2012年浙江省高考数学【理】（含解析版）.pdf

2012 浙江省高考数学（理科）试卷浙江省高考数学（理科）试卷 word 版版(含答案含答案)2012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数数 学学（理科）（理科）选择题部分（共选择题部分（共 50 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。要求的。1设集合设集合，集合，集合，则，则|14Axx2|230Bx xx()RAC B A B C D(1 4)，(3 4)，(1 3)，(1 2)(3 4)，2已知已知 是虚数单位，则是虚数单位，则 i31ii A B C D 1 2i2i2i12i3设设，则“，则“”是“直线”是“直线：与直线与直线：平行”的平行”的 aR1a 1l210axy 2l(1)40 xay A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 4把函数把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变），然后向左平移，然后向左平移 1 个单位长个单位长cos21yx度，再向下平移度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是个单位长度，得到的图像是 5设设，是两个非零向量是两个非零向量 ab A若若，则，则|ababab B若若，则，则 ab|abab C若若，则存在实数，则存在实数，使得，使得|ababba D若存在实数若存在实数，使得，使得，则，则 ba|abab6若从若从 1，2，3，9 这这 9 个整数中同时取个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A60 种种 B63 种种 C65 种种 D66 种种 7设设是公差为是公差为（）的无穷等差数列）的无穷等差数列的前的前项和，则下列命题错误的是项和，则下列命题错误的是 nSd0d nan A若若，则数列，则数列有最大项有最大项 0d nS B若数列若数列有最大项，则有最大项，则 nS0d C若数列若数列是递增数列，则对任意是递增数列，则对任意，均有，均有 nS*nN0nS D若对任意若对任意，均有，均有，则数列，则数列是递增数列是递增数列*nN0nS nS8如图，如图，分别是双曲线分别是双曲线：的的 1F2FC22221(0)xya bab，左、右两焦点，左、右两焦点，是虚轴的端点，直线是虚轴的端点，直线与与的两条渐近的两条渐近 B1FBC线分别交于线分别交于，两点，线段两点，线段的垂直平分线与的垂直平分线与轴交于点轴交于点 PQPQx若若，则，则的离心率是的离心率是 M112|MFFFC A B C D 2 3362239设设，0a 0b A若若，则，则 B若，则若，则 2223ababab2223ababab C若若，则，则 D若若，则，则 2223ababab2223ababab10已知矩形已知矩形，将将沿矩形的对角线沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程所在的直线进行翻折，在翻折过程ABCD1AB 2BC ABDBD中，中，A存在某个位置，使得直线存在某个位置，使得直线与直线与直线垂直垂直 ACBD B存在某个位置，使得直线存在某个位置，使得直线与直线与直线垂直垂直 ABCD C存在某个位置，使得直线存在某个位置，使得直线与直线与直线垂直垂直 ADBC D对任意位置，三对直线“对任意位置，三对直线“与与”，“与与”，“与与”均不垂直”均不垂直 ACBDABCDADBC 非选择题部分（共非选择题部分（共 100 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分。分。11已知某三棱锥的三视图（单位：已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥）如图所示，则该三棱锥 cm的体积等于的体积等于 3cm12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 13设公比为设公比为的等比数列的等比数列的前的前项和为项和为(0)q q nannS若若，则，则 2232Sa4432Saq 14若将函数若将函数表示为表示为 5()f xx，2345012345()(1)(1)(1)(1)(1)f xaaxaxaxaxax其中其中，为实数，则为实数，则 0a1a2a5a3a 15在在中，中，是是的中点，的中点，ABCMBC3AM 10BC 则则 AB BC 16定义：曲线定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线到直线 CCl的距离已知曲线的距离已知曲线：到直线到直线：的距离等于曲线的距离等于曲线 1C2yxalyx：到直线到直线：的距离，则实数的距离，则实数 2C22(4)2xylyxa 17设设，若，若时均有时均有，aR0 x 21110axxax则则 a 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本 题 满 分（本 题 满 分 14 分）在分）在中，内 角中，内 角，的 对 边 分 别 为的 对 边 分 别 为，已 知 已 知，ABCABCabc2cos3A