2017年海南省高考数学试题及答案（理科）.pdf

1绝密启用前 20172017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（）31iiA B C D 12i1 2i2i2i2.设集合，若，则（）1,2,4A 240 x xxm 1A A B C D 1,31,01,31,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A B C D 90634236 5.设，满足约束条件，则的最小值是（）xy2330233030 xyxyy 2zxyA B C D 159196.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）1a S A2 B3 C4 D5 开始输出S否是K=K+1a=-aS=0，K=1S=S+aKK 6输入a开始 9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为 2，则的离C:22221xyab0a 0b 2224xyC心率为（）A2 B C D 322 3310.已知直三棱柱中，则异面直线与所成111CCAA C120A2A 1CCC11A1C角的余弦值为（）A B C D 321551053311.若是函数的极值点，则的极小值为（）2x 21()(1)xf xxaxe()f xA.B.C.D.1 132e35e12.已知是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则的最小值是（）ABC()PAPBPC 2A.B.C.D.232431二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件0.02100数，则 D 14.函数（）的最大值是 23sin3cos4f xxx0,2x15.等差数列的前项和为，则 nannS33a 410S 11nkkS16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则FC:28yxCFyF F 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）的内角的对边分别为,已知 ABC,A B C,a b c2sin()8sin2BAC(1)求 cosB(2)若,面积为 2,求 6acABC.b 18.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：旧养殖法0.0340.0320.0240.0140.01225 30箱产量/kg频率/组距0.0400.02007065605550454035箱产量/kg频率/组距0.0680.0460.0440.0200.01000.0080.0047065605550454035 （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg,新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）P（）2 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 22()()()()()n adbcKab cd ac bd 19.（12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PD 的中点.o1,90,2ABBCADBADABC（1）证明：直线 平面 PAB/CE（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为，求二面角 M-AB-D 的余弦值 o45 MEDCBAP 20.（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足.2212xy2NPNM (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x=-3 上，且.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.1OP PQ 21.（12 分）已知函数且.3()ln,f xaxaxxx()0f x（1）求 a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.()f x0 x230()2ef x（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为1C3 cos4（1）M 为曲线上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足,求点 P 的轨迹的直角坐标方程；1C|16OMOP2C（2）设点 A 的极坐标为，点 B 在曲线上，求面积的最大值(2,)32COAB23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知，证明：330,0,2abab（1）；33()()4ab ab（2）2ab 4绝密启用前 20172017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案理科数学试题答案 一、选择题一、选择题 1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题 13.1.96 14.1 15.16.6 2n1n三、解答题 17.解：（1）由题设及，故 2sin8sin2ABCB得 sin4-cosBB（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0解得 15cosB=cosB171（舍去），=（2）由，故 158cosBsinB1717=得14a sin217ABCScBac又 17=22ABCSac，则由余弦定理学 科&网及得 a6c 2222b2cosa2(1 cosB)1715362(1)2174acacBac（+c）所以 b=2 18.解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”50kgC50kg由题意知 P AP BCP B P C旧养殖法的箱产量低于的频率为 50kg 0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62（）故的估计值为 0.62 P B新养殖法的箱产量不低于的频率为 50kg 0.0680.0460.0100.0085=0.66（）故的估计值为 0.66 P C因此，事件 A 的概率估计值为 0.620.660.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 222006266343815.705100 10096 104K由于 15.7056.635故有的把握认为箱产量与养殖方法有关 99%（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为 50kg，0.0040.0200.04450.340.5箱产量低于的直方图面积为 55kg 0.0040.0200.044+0.06850.680.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 0.5-0.3450+2.35 kg0.068（）519.解：（1）取中点，连结，PAFEFBF因为为的中点，所以,由得，又 EPDEFAD12EFAD=90BADABC BCAD12BCAD所以四边形为平行四边形，EFBCBCEFCEBF又，故 BFPAB 平面CEPAB 平面CEPAB平面（2）5 由已知得,以 A 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐BAADAB AB 标系 A-xyz,则 则，(000)A，(100)B，(1 10)C，(013)P，,则(103)PC ，(10 0)AB ，(x 1),(x13)BMyz PMyz ，因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而是底面 ABCD 的法向量，所以(0 0)n，1，0cos,sin45BMn222z22(x 1)yz即（x-1）+y-z=0 又 M 在棱 PC 上，学|科网设,PMPC 则 x,1,33yz由，得 xxyy 22=1+=1-22=1(舍去)，=166zz22 所以 M，从而 261-,1，22261-,1，22 AM 设是平面 ABM 的法向量，则 000,xyzm=00002-22600即00 xyzAMABx mm所以可取 m=（0，-，2）.于是 6cos105m nm,nm n因此二面角 M-AB-D 的余弦值为 10520.解（1）设 P（x,y）,M（x0,y0）,设 N（x0,0）,00,0,NPxxyNMy 由得 2NPNM 002=,2xx yy因为 M（x0,y0）在 C 上，所以 22122xy因此点 P 的轨迹方程为 222xy（2）由题意知 F（-1,0）.设 Q（-3，t）,P(m,n),则，3,1,33tOQ,PFmnOQ PFmtn ,3,OPm,nPQm,tn 由得，又由（1）知，故 1OP PQ 22-31mmtnn22+=2mn3+3m-tn=0 所以，即.学.科网又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l0OQ PF OQPF 过 C 的左焦点 F.21.解：（1）的定义域为 fx0，+设，则等价于 g x=ax-a-lnx fx=xg x,fx0 0g x因为 11=0，0,故1=0,而,1=1,得1gg xgg xagaax若 a=1，则.当 0 x1 时，单调递减；当 x1 时，0，单调递增.所 11 g x=x 0,g xg x g x g x以 x=1 是的极小值点，故 g x 1=0g xg综上，a=1（2）由（1）知 2l n,()22l nfxxxxx fxxx设 122l n,则()2h xxxhxx6当时，；当时，所以在单调递减，在单调递10,2x 0hx1,+2x 0hx h x10,21,+2增 又，所以在有唯一零点 x0，在有唯一零点 1，且当 210,0,102h ehh h x10,21,+200,xx时，；当时，当时，.0h x0,1xx 0h x1,+x 0h x因为，所以 x=x0是 f(x)的唯一极大值点 fxh x由 0000000得l n2(1),故=(1)fxxxfxxx由得 00,1x014fx因为 x=x0是 f(x)在（0,1）的最大值点，由得 110,1,0efe 120fxfee所以 2-202efx22.解：（1）设 P 的极坐标为，M 的极坐标为，由题设知，011，0 cos14=，=OPOM=由得的极坐标方程 16OMOP=2Ccos=40因此的直角坐标方程为 2C22240 xyx（2）设点 B 的极坐标为,由题设知，0BB,于是OAB 面积 cos=2，=4BOA 1=si n24cossi n332 si n 23223BSO AAO B当时，S 取得最大值=-122+3所以OAB 面积的最大值为 2+323.解：（1）5565562333344222244ababaaba bbaba bab abab ab（2）因为 33223233323+3+3+2+244abaa babbab a ba ba ba b所以，因此 a+b2.3+8a b