2011年天津高考文科数学试题及答案(Word版).doc

2011年天津高考文科数学试题及答案详细解析（天津卷）
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 棱柱的体积公式
其中S表示棱柱的底面面积。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．是虚数单位，复数=
A． 　　　 B． 　　C． 　　D．
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为
A．-4　　　　 B．0
C．　　　　 D．4
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为-4，则输出的值为
A．,0．5 B．1
C．2 D．4
4．设集合，，
则“”是“”的
A．充分而不必要条件　　　　 　　 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件
5．已知则
A．　　　 B． C．　 D．
6．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则 （ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是增函数
C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数
8．对实数，定义运算“”：设函数。若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C．D．[-2，-1]
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知集合为整数集，则集合中所有元素的和等于________
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________
11．已知为等差数列，为其前项和，，
若则的值为_______

12．已知，则的最小值为__________
13．如图已知圆中两条弦与相交于点，是延长
线上一点，且
若与圆相切，则的长为__________
14．已知直角梯形中，//,,,
是腰上的动点，则的最小值为____________
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号

得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号

得分
17
26
25
33
22
12
31
38
（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；
区间

人数

（Ⅱ）从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．
16．

在△中，内角的对边分别为，已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）的值．
17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为
平行四边形，，，为中点，
平面，，
为中点．
（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．
18．（本小题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2。点满足
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程。
19．（本小题满分14分）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．
20．（本小题满分14分）
已知数列满足
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明是等比数列；
（Ⅲ）设为的前项和，证明

参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分。
1. 【答案】A
【解析】 .
2. 【答案】D
【解析】可行域如图：
x
y
o
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
x=1
x-3y+4=0
x+y-4=0

联立解得当目标直线移至（2.2）时，有最大值4.
3. 【答案】C
【解析】当时，；
当时，
当时，，
∴.
4. 【答案】C
【解析】∵，，
∴，或，又∵或，
∴，即“”是“”的充分必要条件.
5. 【答案】B
【解析】∵，又∵为单调递增函数，
∴，
∴.
6. 【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得，即，
又∵，∴，将（－2，－1）代入得，
∴，即.
7. 【答案】A
【解析】∵，∴.又∵且，
∴当时，，要使递增，须有，解之得，当时，，∴在上递增.
8. 【答案】B
【解析】

则的图象如图，

x
y
o
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3

∵函数的图象与轴恰有两个公共点，
∴函数与的图象有两个交点，由图象可得.

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分。
9.【答案】3
【解析】.∴，即
10.【答案】4
【解析】.
11.【答案】110
【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意得，，解之得，∴.
12.【答案】18
【解析】∵，
∴，
∴.
13. 【答案】
【解析】设，，，由得，即.
∴，
由切割定理得，
∴.
14.【答案】5
【解析】建立如图所示的坐标系，设，则，设
则，∴.
A
B
C
D
o
x
y

三、解答题
（15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分13分。
（Ⅰ）解：4，6，6
（Ⅱ）（i）解：得分在区间内的运动员编号为从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：
，
，
共15种。
（ii）解：“从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：，共5种。
所以
（16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13分。
（Ⅰ）解：由
所以
（Ⅱ）解：因为，所以

所以

（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。
（Ⅰ）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO。因为平面ACM，平面ACM，所以PB//平面ACM。
（Ⅱ）证明：因为，且AD=AC=1，
所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，
所以，所以平面PAC。
（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，
所以MN//PO，且平面ABCD，得平面ABCD，
所以是直线AM与平面ABCD所成的角，在中，，
所以，从而，
在，
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为
（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。
（Ⅰ）解：设，因为，
所以，整理得（舍）
或
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线FF2的方程为
A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得。解得，得方程组的解
不妨设，，所以
于是
圆心到直线PF2的距离
因为，所以
整理得，得（舍），或所以椭圆方程为
（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（Ⅰ）解：当时，
所以曲线在点处的切线方程为
（Ⅱ）解：，令，解得
因为，以下分两种情况讨论：
（1）若变化时，的变化情况如下表：

+
-
+

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。
（2）若，当变化时，的变化情况如下表：

+
-
+

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当时，在（0，1）内单调递减，

所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若

所以内存在零点。
若

所以内存在零点。
所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
（20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
（Ⅰ）解：由，可得
又，
当
当
（Ⅱ）证明：对任意
①
②
②-①，得
所以是等比数列。
（Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，

故对任意
由①得
因此，
于是，
故