2010年高考重庆理科数学试题及答案(精校版).doc

绝密★启用前 解密时间：2010年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：00】
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理工农医类）解析
数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）在等比数列中，，则公比的值为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、8
【命题意图】本题考查等比数列的概念，基础题.
【解析】∵，∴，选A.
（2）已知向量满足，则（ ）
A、0 B、 C、4 D、8
【命题意图】本题考查向量的有关概念和基本运算.
【解析】∵，∴选B.
（3）（ ）
A、 B、 C、 D、1
【命题意图】本题考查函数极限的概念、运算法则、型极限的求法以及转化与化归思想.
【解析】，选B.
（4）设变量满足约束条件则的最大值为（ ）
A、 B、4 C、6 D、8
【命题意图】本题考查线性规划的求解问题.作为选择题，要准确快速求解，可利用端点处取得最值（函数的思想）来求解则更好，从而要求考生对性规划的问题有较深刻的认识.

【解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的，
当直线过点的时，z取得最大值6，故选C.

（5）函数的图象（ ）
A、关于原点对称 B、关于直线对称 C、关于轴对称 D、关于轴对称
【命题意图】本题考查函数的概念和奇偶性、幂的运算性质和计算能力.
【解析】∵，∴是偶函数，图像关于y轴对称，选D
（6）已知函数（）
的部分图象如题（6）图所示，则（ ）
A、
B、
C、
D、
【命题意图】本题考查的图像和性质，数形结合思想等，这是高考的常考题型，但又是学生的软肋，注意复习，多加训练.
【解析】由图像可知，周期，∴，由五点作图法知，解得，所以，，选D.
（7）已知，，，的最小值是（ ）
A、3 B、4 C、 D、
【命题意图】本题考查均值不等式的灵活应用、一元二次不等式的解法以及整体思想.
【解析】由均值不等式，得，
整理，得，
即，又，所以，选B.
（8）直线与圆心为D的圆（）A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（ ）
A、 B、 C、 D、
【命题意图】本题考查直线的倾斜角、斜率、方程，圆的标准方程和参数方程，直线与圆的位置关系以及数形结合的思想方法.
【解析】画出图形，，
由圆的性质可知
，
故，选C.

（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A、504种 B、960种 C、1008种 D、1108种
【命题意图】此题是一个排列组合问题.既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生克服困难解决实际问题的能力和水平.
【解析】分两类：①甲乙排1、2号或6、7号，共有种不同的安排方法；②甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有种方法，故共有1008种不同的排法，选C.
（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
A、直线 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线
【命题意图】本题考查空间中线与线，线与面的垂直，动点的轨迹的求法，同时考查空间想象力.
【解析】（直接法）记这两直线为，，异面直线的距离为k，平面为过且平行于的平面，设上某个点P满足条件。
将正投影到平面上，其投影记为，设P到及的距离为，到的距离为，则，即，这里k为定值，，分别正是P到上两垂直直线，的距离，而和可看作上的直角坐标系，由此可知，P的轨迹就是双曲线.
（排除法）轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B，故选D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
（11）已知复数则____________.
【命题意图】本题考查复数概念和基本运算，其中分母实数化是求解的关键.
【解析】，答案为：.
（12）设，若，则实数_________.
【命题意图】此题题型来自于课本习题，考查集合的概念和运算、方程的解法等基础知识.
【解析】∵，∴ A={0,3}，故.答案为：.
（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_____________.
【命题意图】本题考查对立事件的概率、独立事件的概率以及计算能力和推理能力.当有“至少”、“最多”等字眼时，常从反面入手，化难为易.
【解析】由，解得，答案为：
（14）已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为___________.
【命题意图】本题考查抛物线的定义、标准方程、几何性质等，灵活应用平面几何知识是解决本题的关键，向量仅仅是一件外衣，本题是平面几何知识的应用.
【解析】设，由抛物线的定义，知，，
中，，，
由相似三角形性质，得，解得，
根据梯形中位线定理，得弦的中点到准线的距离为，答案为：.

