2010年广东高考（理科）数学试题及答案.pdf

第 1 页 共 5 页绝密 启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）卷）数学（理科）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A=-2x1，B=x0 x2则集合A B=xA.x-1x1 B.x-2x1 C.x-2x2 D.x0 x1 2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1z2=A4 B.2+i C.2+2 i D.3 3若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则 Af（x）与g（x）均为偶函数 B.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 Af（x）与g（x）均为奇函数 B.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 4.4.已知na为等比数列，Sn是它的前n项和。若2312aaa，且4a与27a的等差中项为54，则5S=A35 B.33 C.31 D.29 5.“14m”是“一元二次方程20 xxm”有实数解“的 A充分非必要条件 B.充分必要条件 C必要非充分条件 D.非充分必要条件 6.如图1，ABC为三角形，AA/BB/CC,CC 平面ABC 且3AA=32BB=CC=AB,则多面体ABC-A B C 的正视图（也称主视图）是 ABCD w_w w.k*s_5 u.c o_m 7已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且p(2 X 4)=0.6826，则p（X4）=A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585 8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 A、1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9-13题）w_w w.k*s_5 u.c o_m 9.函数()f x=lg(x-2)的定义域是 .10.若向量ar=（1,1,x）,br=(1,2,1),cr=(1,1,1),满足条件()(2)cabrrr=-2,则x=.11.已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.12.已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 w_w w.k*s_5 u.c o_m 13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1xn(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n=2,且x1，x2 分别为1,2，则输出地结果s为 .w_w w.k*s_5 u.c o_m 14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=23a，OAP=30，则CP_.w_w w.k*s_5 u.c o_m 15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（，）（0 1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且12ll,求h的值。21（本小题满分14分）设A(11,x y),B(22,xy)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为w_w w.k*s_5 u.c o_m P(A,B)=21xx+21yy.对于平面xOy上给定的不同的两点A(11,x y),B(22,xy)(1)若点C（x,y）是平面xOy上的点，试证明P(,)A C+P(,)C BP(,)A B;(2)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足 1.P(,)A C+P(,)C B=P(,)A B P(,)A C=P(,)C B 若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。第 3 页 共 5 页 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分分 1D【解析】|21|02|01ABxxxxxx II2A【解析】12(1)(3)1 3 1 1(3 1)42zziiii 3B【解析】()33(),()33()xxxxfxf x gxg x 4C【解析】设的公比为，则由等比数列的性质知，即。naq231412aaa aa42a 由与 2的等差中项为知，4a7a54475224aa7415(2)24aa14 ，即，.37418aqa12q 3411128aa qa116a55116(1)231112S5A【解析】由知，20 xxm211 4()024mx14m（或由得，。），反之不成立，故选 A。0 1 40m14m14m 14m6D 7B【解析】11(4)1(24)(1 0.6826)0.1587.22P XPX8C【解析】共有 5！=120 个不同的闪烁，每个闪烁时间为 5 秒，共 5120=600 秒；每两个闪烁之间的间隔为 5 秒，共 5（1201）=595 秒。那么需要的时间至少是 600595=1195 秒。二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分 9 【解析】由，得，所以函数的定义域为(2,)20 x2x(2,)102【解析】，解得(0,0,1)caxvv()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2cabxx vvv2x 11 【解析】由 A+C=2B 及 A+B+C=180知，B=60由正弦定理知，113sinsin60A即由知，则，1sin2A ab60AB30A 180CABo90o于是 sinsin901C 12【解析】设圆心为，则，解得 22(2)2xy(,0)(0)aa 22|2 0|211ar 2a 13 14【解析】因为点 P 是 AB 的中点，由垂径定理知，.1498aOPAB在中，.Rt OPA3cos302BPAPaa由相交弦定理知，BP APCP DP即，所以 332223aaCPa98CPa15【解法解法 1】两条曲线的普通方程分别为解得 3(2,)4222,1xyy x 1,1.xy 由得点的极坐标为 cos,sinxy(1,1)3(2,)4【解法解法 2】由得，2sincos1 1sin22 02 024 Q或，或（舍），从而，交点坐标为。