2007年天津高考文科数学真题及答案.doc

2007年天津高考文科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（　　）
Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14
（3） “”是“直线平行于直线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（4）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
（5）函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
（6）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与所成的角相等，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
（7）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
（8）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
（9）设函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
（10）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组

频数
1
2
3
10

1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．
（12）的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．
（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 ．
（14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．
（15）在中，，，是边的中点，则 ．
（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
（18）（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，

，，是的中点．
（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

（20）（本小题满分12分）
在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
（21）（本小题满分14分）
设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．
（22）（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．

参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C
（6）D （7）D （8）B （9）A （10）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
（11） （12） （13）
（14） （15） （16）
三、解答题
（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，
．
所以．
（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．

．
（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且
，，
故取出的4个球均为红球的概率是
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且
，．
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
．
（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故．

又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
由条件，，面．
又面，．
由，，可得．
是的中点，，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，可得．设，可得
，，，．
在中，，，则
．
在中，．
所以二面角的大小．
（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设，得
，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为
．
所以数列的前项和．
（Ⅲ）证明：对任意的，

．
所以不等式，对任意皆成立．
（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（Ⅲ）证明：由，得，当时，
，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要
即
　　　　　　　　①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．
所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．
（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中
，由于点在椭圆上，有，
，
解得，从而得到，
直线的方程为，整理得
．
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将代入原式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为，

过点作，垂足为，易知，故

由椭圆定义得，又，所以
，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组
的解．当时，由①式得

代入②式，得，即
，
于是，

．
若，则
．
所以，．由，得．在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．