2012年湖南高考理科数学试题及答案.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．命题“若，则”的逆否命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

A B C D
4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为kg
5．已知双曲线的焦距为10 ，点在C的渐近线上，则C的方程为
A． B． C． D．
6．函数的值域为
A． B． C． D．
7．在中，，，，则
A． B． C． D．
8．已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于点．记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为．当m变化时，的最小值为
A． B． C． D．

二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9． 在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数）与曲线（为参数，）有一个公共点在轴上，则 ．
10．不等式的解集为 ．
11．如图2，过点的直线与⊙相交于两点．若，
，，则⊙的半径等于 ．

（二）必做题（12～16题）
12．已知复数（为虚数单位)，则 ．
13．的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
14．如果执行如图3所示的程序框图，输入，则输出的数 ．
15．函数的导函数的部分图象如图4所示，其中，为图象与轴的交点，为图象与轴的两个交点，为图象的最低点．
（1）若，点的坐标为，则 ；
（2）若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在内的概率为 ．
16．设，将个数依次放入编号为的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为变换．将分成两段，每段个数，并对每段作变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段作变换，得到．例如，当时，，此时位于中的第4个位置．
（1）当时，位于中的第 个位置；
（2）当时，位于中的第 个位置．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．
（Ⅰ）确定的值，并求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率．（注：将频率视为概率）

18．（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积．

19．（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，记，，，
（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.
（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.

20．（本小题满分13分）
某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为（为正整数）．
（Ⅰ）设生产A部件的人数为，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

21．（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和.证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值.

22．（本小题满分13分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）若对一切，恒成立，求的取值集合.
（Ⅱ）在函数的图像上取定两点，记直线的斜率为.问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=
A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}
【答案】B
【解析】 M={-1,0,1} M∩N={0,1}.
【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.
先求出,再利用交集定义得出M∩N.
2.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是
A.若α≠，则tanα≠1 B. 若α=，则tanα≠1
C. 若tanα≠1，则α≠ D. 若tanα≠1，则α=
【答案】C
【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠”.
【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.
3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

【答案】D
【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.
4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心（，）
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg
【答案】D
【解析】【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.
【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.
5. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[w~#ww.zz&st^@]
【答案】A
【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.
又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即.
又，，C的方程为-=1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.
6. 函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为
A． [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]
【答案】B
【解析】f（x）=sinx-cos(x+)，，值域为[-,].
【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域.
7. 在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则.[中&%国教*^育出版~网]
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由下图知.
.又由余弦定理知，解得.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.

8．已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为[来源%&:中国~*教育#出版网]
A． B. C. D.
【答案】B
【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像如下图，
由= m，得，= ，得.
依照题意得.
，.

【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像，结合图像可解得.
二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）
9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：
(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则.
【答案】
【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；
曲线 ：直角坐标方程为，其与轴交点为，
由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知.
【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与轴交点，即可求得.
10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.
【答案】
【解析】令，则由得的解集为.
【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.

11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______.

【答案】
【解析】设交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知

【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知，从而求得圆的半径.
(二)必做题（12~16题）
12.已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_____.
【答案】10
【解析】=，.
【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的形式，利用
求得.
13.( -)6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）
【答案】-160
【解析】( -)6的展开式项公式是.由题意知，所以二项展开式中的常数项为.
【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.
14.如果执行如图3所示的程序框图，输入,n=3,则输出的数S= .

【答案】
【解析】输入,n=3,，执行过程如下：；；，所以输出的是.
【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.

15.函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.
（1）若，点P的坐标为（0，），则 ;
（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .

【答案】（1）3；（2）（lbylfx）
【解析】（1），当，点P的坐标为（0，）时
；
（2）由图知，，设的横坐标分别为.
设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，由几何概型知该点在△ABC内的概率为.
【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求，
（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.

16.设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.
（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.
【答案】（1）6；（2）
【解析】（1）当N=16时,
,可设为,
,即为,
,即, x7位于P2中的第6个位置,；
（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第个位置.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.
需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）

30
25

10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#]
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.
（注：将频率视为概率）[中%#国教*育^出版网~]
【解析】（1）由已知,得所以
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得

的分布为
X
1
1.5
2
2.5
3
P

X的数学期望为
.
（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则
.
由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以

.
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.
【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知
从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得
该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.
18.（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.[来源%:*中#国教~育出@版网]
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】
解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，
Ｅ是ＣＤ的中点，所以
所以
而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
（Ⅱ）过点Ｂ作
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE
所成的角，且.
由知，为直线与平面所成的角.

由题意，知
因为所以
由所以四边形是平行四边形，故于是
在中，所以

于是
又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为
所以而是平面内的两条相交直线，所以
(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与
所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得.
又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为
.
【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.
19.（本小题满分12分）
已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… [来^&源:中教网@~%]
（1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.
（2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.
【解析】（l bylfx）
解（１）对任意,三个数是等差数列，所以

即亦即
故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是
（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有
由知，均大于０，于是

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.
（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，
则
　　　，
于是得即

由有即，从而.
因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，
综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

20.（本小题满分13分）[来#源:中教%&*网~]
某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.
（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.
【解析】
解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为
由题设有

期中均为1到200之间的正整数.
（Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为
易知，为减函数，为增函数.注意到
于是
（1）当时， 此时
，
由函数的单调性知，当时取得最小值，解得
.由于
.
故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为.
（2）当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，则

.
由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于
此时完成订单任务的最短时间大于.
（3）当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，
当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时
完成订单任务的最短时间为，大于.
综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数
分别为44,88,68.

【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.

21.（本小题满分13分）[www.z%zstep.co*~&m^]
在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.
【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为，由已知得
，
易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以
.
化简得曲线的方程为.
解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.

（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是

整理得
①
设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故
②

由得 ③
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以
④
同理可得
⑤
于是由②，④，⑤三式得

.
所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.
22.（本小题满分13分）
已知函数=，其中a≠0.[来源^:zz#~s&tep.@com]
（1） 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.
（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，
故.
而令
当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当
　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
令则
当时，单调递增；当时，单调递减.
故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.
综上所述，的取值集合为.
（Ⅱ）由题意知，
令则

令，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当，即
从而，又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .
综上所述，存在使成立.且的取值范围为
.（lbyl fx）
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

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