（15）已知函数满足：，（），则__________.
【命题意图】本题考场抽象函数的周期性，函数与数列的关系，研究抽象函数最有效的办法是：特殊值法.
【解析】取x=1， y=0，得，
法一：通过计算，寻得周期为6
法二：取x=n ，y=1，有f(n)=f(n+1)+f(n-1)，同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) ，所以T=6 ，故，答案为：.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）
设函数，.
（Ⅰ）求的值域；
（Ⅱ）记的内角的对边长分别为，若，求的值.
【命题意图】此题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、和（差）角公式、正弦定理、由余弦定理以及函数思想和方程思想，同时考查基本运算能力．
【解析】（Ⅰ）
，因此的值域为.
（Ⅱ）由得，即，又因，
故.
解法一：由余弦定理，得，解得或.
解法二：由正弦定理，得或.
当时，，从而；
当时，，又，从而.故的值为1或2.
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.
【命题意图】本小题主要考查等可能事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.其中第（2）问是课本上常见的类型题.
【解析】（Ⅰ）设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 .
（Ⅱ）的所有可能值为0，1，2，3，4，且
，
.
从而知有分布列

0
1
2
3
4

所以，.
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
已知函数，其中实数.
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在处取得极值，试讨论的单调性.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
【解析】（Ⅰ）.
当时，，而，
因此曲线在点处的切线方程为即.
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，即，
解得.
此时，其定义域为，且
，由得.当
或时，；当且时，.
由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是减函数.
（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，四棱锥为矩形，底面，，点是棱的中点.
（Ⅰ）求直线与平面的距离；
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.
【命题意图】本题考查直线与平面垂直、二面角、三棱锥的性质及体积等基础知识.求解第（1）问的关键是将点到面的距离转化为三棱锥的高，等体积法是这类问题的杀手.第（2）问只需用“三垂线”即可找到二面角的平面角.
【解析】解法一：
（Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形中，平面，
故直线与平面的距离为点到平面的距离.
因底面，故，由知为等腰三角
形，又点是棱 中点，故.又在矩形
中，，而是在底面内的射影，由
三垂线定理得，从而平面，故
.从而平面，故之长即为直线
与平面的距离.
（Ⅱ）过点D作，交CE于F，过点F作，交AC于G，则为所求的二面角的平面角.
由（Ⅰ）知平面PAB，又，得平面PAB，故，从而.
在中，.由，所以为等边三角形，故F为CE的中点，且.
因为平面PBC，故，又，知，从而，且G点为AC的中点.
连接DG，则在中，.
所以.
解法二：

P

G
F
答（19）图2
C
B
A
D
E
（Ⅰ）如答（19）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系.
设，则，
.
因此，
则，所以平面PBC.
又由知平面PBC，故直线AD与平面
PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为.
（Ⅱ）因为，则.
设平面AEC的法向量，则.
又，故
所以. 可取，则.
设平面DEC的法向量，则.
又，故
所以. 可取，则.
故.
所以二面角的平面角的余弦值为.
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；

M
题（20）图

G
E
N
H
O
（Ⅱ）如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交于两点，求的面积.

【命题意图】题主要考查双曲线概念、标准方程、几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．圆锥曲线问题的求解一般思考方法是合理设元（设点或直线等）、几何条件代数化、建立恰当的关系式、围绕目标合理处理关系式（包括代入转化与恒等变形等）．
【解析】（Ⅰ）设的标准方程为，则由题意，
因此，
的标准方程为.
的渐近线方程为，即
和.
（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点
在直线和
上，因此有，，
故点M、N均在直线上，因此直线MN的方程为.
设G、H分别是直线MN与渐近线及的交点，
由方程组及
解得.
设MN与轴的交点为Q，则在直线中，令得（易知. 注意到，得
.
解法二：设，由方程组
解得，
因，则直线MN的斜率.
故直线MN的方程为，
注意到，因此直线MN的方程为.
下同解法一.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
在数列中，，（），其中实数.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若对一切有，求的取值范围.
【命题意图】本题主要考查数列的定义、数列通项公式、数学归纳法、不等式的解法以及方程和函数思想.本题的实质是：已知递推公式（，为常数）求通项公式.
【解析】（Ⅰ）解法一：由，
，
，
猜测.
下用数学归纳法证明.
当时，等式成立；
假设当时，等式成立，即，则当时，

，
综上， 对任何都成立.
解法二：由原式得.
令，则，因此对有

，
因此，.
又当时上式成立.
因此.
（Ⅱ）解法一：由，得
，
因，所以.
解此不等式得：对一切，有或，其中
，
.
易知，
又由，知
，
因此由对一切成立得.
又，易知单调递增，故
对一切成立，因此由对一切成立得.
从而的取值范围为.
解法二：由，得
，
因，所以对恒成立.
记，下分三种情况讨论.
（ⅰ）当即或时，代入验证可知只有满足要求.
（ⅱ）当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时，
不符合题意，此时无解.
（ⅲ）当即或时，抛物线开口向上，其对称轴
必在直线的左边. 因此，在上是增函数.
所以要使对恒成立，只需即可.
由解得或.
结合或得或.
综合以上三种情况，的取值范围为.
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