三、解答题：本三、解答题：本3223222347423(2,)4大题共大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 DOPABC第 4 页 共 5 页yx3x+2y=16x+y=73x+5y=27ABC2.5x+4y=0O，3sin(2)253cos252312sin521sin55sin5 17（1）重量超过 505 克的产品数量是 件；40(0.05 50.01 5)12（2）Y 的所有可能取值为 0，1，2；，22824063(0)130CP YC11122824056(1)130C CP YC21224011(1)130CP YCY 的分布列为 （3）从流水线上任取 5 件产品，恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率为。23122854012 1128 27 2621 112312 13 2 140 39 38 37 3637 197035 4 3 2 1C CC 18（1）证明：连结，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以。CFAECaACEACEBAC在中，。RT BCE22222ECBCBEaaa在中，为等腰三角形，且点是底边的中点，故。BDF5BFDFaBDFCBDCFBD在中，所以为，且。CEF222222(2)(2)6CECFaaaEFCEFRtCFEC因为，且，所以平面，CFBDCFECCEBDCICF BED而平面，。EB BEDCFEB因为，且，所以平面，EBACEBCFACCFCIEB BDF而平面，。FD BDFEBFD（2）设平面与平面 RQD 的交线为.BEDDG由，知.23FQFE23FRFB/QREB而平面，平面，EB BDE/QRBDE而平面平面=，.BDEIRQDDG/QRDGEB由（1）知，平面，平面，BEBDFDGBDF而平面，,DR DB BDFDGDRDGDQ是平面与平面所成二面角的平面角 RDBBEDRQD在中，Rt BCF2222(5)2CFBFBCaaa，22sin55FCaRBDBFa21cos1 sin5RBDRBD在中，由知，BDR23FRFB1533aBRFB由余弦定理得，222cosRDBDBRBD BRRBD 2255129(2)()2 23335aaaaa 由正弦定理得，即，。sinsinBRRDRDBRBD529332sin5aaRDB2 29sin29RDB故平面与平面所成二面角的正弦值为。BEDRQD2 292919解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则，且满足以下条件,x yz2.54zxy 即 0,54106426664812yxyxyxyx0,275371623yxyxyxyx作直线，平移直线 至，:2.540lxyl0l当 经过 C 点时，可使达到最小值。0lz由 即，3472753yxyxyx(4,3)C此时，2.5 44 322z Y 0 1 2 P 63130 56130 11130第 5 页 共 5 页答:午餐和晚餐分别预定 4 个单位和 3 个单位，花费最少 z=22 元。20（1）解：由为双曲线的左右顶点知，12,A A12(2,0),(2,0),AA，两式相乘，111:(2)2yAP yxx121:(2)2yA Q yxx222121(2)2yyxx因为点在双曲线上，所以，即，故，11(,)P x y221112xy2121122yx221(2)2yx 所以，即直线与交点的轨迹的方程为.2212xy1A P2A QE2212xy（2）解法解法 1：设，则由知，。将代入得 1:lykxh12ll21:lyxhk 1:lykxh2212xy，即，22()12xkxh222(12)4220kxkhxh由与 E 只有一个交点知，即。1l2222164(12)(22)0k hkh 2212kh同理，由与 E 只有一个交点知，消去得，即，2l22112hk 2h221kk21k 从而来，又，。22123hk 1h Q3.h解法解法 2：由题意知直线和都是椭圆 E 的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为和，设其1l2l45135方程为，代入椭圆 E 的方程得，即 yxh 2212xy22()12xxh 2234220 xhxh由得，即，0 22164 3(22)0hh 23h 1h Q3.h21（1）证明：由绝对值不等式知，121212122121(,)(,)|()()|()()|=|=(,)A CC BxxxxyyyyxxxxyyyyxxyyA B当且仅当且时等号成立。12()()0 xxxx12()()0yyyy（2）解：由得 (,)(,)(,)A CC BA B且 （）12()()0 xxxx12()()0yyyy由得 （）(,)(,)A CC B1122|xxyyxxyy因为，是不同的两点，则：11(,)A x y22(,)B xy 若且，不妨设，112xx12yy12yy由（）得 且，由（）得 ，12xxx12yyy122yyy此时，点是线段的中点，即只有点满足条件；CAB1212(,)22xxyyC 若且，同理可得：只有的中点满足条件；212xx12yyAB1212(,)22xxyyC 若且，不妨设且，312xx12yy12xx12yy由（）得且，12xxx12yyy由（）得，121222xxyyxy 此时，所有符合条件的点的轨迹是一条线段，即：过的中点，斜率为的直CAB1212(,)22xxyy1线夹在矩形之间的部分，其中，121222xxyyxy11AABB11(,)A x y121(,)A xy22(,)B xy。112(,)B x y