2008年广东高考（文科）数学试题及答案.pdf

1 2008 年广东省高考数学试卷（文科）年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分）分）1（5 分）（2008广东）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A=参加北京奥运会比赛的运动员，集合 B=参加北京奥运会比赛的男运动员集合 C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（）AAB BBC CAB=C DBC=A 2（5 分）（2008广东）已知 0a2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则|z|的取值范围是（）A（1，5）B（1，3）C D 3（5 分）（2008广东）已知平面向量=（1，2），=（2，m），且 ，则=（）A（5，10）B（4，8）C（3，6）D（2，4）4（5 分）（2008广东）记等差数列的前 n 项和为 Sn，若 S2=4，S4=20，则该数列的公差 d=（）A2 B3 C6 D7 5（5 分）（2008广东）已知函数 f（x）=（1+cos2x）sin2x，xR，则 f（x）是（）A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为的偶函数 6（5 分）（2008广东）经过圆 x2+2x+y2=0 的圆心 C，且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是（）Ax+y+1=0 Bx+y1=0 Cxy+1=0 Dxy1=0 7（5 分）（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A，B，C 分别是GHI 三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（）A B C D 8（5 分）（2008广东）命题“若函数 f（x）=logax（a0，a1）在其定义域内是减函数，则 loga20”的逆否命题是（）A若 loga20，则函数 f（x）=logax（a0，a1）在其定义域内不是减函数 B若 loga20，则函数 f（x）=logax（a0，a1）在其定义域内不是减函数 C若 loga20，则函数 f（x）=logax（a0，a1）在其定义域内是减函数 D若 loga20，则函数 f（x）=logax（a0，a1）在其定义域内是减函数 9（5 分）（2008广东）设 aR，若函数 y=ex+ax，xR，有大于零的极值点，则（）Aa1 Ba1 C D 10（5 分）（2008广东）设 a，bR，若 a|b|0，则下列不等式中正确的是（）Aba0 Ba3+b30 Ca2b20 Db+a0 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，小题，11-13 为必做题，为必做题，14-15 题选做题选做 1 题，每小题题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）11（5 分）（2008广东）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量产品数量的分组区间为45，55），55，65），65，75），75，85），85，95）由此得到频率分布直方图如图，则这 20 名工人中一天生产该产品数量在55，75）的人数是 12（5 分）（2008广东）若变量 x，y 满足，则 z=3x+2y 的最大值是 13（5 分）（2008广东）阅读程序框图，若输入 m=4，n=3，则输出 a=，i=2（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“”或“：=”）14（5 分）（2008广东）已知曲线 C1，C2的极坐标方程分别为 cos=3，则曲线 C1与 C2交点的极坐标为 15（2008广东）已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA=2AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于点 B，PB=1，则圆 O 的半径 R=三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分）16（13 分）（2008广东）已知函数 f（x）=Asin（x+）（A0，0），xR 的最大值是 1，其图象经过点（1）求 f（x）的解析式；（2）已知，且，求 f（）的值 17（12 分）（2008广东）某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层2000 平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为 560+48x（单位：元）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）18（14 分）（2008广东）如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，ABD=60，BDC=45，ADPBAD（1）求线段 PD 的长；（2）若，求三棱锥 PABC 的体积 19（13 分）（2008广东）某中学共有学生 2000 人，各年级男，女生人数如下表：一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是 0.19（1）现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在高三年级抽取多少名？（2）已知 y245，z245，求高三年级中女生比男生多的概率 20（14 分）（2008广东）设 b0，椭圆方程为，抛物线方程为 x2=8（yb）如图所示，过点F（0，b+2）作 x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 G，已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点F1（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设 A，B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 P，使得ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）3 开始1i n 整除a?