2021年全国统一高考数学试卷（文科）全国乙卷（含解析版）.doc

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数学（文）
一､选择题
1.已知全集，集合，，则（ )
A.
B.
C.
D.
答案A

2.设，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案C

3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
根据正弦函数的值域，，故，为真命题，而函数为偶函数，且时，，故，恒成立.则也为真命题，所以为真，选A.
4.函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A.和
B.和
C.和
D.和
答案：
C
解析：

，.

故选C.

5.若满足约束条件则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
根据约束条件可得图像如下，的最小值，即，轴截距最小值.根据图像可知过点时满足题意，即.

6.（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
∴选D.
7.在区间随机取个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
在区间随机取个数，可知总长度，取到的数小于，可知取到的长度范围，根据几何概型公式，∴选B.
8.下列函数中最小值为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
对于A，.不符合，
对于B，，令，∴，
根据对勾函数不符合，
对于C，，令，
∴，
当且仅当时取等，符合，
对于D，，令，.
根据对勾函数，不符合.
9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
，
向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数.
所以选B.
10.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
做出图形，，所以为异面直线所成角，设棱长为.
，，，.
，即，故选D.

11.设是椭圆:的上顶点，点在上，则的最大值为
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
方法一：由，
则的参数方程：.

.
∴，故选A.
方法二：设，则①，.
因此②
将①式代入②式化简得：
，当且仅当时的最大值为，故选A.

12.设，若为函数的极大值点，则
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：

当时，原函数先增再减后增.
原函数在的较小零点时取得极大值.
即，即，∴.
当时，原函数先减再增后减.
原函数在的较大零点时取得极大值.
即，，，故选D.
二、填空题
13.已知向量，，若，则 .
答案：

解析：
由已知可得.
14.双曲线的右焦点到直线的距离为 .
答案：

解析：
的右焦点为，到直线的距离.
15.记的内角，，的对边分别为，，，面积为， ,，则 .
答案：

解析：
由面积公式，且，解得，
又由余弦定理，，且
解得.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.

答案：
②⑤或③④
解析：
由高度可知，侧视图只能为②或③.
侧视图为②，如图（1），平面平面，，，，俯视图为⑤.
俯视图为③，如图（2），平面，，，，俯视图为④.

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
答案：
见解析
解析：
；
.

.
（2）
.
∵则，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；
没有显著提高.
18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且.
（1）证明：平面平面﹔
（2）若，求四棱锥的体积.

答案：
见解析
解析：
19.设是首项为的等比数列，数列满足.已知，，，成等差数列.
（1）求和的通项公式；
（2）记，和分别为和的前项和.证明：.
答案：
见解析
解析：
设的公比为，则，
因为，，成等差数列，所以，解得，
故，.
又，则，
两边同乘，则，
两式相减，得，
即，
整理得，
，
故.

20.已知抛物线：的焦点到准线的距离为.
（1）求的方程，
（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.
答案：
见解析
解析：
（1）由焦点到准线的距离为，则.
抛物线的方程：.
（2）设点，，.
∵.
∴
则.
∴直线斜率的最大值为.
21.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.
答案：
见解析
解析：
（1）
（i）当，即时，恒成立，即在在上单调递增.
（ii）当，即时，解得，，.

∴在，单调递增，在单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减.
（2）设可原点切线的切点为，切线斜率.又，可得.化简得，即.∴切点为，斜率，切线方程为，将，联立可得，化简得，解得，.∴过原点的切线与公共点坐标为，.

22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为.
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.
答案：
见解析
解析：
（1）的参数方程为（为参数）
（2）的方程为
①当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，舍去；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，化简为，
此时圆心到直线的距离为，
化简得，
两边平方有，所以
代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为

或.
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
答案：
见解析
解析：
当时，，
当时，不等式，解得；
当时，不等式，解得；
当时，不等式，解得.
综上，原不等式的解集为.
（2）若，即，
因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，即或，解得.