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2009年江西高考文科数学试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件，相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题是真命题的为
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
2．函数的定义域为
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为
A．50 B．45 C．40 D．35
4．函数的最小正周期为
A． B． C． D．
5．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
6．若能被整除，则的值可能为
A． B． C． D．
7. 设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A． B． C． D．3
8．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
9．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为
. . ∥截面
. . 异面直线与所成的角为
10．甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为
A． B． C． D．
11．如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为

12．若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
A．或 B．或 C．或 D．或

第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上
13．已知向量，， ，若 则= ．
14．体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 ．
15．若不等式的解集为区间，且,则 ．
16．设直线系,对于下列四个命题：
．存在一个圆与所有直线相交
．存在一个圆与所有直线不相交
．存在一个圆与所有直线相切
．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
设函数
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围

18．（本小题满分12分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
(1) 该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．

19．（本小题满分12分）
在△中，所对的边分别为，，．
（1）求；
（2）若，求,，．

20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求点到平面的距离．

21．（本小题满分12分）
数列的通项，其前n项和为
(1) 求;
(2) 求数列｛｝的前n项和.

22．（本小题满分14分）
如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点
（1）求圆的半径;
（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，G
．
证明：直线与圆相切．

绝密★启用前 秘密★启用后
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
B
A
C
C
B
C
C
D
B
A
1. 由得,而由得,由,不一定有意义,而得不到
故选A.
2. 由得或,故选D.
3. 仅参加了一项活动的学生人数=50-(30+25-50)=45, 故选B.
4. 由可得最小正周期为,故选A.
5. ,故选C.
6. ,当时,能被7整除, 故选C.
7. 由有,则,故选B.
8. 由得得,
再由得
则,所以,.故选C
9. 由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；
由∥可得∥截面，故正确；
异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；
综上是错误的，故选.
10. 所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选.
11. 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.
12. 设过的直线与相切于点，所以切线方程为
即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 14. 15. 16. ABC
13..因为所以.
14.设球的半径为，依题设有，则，球的体积为

15.由数形结合，半圆在直线之下必须，则直线过点，则
16. 因为所以点到中每条直线的距离

即为圆:的全体切线组成的集合,所以存在圆心在,半径大于1的圆与中所有直线相交, 也存在圆心在,半径小于1的圆与中所有直线均不相交, 也存在圆心在,半径等于1的圆与中所有直线相切,
故ABC正确,
又因中的边能组成两类大小不同的正三角形,故D错误,
故命题中正确的序号是ABC
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17．解：(1) ,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值为
(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.

18．解：（1）设表示资助总额为零这个事件，则

（2）设表示资助总额超过15万元这个事件，则

19．解：（1）由 得
则有 =
得 即.
（2） 由 推出 ；而,
即得,
则有 解得
20．解：方法（一）：
（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.
因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，
因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，
因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，
由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以 就是与平面所成的角，
且

所求角为
（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。

方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，
设平面的一个法向量，
由可得：，
令，则，即.
设所求角为，则，
所求角的大小为.
（3）设所求距离为，由，得：
21. 解:
（1）由于,
故

,

故 ()
(2)

两式相减得

故
22．解:
（1）设，过圆心作于,交长轴于
由
得,
即 (1)
而点在椭圆上,
(2)
由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）
(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)
则,即 (4)
解得
将(3)代入得,则异于零的解为
设,，则
则直线的斜率为：
于是直线的方程为:
即
则圆心到直线的距离
故结论成立.