2014年北京高考文科数学试题及答案.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）已知向量，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（5）设、是实数，则“”是“”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件
（6） 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（7）已知圆和两点，，
若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
（A）分钟 （B）分钟
（C）分钟 （D）分钟
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若，则 .
（10）设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为 .
（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
（12）在中，，，，则 ； .
（13）若、满足，则的最小值为 .
（14）顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料

原料

则最短交货期为 工作日.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
（15）（本小题13分）
已知是等差数列，满足，，数列满足，， 且为
等比数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.

（16）（本小题13分）
函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出的最小正周期及图中、的值；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.

（17）（本小题14分）
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，
、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.

（18）（本小题14分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1

6
2

8
3

17
4

22
5

25
6

12
7

6
8

2
9

2
合计
100

（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）

（19）（本小题14分）
已知椭圆C：.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.

（20）（本小题13分）已知函数.
（Ⅰ）求在区间上的最大值；
（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）

2014年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）答案及解析
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】因为，所以选C.
【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.
（2）下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为；选项D，在上是减函数，故选B.
【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.
（3）已知向量，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】因为，所以，故选A.
【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题

（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】当k=0时，；当k=1时，；
当k=2时，；当k=3时，输出，故选C.
【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键.
（5）设、是实数，则“”是“”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件
【答案】D
【解析】若，则，故不充分；
若，则，而，故不必要，故选D.
【考点】本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.
（6）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） (A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】因为，所以由根的存在性定理可知，选C.
【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
（7）已知圆和两点，，
若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】由题意知，点P在以原点(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以，故选B.
【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
（A）分钟 （B）分钟
（C）分钟 （D）分钟
【答案】B
【解析】由图形可知，三点都在函数的图象上，
所以，解得.
所以，当=时，p取最大值，故选B.
【考点】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若，则 .
【答案】2
【解析】由题意知：，所以由复数相等的定义知
【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.
（10）设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为 .
【答案】
【解析】由题意知：，所以，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以C的方程为.
【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.
（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
【答案】
【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为.
【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.
（12）在中，，，，则 ； .
【答案】2，
【解析】由余弦定理得：，故；因为，所以.
【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题目.
（13）若、满足，则的最小值为 .
【答案】1
【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线可得，当直线经过两条直线与的交点(0,1)时，z取得最小值1.
【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.
（14）顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料

原料

则最短交货期为 工作日.
【答案】42
【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为天.
【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑思维能力，考查分析问题与解决问题的能力.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
（15）（本小题13分）
已知是等差数列，满足，，数列满足，， 且为
等比数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
（15）（共13分）
解：（Ⅰ） 设等差数列的公差为，由题意得
所以．
设等比数列的公比为，
由题意得，解得．
所以．
从而
（Ⅱ）由⑴知．
数列的前项和为，数列的前项和为．
所以，数列的前项和为．
（16）（本小题13分）
函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出的最小正周期及图中、的值；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
（16）（共13分）
解：（Ⅰ） 的最小正周期为
．

（Ⅱ） 因为，所以．
于是当，即时，取得最大值0；
当，即时，取得最小值．

（17）（本小题14分）
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，
、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱中，底面．
所以．
又因为．
所以平面．
所以平面平面．
（Ⅱ）取中点，连结，．
因为，分别是，的中点，
所以，且．
因为，且，
所以，且．
所以四边形为平行四边形．
所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅲ）因为，，，
所以．
所以三棱锥的体积
．
（18）（本小题14分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1

6
2

8
3

17
4

22
5

25
6

12
7

6
8

2
9

2
合计
100

（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是
．
从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为．
（Ⅱ）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以
．
课外阅读时间落在组的有25人，频率为，
所以．
（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．
（19）（本小题14分）
已知椭圆C：.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为．
所以，，从而．
因此，．故椭圆的离心率．
（Ⅱ）设点，的坐标分别为，，其中．
因为，
所以，
即，解得．
又，所以

．
因为，且当时等号成立，所以．
故线段长度的最小值为．
（20）（本小题13分）已知函数.
（Ⅰ）求在区间上的最大值；
（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
（20）（共13分）
解：（Ⅰ） 由得.
令，得或.
因为，，
所以 在区间上的最大值为 .
（Ⅱ） 设过点的直线与曲线相切于点
则且切线斜率为
所以切线方程为，
因此 .
整理得.
设
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.
.
与的情况如下：

0

1

0

0

↗

↘

↗
所以，是的极大值，是的极小值．
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点．
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点．
当且，即时，因为，所以 分别在区间，和上恰有个零点.由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是 .
（Ⅲ） 过点 存在条直线与曲线相切；
过点 存在条直线与曲线相切；
过点 存在条直线与曲线相切.：

17