCPCG（1）求与平面所成角的正弦值；BDABP（2）证明：是直角三角形；EFG（3）当时，求的面积 12PEEBEFG【解析】（1）在中，Rt BAD60ABD,3ABR ADR而 PD 垂直底面 ABCD，2222(2 2)(3)11PAPDADRRR,2222(2 2)(2)2 3PBPDBDRRRFCPGEAB图 5D 第 4 页（共 5 页）在中，,即为以为直角的直角三角形。PAB222PAABPBPABPAB设点到面的距离为,DPABH由有,P ABDD PABVVPA AB HAB AD PD即 32 22 661111AD PDRRHRPAR;66sin11HBD(2),而,即,/,PEPGEGBCEBGCPEDFEBFC,/PGDFGFPDGCDC，GFBC,是直角三角形；GFEGEFG（3）时,12PEEB13EGPEBCPB23GFCFPDCD即,112224 22cos45,2 2333333EGBCRR GFPDRR 的面积 EFG21124 2422339EFGSEG GFRRR21（本小题满分 12 分）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，pq，20 xpxqnx1xp22xpq（）12nnnxpxqx3 4n ，（1）证明：，；pq（2）求数列的通项公式；nx（3）若，求的前项和 1p 14q nxnnS【解析】（1）由求根公式，不妨设，得 2244,22ppqppq，224422ppqppqp224422ppqppqq（2）设，则，112()nnnnxsxt xsx12()nnnxst xstx由得，12nnnxpxqx stpstq消去，得，是方程的根，t20spsqs20 xpxq由题意可知，12,ss当时，此时方程组的解记为 stpstq1212sstt或 112(),nnnnxxxx112(),nnnnxxxx即、分别是公比为、的等比数列，11nnxt x21nnxt x1s2s由等比数列性质可得,2121()nnnxxxx2121()nnnxxxx两式相减，得 2212121()()()nnnxxxxx，221,xpq xp222x1x，22221()nnnxx22221()nnnxx，1()nnnx即，1nnnx11nnnx当时，即方程有重根，20 xpxq240pq即，得，不妨设，2()40stst2()0,stst st由可知，2121()nnnxxxx2121()nnnnxxxx即，等式两边同时除以，得，即 1nnnxxn111nnnnxx111nnnnxx数列是以 1 为公差的等差数列，nnx,12(1)111 nnxxnnnnnnxn 第 5 页（共 5 页）综上所述，11,(),()nnnnnxn（3）把，代入，得，解得 1p 14q 20 xpxq2104xx12 11()()22nnnxn 232311111111()()().()()2()3().()22222222nnnSn 23111111()()2()3().()22222nnn 11111()2()()222nnnn 13(3)()2nn