sin5cosBC（）求（）求的值；的值；tanC（）若（）若，求，求的面积的面积 2a ABC 19（本题满分（本题满分 14 分）已知箱中装有分）已知箱中装有 4 个白球和个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球得个黑球，且规定：取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得分，取出一个黑球得 1分现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）分现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3 个球，记随机变量个球，记随机变量为取出此为取出此 3 球所得分数之和球所得分数之和 X（）求（）求的分布列；的分布列；X（）求（）求的数学期望的数学期望 X()E X20（本题满分（本题满分 15 分）如图，在四棱锥分）如图，在四棱锥中，底面是中，底面是 PABCD边长为边长为的菱形，的菱形，且，且平面平面，2 3120BADPA ABCD，分别为分别为，的中点的中点 2 6PA MNPBPD（）证明：（）证明：平面平面；MN ABCD（）过点（）过点作作，垂足为点，垂足为点，求二面角，求二面角 AAQPCQ的平面角的余弦值的平面角的余弦值 AMNQ 21（本题满分（本题满分 15 分）如图，椭圆分）如图，椭圆：的的 C22221(0)xyabab离心率为离心率为，其左焦点到点，其左焦点到点的距离为的距离为，不过原点，不过原点的的 12(2,1)P10O直线直线 与与相交于相交于，两点，且线段两点，且线段被直线被直线平分平分 lCABABOP（）求椭圆（）求椭圆的方程；的方程；C（）求（）求面积取最大值时直线面积取最大值时直线 的方程的方程 ABPl 22（本题满分（本题满分 14 分）已知分）已知，函数，函数 0a bR3()42f xaxbxab（）证明：当（）证明：当时，时，01x （i）函数）函数的最大值为的最大值为；()f x|2|aba （ii）；()|2|0f xaba（）若（）若对对恒成立，求恒成立，求的取值范围的取值范围 1()1f x 0 1x，ab 数学（理科）试题参考答案数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分分，满分 50 分。分。1B 2D 3A 4A 5C 6D 7C 8B 9A 10B 二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分分，满分 28 分。分。111 12 13 1410 11203215-16 16 17 9432三、解答题：本题共小题，满分三、解答题：本题共小题，满分 72 分。分。18本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。分。（）因为（）因为，得，得 0A2cos3A 25sin1 cos3AA 又又 5cossinsin()CBAC sincoscossinACAC 52cossin33CC 所以所以 tan5C（）由（）由，得，得 tan5C ，5sin6C 1cos6C 于是于是 5sin5cos6BC 由由及正弦定理及正弦定理，得，得 2a sinsinacAC 3c 设设的面积为的面积为，则，则 ABCS 15sin22SacB19本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分能力和应用意识。满分 14 分。分。（）由题意得（）由题意得取取 3，4，5，6，且，且 X ，35395(3)42CP XC12453910(4)21CCP XC ，2245395(5)14CCP XC44391(6)21CP XC 所以所以的分布列为的分布列为 X X3 4 5 6 P 542 1021 514 121（）由（）知（）由（）知 13()3(3)4(4)5(5)6(6)3E XP XP XP XP X 20本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分力和运算求解能力。满分 15 分。分。（）因为（）因为，分别是分别是，的中点，所以的中点，所以是是的中位线，所以的中位线，所以 MNPBPDMNPBD /MMBD 又因为又因为平面平面，所以，所以 MN ABCD 平面平面/MMABCD（）方法一：（）方法一：连结连结交交于于，以，以为原点，为原点，所在直线为所在直线为，轴，建立空间直角坐标系轴，建立空间直角坐标系ACBDOOOCODxyOxyz，如图所示，如图所示 在菱形在菱形中，中，得，得 ABCD120BAD ，2 3ACAB36BDAB 又因为又因为平面平面，所以，所以 PA ABCD PAAC 在直角在直角中，中，得，得 PAC2 3AC 2 6PA AQPC ，2QC 4PQ 由此知各点坐标如下，由此知各点坐标如下，(3,0,0)A(0,3,0)B ，(3,0,0)C(0,3,0)D ，(3,0,2 6)P 33(,6)22M ，33(,6)22N 32 6(,0,)33Q 设设为平面为平面的法向量的法向量(,)x y zmAMN 由由，知知 33(,6)22AM 33(,6)22AN 336022336022xyzxyz 取取，得，得 1x (2 2,0,1)m 设设为平面为平面的法向量的法向量(,)x y znQMN 