2010年陕西高考理科数学试题及答案.doc

2010年陕西省高考理科数学试题
一、 选择题
1.集合A= {x∣}，B={x∣x<1}，则= （）
（A）{x∣x>1} (B) {x∣x≥  1} (C) {x∣ } (D) {x∣}
2.复数在复平面上对应的点位于 （）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3.对于函数，下列选项中正确的是 （）
（A）f（x）在（，）上是递增的 （B）的图像关于原点对称
（C）的最小正周期为2 （D）的最大值为2
4.（）展开式中的系数为10，则实数a等于 （）
（A）-1 （B） (C) 1 (D) 2
5.已知函数=，若=4a，则实数a= （）
（A） （B） (C) 2 (D) 9
6.右图是求样本x 1，x2，…x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【】
(A) S=S+x n (B) S=S+
(C) S=S+ n (D) S=S+
7. 若某空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积是【】
(A) (B)
(C) 1 (D) 2
左视图

主视图
1

俯视图

开始
结束
是
否
输出

8.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2－6 x－7=0相切，则p的值为【】
(A) (B) 1 (C) 2 (D) 4
9.对于数列｛a n｝，“a n+1＞∣a n∣（n=1，2…）”是“｛a n｝为递增数列”的【】
(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件[来源:学+科+网]
(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为【】
(A) y= (B) y= (C) y= (D) y=
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。
11.已知向量α  =（2，-1），b=(-1,m)，c=(-1,2),若（a+b）‖c, 则m=_____
12. 观察下列等式：13+23=32，13+23+32=62，13+23+33+43=102，……，
根据上述规律，第五个等式为 _13+23+__32__+43____+53__=212___________.
13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 .

14.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

a
b(万吨)[来源:Zxxk.Com]
C（百万元）
A
50%
1
3
B
70%
0．5
6

某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为 (百万元)
15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)不等式的解集为 .[来源:Z,xx,k.Co
B.(几何证明选做题)如图,已知的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的图与AB交于点D,则 .
C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为则直线与圆C的交点的直角坐标为
三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)
已知是公差不为零的等差数列, 成等比数列.
求数列的通项; 求数列的前n项和

17．（本小题满分12分）
如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？

18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA  ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √  2，E，F分别是AD，PC的重点
（Ⅰ）证明：PC  ⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

19 （本小题满分12分）
为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：[来源:Z+xx+k.Com]

（）估计该小男生的人数；
（）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
（）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。Zxxk.Co

m]

20.（本小题满分13分）
如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2, | A1B1| = ,

(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

21、(本小题满分14分)
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]
（1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；
（3） 对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.

2010年陕西省高考理科数学试题参考答案
1.集合A=，B=，则=【D】
（A） （B） （C） （D）
解析：本题考查集合的基本运算

2.复数在复平面上对应的点位于 【A】
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：本题考查复数的运算及几何意义
，所以点（位于第一象限
3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是 【B】
A.f(x)在（，）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称
C. f(x)的最小正周期为 D. f(x)的最大值为2
解析：本题考查三角函数的性质f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数
4. 展开式中的系数为10，则实数a等于【D】
A.-1 B. C.1 D.2
解析：本题考查二项展开式的通项公式

5.已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于【C】
A. B. C.2 D.9
解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2
6.右图是求样本，，…，平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】
A.S=S+
B.S=S+
C.S=S+n
D.S=S+
7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】
A. B. C.1 D.2
解析：本题考查立体图形三视图及体积公式
如图，该立体图形为直三棱柱
所以其体积为

8.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【C】
A. B. 1 C.2 D.4
解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系
法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以
法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）
所以
9.对于数列，“”是“为递增数列”的【B】
A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由知所有项均为正项，
且，即为递增数列
反之，为递增数列，不一定有，如-2，-1,0,1,2，….
10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 【B】
A. B. C. D.
解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B
法二：设，
，所以选B
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=-1
解析：，所以m=-1
12.观察下列等式：，，，…，根据上述规律，第五个等式为。
解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方
所以第五个等式为。
13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为
解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点M取自阴影部分部分的概率为
14.铁矿石A和B的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

a
B(万吨)
C（百万元）
A
50％
1
3
B
70％
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为15（万元）
解析：设购买铁矿石A和B各x，y万吨，则购买铁矿石的费用
x,y满足约束条件

表示平面区域为

则当直线过点B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用
z=15

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）不等式的解集为
解析：法一：分段讨论

综上，原不等式解集为
法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究
法三：借助函数的图像研究
B. (几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则
解析：,由直角三角形射影定理可得

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____
解析：直线l的极坐标方程为化为普通方程为y=1，
所以直线l与圆的交点坐标为(-1,1).(1,1)
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
（1） 16.解：
（1）由题设知公差d≠0
由且成等比数列得
解得d=1,d=0（舍去）故的通项
（2）由（1）知，由等比数列前n项和公式得
17. 解：由题意知海里，

在中，由正弦定理得

=（海里），
又海里，
在中，由余弦定理得

=
30（海里），则需要的时间（小时）。答：救援船到达D点需要1小时。
注：如果认定为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。
18. 解法一：
（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。
∵ ，四边形ABCD是矩形
∴ A,B,C,D,P的坐标为
又E,F分别是AD,PC的中点，
∴
∴ ,
∴
∴
∴
∴ 平面
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知平面BEF的法向量,
平面BAP的法向量，
∴ =8
设平面BEF与平面BAP的家教为θ，
则，
∴ ，∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为
解法二：
（Ⅰ）连接PE,EC，在和中，
PA=AB=CD,AE=DE,
∴ PE=CE,即是等腰三角形，
又F是PC的中点，∴EF⊥PC，
又是PC的中点，
∴
又
（Ⅱ）∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC,
又ABCD是矩形，∴ AB⊥BC,
∴ BC⊥平面BAP，BC⊥PB,
又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF,
∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，
在中，PB=BC, ,
所以平面BEF与平面BAP的夹角为
19. 解：
（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。
（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5
（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4，
设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm之间”，
则（或）
20. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
由知， ①
由知a=2c， ②
又 ， ③
由①②③解得，
故椭圆C的方程为
（Ⅱ）
设A，B两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在，
（ⅰ）当不垂直于x轴时，设的方程为，
由与垂直相交于P点且||=1得
，即∵，||=1，∴
= = 1+0+0-1=0,
即,将代入椭圆方程，得

由求根公式可得， ④
⑤

=
=
将④，⑤代入上式并化简得
⑥
将代入⑥并化简得，矛盾
即此时直线不存在
（ⅱ）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1，
当X=1时，A,B,P的坐标分别为，
∴，
∴
当x=-1时，同理可得，矛盾
即此时直线也不存在
综上可知，使成立的直线不存在
21. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ），
由已知得 解得，
∴ 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为，
∴ 切线的方程为
（Ⅱ）由条件知
∴
（ⅰ）当a>0时，令，解得，
∴ 当时，在上递减；
当时，在上递增
∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点
∴最小值
（ⅱ）当时，在上递增，无最小值，
故的最小值的解析式为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
对任意的
①
②
③
故由①②③得

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