2018年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案.doc

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2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 .
如果事件A，B相互独立，那么 .
棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.
棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R，集合，，则
(A) (B)
(C) (D)
(2)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45
(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(4)设，则“”是“”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5)已知，，，则a，b，c的大小关系为
(A) (B) (C) (D)
(6)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
(A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减
(C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减
(7)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
(A) (B)
(C) (D)
(8)如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为
(A) (B) (C) (D)

第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(9) i是虚数单位，复数 .
(10) 在的展开式中，的系数为 .
(11) 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 .

(12)已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 .
(13)已知，且，则的最小值为 .
(14)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 .
三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（I）求角B的大小;
（II）设a=2，c=3，求b和的值.
(16)(本小题满分13分)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
(17)(本小题满分13分)
如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；
（II）求二面角的正弦值；
（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

(18)(本小题满分13分)
设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.
若(O为原点) ，求k的值.
(20)(本小题满分14分)
已知函数，，其中a>1.
（I）求函数的单调区间；
（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；
（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

参考答案：
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
（1）B （2）C （3）B （4）A
（5）D （6）A （7）C （8）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．
（9）4–i （10） （11）
（12） （13） （14）
三、解答题
（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．
（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．
（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．
由，可得．因为a<c，故．因此，
所以，
（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．学.科网
（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为

X
0
1
2
3
P

随机变量X的数学期望．
（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．
依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．

（Ⅰ）证明：依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则 即 不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．
（Ⅱ）解：依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．
设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则 即 不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．
设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则 即 不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．
因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．
所以，二面角E–BC–F的正弦值为．
（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．
易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故
，
由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．
所以线段的长为.
（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
（I）解：设等比数列的公比为q.由可得.
因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得由，
可得 从而 故
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，故
.
（ii）证明：因为
，
所以，.
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组
消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．
所以，k的值为
（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（I）解：由已知，，有.
令，解得x=0.
由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：
x

0

0
+

极小值

所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.
（II）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为.
由，可得曲线在点处的切线斜率为.
因为这两条切线平行，故有，即.
两边取以a为底的对数，得，所以.
（III）证明：曲线在点处的切线l1：.
曲线在点处的切线l2：.
要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.学*科网
即只需证明当时，方程组有解，
由①得，代入②，得. ③
因此，只需证明当时，关于x1的方程③有实数解.
设函数，即要证明当时，函数存在零点.
，可知时，；时，单调递减，又
，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即
.
由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.
因为，故，
所以.
下面证明存在实数t，使得.
由（I）可得，
当时，
有，
所以存在实数t，使得
因此，当时，存在，使得.
所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

选择填空解析

一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集为R，集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2. 设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.
详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
本题选择C选项.

点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.
详解：结合流程图运行程序如下：
首先初始化数据：，
，结果为整数，执行，，此时不满足；
，结果不为整数，执行，此时不满足；
，结果为整数，执行，，此时满足；
跳出循环，输出.
本题选择B选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
4. 设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不重复条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.
详解：绝对值不等式 ，
由 .
据此可知是的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
【答案】A
【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
详解：由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为：.
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得一个单调递减区间为：.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
8. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，

点在上，则，设，则：
，即，
据此可得：，且：
，，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.
本题选择A选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. i是虚数单位，复数___________.
【答案】4–i
【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由复数的运算法则得：.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10. 在的展开式中，的系数为____________.
【答案】
【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解的系数即可.
详解：结合二项式定理的通项公式有：，
令可得：，则的系数为：.
点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
11. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.

【答案】
【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.
详解：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，
顶点到底面四边形的距离为，
由四棱锥的体积公式可得：.
点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12. 已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.
详解：由题意可得圆的标准方程为：，
直线的直角坐标方程为：，即，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得：，
则.
点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
13. 已知，且，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
详解：由可知，
且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
14. 已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.

点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

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