是输入mn，结束am i输出ai，1ii 图 3否 21（14 分）（2008广东）设数列an满足 a1=1，a2=2，an=（an1+2an2）（n=3，4，）数列bn满足b1=1，bn（n=2，3，）是非零整数，且对任意的正整数 m 和自然数 k，都有1bm+bm+1+bm+k1（1）求数列an和bn的通项公式；（2）记 cn=nanbn（n=1，2，），求数列cn的前 n 项和 Sn 1已知，复数的实部为，虚部为 1，则的取值范围是（C ）02azazA B C D(15)，(13)，(15)，(13)，【解析】，而，即，12az20 a5112 a51z2记等差数列的前项和为，若，则（D ）nannS112a 420S 6S A16 B24 C36 D48【解析】，故 20624dS3d481536dS3某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表 1已知在全校 学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C）A 24 B 18 C 16 D 12 表 1 【解析】依题意我们知道二年级的女生有 380 人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的500人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 2:3:31682644若变量满足则的最大值是（C）xy，24025000 xyxyxy，32zxyA90 B80 C70 D40【解析】画出可行域,利用角点法易得答案 C.5将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示分别是三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体ABC，GHI按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（A）EFDIAHGBCEFDABC侧视图 1图 2BEABEBBECBED【解析】解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案 A.6已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（D）:p:qA B C D()pqpq()()pq()()pq【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有 为真命题 pq()()pq 7设，若函数，有大于零的极值点，则（B）aR3axyexxRA B C D 3a 3a 13a 13a 【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有()3axfxaexR()30axfxae成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为()30axfxae0a 13ln()xaa0 x a.3a 8在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若ABCDACBDOE，ODAECDF，则（B）AC aBD bAF A B C D 1142ab2133ab1124ab1233ab【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案:1:2DF FC B.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分（一）必做题（912 题）9阅读图 3 的程序框图，若输入，则输出 ，4m 6n a i （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）:【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，na而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍 maamn数 12，即此时有。3i 10已知（是正整数）的展开式中，的系数小于 120，26(1)kxk8x则 k 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y男生 377 370 z4【解析】按二项式定理展开的通项为，26(1)kx22166()rrrrrrTCkxC k x我们知道的系数为，即，也即，8x444615C kk415120k 48k 而是正整数，故只能取 1。kk11经过圆的圆心，且与直线垂直的直线 2220 xxyC0 xy方程是 【解析】易知点 C 为，而直线与垂直，我们设待求的(1,0)0 xy直线的方程为，将点 C 的坐标代入马上就能求出参数的 yxbb值为，故待求的直线的方程为。1b 10 xy 12已知函数，则的最小正周期是 ()(sincos)sinf xxxxxR()f x【解析】,此时可得函数的最小正周期。21 cos21()sinsin cossin222xf xxxxx22T二、选做题（二、选做题（1315 题，考生只能从中选做两题）题，考生只能从中选做两题）13（坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题）已 知 曲 线的 极 坐 标 方 程 分 别 为，12CC，cos3，则曲线与交点的极坐标为 4cos0 02，1C2C【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。cos3(0,0)4cos22 36(2 3,)614（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围aRx2104xxaaa是 【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取2110,44aaxx a值范围为 10,415（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交PAOA2PA ACOPCO于点，则圆的半径 B1PB OR【解 析】依 题 意，我 们 知 道,由 相 似 三 角 形 的 性 质 我 们 有,即PBAPAC2PAPBRAB。22221322 1PA ABRPB三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤 16（本小题满分 13 分）已知函数，的最大值是 1，其图像经过点()sin()(0 0)f xAxA，xR 13 2M，（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值()f x02，3()5f12()13f()f【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，1A()sin()f xx1(,)3 2M1sin()320，故；5362()sin()cos2f xxx（2）依题意有，而，312cos,cos513,(0,)2 2234125sin1(),sin1()551313。