2007年天津高考理科数学真题及答案.doc

2007年天津高考理科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．

参考公式：
·如果事件互斥，那么 球的表面积公式

·如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．是虚数单位，（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（　　）
Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14
3．“”是“”的（　　）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
4．设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5．函数的反函数是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
6．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）
Ａ．若与所成的角相等，则
Ｂ．若，，则
Ｃ．若，则
Ｄ．若，，则
7．在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（　　）
Ａ．在区间上是增函数，在区间上是增函数
Ｂ．在区间上是增函数，在区间上是减函数
Ｃ．在区间上是减函数，在区间上是增函数
Ｄ．在区间上是减函数，在区间上是减函数
8．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
9．设均为正数，且，，．则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．设两个向量和，其中为实数．若，中央电视台的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

第Ⅱ卷
注意事项：
1．答案前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．
11．若的二项展开式中的系数为，则　　　　（用数字作答）．
12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　　．
13．设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　．

14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．
15．如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　．
16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．

18．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．

（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．

21．（本小题满分14分）
在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．

22．（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．

参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ
6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
11．2 12． 13．3
14． 15． 16．390
三、解答题
17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：
y
x
O

由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．
18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．
故取出的4个球均为黑球的概率为．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，
且，．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．
（Ⅲ）解：可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，
．从而．
的分布列为

0
1
2
3

的数学期望．
19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．
（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
可得．
在中，，，

则．
在中，．
所以二面角的大小是．
解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．
过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得．

，．
于是，．
在中，．
所以二面角的大小是．
20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极小值

极大值

所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一：，
，
．
由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：设，　　　①
　　　　　　　　②
当时，①式减去②式，
得，
．
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
．　　　　③
由知，要使③式成立，只要，
因为

．
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线的方程为，整理得．
由题设，原点到直线的距离为，即，
将代入上式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为．
过点作，垂足为，易知，故．

由椭圆定义得，又，
所以，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：设点的坐标为．
当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．
点的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，
整理得，
于是，．
由①式得
．
由知．将③式和④式代入得，
．
将代入上式，整理得．
当时，直线的方程为，的坐标满足方程组
所以，．
由知，即，
解得．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为　．
解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．
记（显然），点的坐标满足方程组
由①式得．　　　　　　③
由②式得．　　　④
将③式代入④式得．
整理得，
于是．　　　⑤
由①式得．　　　⑥
由②式得．　　⑦
将⑥式代入⑦式得，
整理得，
于是．　　　⑧
由知．将⑤式和⑧式代入得，
．
将代入上式，得．
所以，点的轨迹方程为．