由由，知知 5 336(,)623QM 5 336(,)623QN 5 33606235 3360623xyzxyz 取取，得，得 5z (2 2,0,5)n 于是于是 33cos,|33m nm nmn|所以二面角所以二面角的平面角的余弦值为的平面角的余弦值为 AMNQ3333 方法二：方法二：在菱形在菱形中，中，得，得 ABCD120BAD ，ACABBCDA3BDAB 有因为有因为平面平面，所以，所以 PA ABCD ，PAABPAACPAAD 所以所以 PBPCPD 所以所以 PBCPDC 而而，分别是分别是，的中点，所以的中点，所以 MNPBPD ，且，且 MQNQ1122AMPBPDAN 取线段取线段的中点的中点，连结，连结，则，则 MNEAEEQ ，AEMNQEMN 所以所以为二面角为二面角的平面角的平面角 AEQAMNQ 由由，故，故 2 3AB 2 6PA 在在中，中，得，得 AMN3AMAN132MNBD 3 32AE 在直角在直角中，中，得，得 PACAQPC ，2 2AQ 2QG 4PQ 在在中，中，得，得 PBC2225cos26PBPCBCBPCPB PC 222cos5MQPMPQPM PQBPC 在等腰在等腰中，中，得，得 MQN5MQNQ3MN 22112QEMQME 在在中，中，得，得 AEQ3 32AE 112QE 2 2AQ 22233cos233AEQEAQAEQAE QE 所以二面角所以二面角的平面角的余弦值为的平面角的余弦值为 AMNQ333321本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分法和综合解体能力。满分 15 分。分。（）设椭圆左焦点为（）设椭圆左焦点为，则由题意得，则由题意得(0)Fc，(2)11012cca 得得 12ca 所以椭圆方程为所以椭圆方程为 22143xy（）设（）设，线段，线段的中点为的中点为 11()A xy，22()B xy，ABM当直线当直线与与轴垂直时，直线轴垂直时，直线的方程为的方程为，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线的方的方ABxAB0 x AB程为程为，(0)ykxm m由由消去消去，整理得，整理得 223412ykxmxyy，（1）222(34)84120kxkmxm则则，2222644(34)(412)0k mkm 122212283441234kmxxkmx xk 所以所以线段的中点线段的中点，AB2228412(,)3434kmmMkk因为因为在直线在直线上，所以上，所以 MOP，22323434mkmkk得得（舍去）或（舍去）或，0m 32k 此时方程（此时方程（1）为）为，则，则 22330 xmxm，23(12)0m 1221233xxmmx x所以所以，221239|1|126ABkxxm设点设点到直线到直线距离为距离为，则，则 PABd，22|82|2|4|1332mmd设设的面积为的面积为，则，则 ABPS，2213|(4)(12)26SAB dmm其中其中，(2 3,0)(0,2 3)m 令令，22()(12)(4)u mmm 2 3,2 3m，2()4(4)(26)4(4)(17)(17)u mmmmmmm 所以当且仅当所以当且仅当，取到最大值，取到最大值，17m ()u m故当且仅当故当且仅当，取到最大值取到最大值 17m S综上，所求直线综上，所求直线 方程为方程为 l322 720 xy22本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分等综合解题能力和创新意识。满分 14 分。分。（）（）（i）22()12212()6bfxaxba xa 当当时，有时，有，此时，此时在在上单调递增上单调递增 0b()0fx()f x0,)所以当所以当时，时，01x max3,2()max(0),(1)max,3|2|,2ab baf xffabababaab ba （ii）由于）由于，故，故 01x 当当时，时，2ba 333()|2|()34224422(221)f xabaf xabaxbxaaxaxaaxx 当当时，时，2ba 333()|2|()42(1)244(1)22(221)f xabaf xabaxbxaaxaxaaxx 设设，则，则 3()221,01g xxxx ，233()626()()33g xxxx 于是于是 x0 3(0,)3 33 3(,1)31 ()g x -0+()g x1 减减 极小极小值值 增增 1 所以，所以，min34 3()()1039g xg 所以所以 当当时，时，01x32210 xx 故故 3()|2|()2(221)0f xabaf xabaxx （）由（）由（i）知，当）知，当，所以，所以 01xmax()|2|f xaba|2|1aba 若若，则由（，则由（ii）知）知|2|1aba ()(|2|)1f xaba 所以所以对任意对任意恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 1()1f x 01x ，|2|10abaa 即即，或，或（1）20310ababa2010abbaa 在直角坐标系在直角坐标系中，中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段aObBC，作一组平行直线作一组平行直线，得，得()abt tR 13ab 所以的取值范围是所以的取值范围是(1,3