3124556()cos()coscossinsin51351365f17（本小题满分 13 分）随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求 1 件产1%70%品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有 6，2，1，-2；，126(6)0.63200P50(2)0.25200P，20(1)0.1200P4(2)0.02200P 故的分布列为：6 2 1-2 P0.63 0.25 0.1 0.02 （2）6 0.632 0.25 1 0.1(2)0.024.34E （3）设技术革新后的三等品率为，则此时 1 件产品的平均利润为 x5 AyxOBGFF1图 4()6 0.72(1 0.70.01)(2)0.014.76(00.29)E xxxx 依题意，即，解得 所以三等品率最多为()4.73E x 4.764.73x0.03x 3%18（本小题满分 14 分）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图 4 所示，过点作轴0b 222212xybb28()xyb(02)Fb，x的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点 GG1F（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角AB，PABP形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【解析】（1）由得，28()xyb218yxb当得，G 点的坐标为，2yb4x (4,2)b14yx4|1xy过点 G 的切线方程为即，(2)4ybx2yxb令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，0y 2xb1F(2,0)b1F(,0)b即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；2bb 1b 2212xy28(1)xy（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，AxPPABRt ABP同理 以为直角的只有一个。PBARt ABP若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，APBP21(,1)8xx AB(2,0)(2,0)。222421152(1)108644PA PBxxxx 关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，2xxAPBRt ABP因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。ABP19（本小题满分 14 分）设，函数，试讨论函数的单调性 kR111()11xxf xxx，()()F xf xkxxR()F x【解析】1,1,1()()1,1,kxxxF xf xkxxkxx 21,1,(1)()1,1,21kxxF xkxx对于，1()(1)1F xkx xx当时，函数在上是增函数；0k()F x(,1)当时，函数在上是减函数，在上是增函数；0k()F x1(,1)k1(1,1)k对于，1()(1)21F xk xx 当时，函数在上是减函数；0k()F x1,当时，函数在上是减函数，在上是增函数。0k()F x211,14k211,4k20（本小题满分 14 分）如图 5 所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，PABCDABCDRBD，垂直底面，分别是上的点，且60ABD45BDCPDABCD2 2PDREF，PBCD，过点作的平行线交于 PEDFEBFCEBCPCG（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；BDABPEFG（3）当时，求的面积 12PEEBEFG【解析】（1）在中，Rt BAD60ABD,3ABR ADR而 PD 垂直底面 ABCD，2222(2 2)(3)11PAPDADRRR,2222(2 2)(2)2 3PBPDBDRRR在中，,即为以为直角的直角三角形。PAB222PAABPBPABPAB设点到面的距离为,由有,即 DPABHP ABDD PABVVPA AB HAB AD PDFCPGEAB图 5D6 ;32 22 661111AD PDRRHRPAR66sin11HBD(2),而,即,，/,PEPGEGBCEBGCPEDFEBFC,/PGDFGFPDGCDCGFBC,是直角三角形；GFEGEFG（3）时,12PEEB13EGPEBCPB23GFCFPDCD即,112224 22cos45,2 2333333EGBCRR GFPDRR 的面积 EFG21124 2422339EFGSEG GFRRR21（本小题满分 12 分）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，pq，20 xpxqnx1xp22xpq（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；12nnnxpxqx3 4n ，pqnx（3）若，求的前项和 1p 14q nxnnS【解析】（1）由求根公式，不妨设，得 2244,22ppqppq，224422ppqppqp224422ppqppqq（2）设，则，由得，112()nnnnxsxt xsx12()nnnxst xstx12nnnxpxqx stpstq消去，得，是方程的根，由题意可知，t20spsqs20 xpxq12,ss当时，此时方程组的解记为 stpstq1212sstt或 112(),nnnnxxxx112(),nnnnxxxx即、分别是公比为、的等比数列，11nnxt x21nnxt x1s2s由等比数列性质可得,2121()nnnxxxx2121()nnnxxxx两式相减，得 2212121()()()nnnxxxxx，221,xpq xp222x1x，22221()nnnxx22221()nnnxx，即，1()nnnx1nnnx11nnnx当时，即方程有重根，20 xpxq240pq即，得，不妨设，由可知 2()40stst2()0,stst st，2121()nnnxxxx2121()nnnnxxxx即，等式两边同时除以，得，即 1nnnxxn111nnnnxx111nnnnxx数列是以 1 为公差的等差数列，,nnx12(1)111 nnxxnnnnnnxn综上所述，11,(),()nnnnnxn（3）把，代入，得，解得 1p 14q 20 xpxq2104xx12 11()()22nnnxn 232311111111()()().()()2()3().()22222222nnnSn 23111111()()2()3().()22222nnn 111111()2()()3(3)()2222nnnnnn