第二章 函数函数与方程.pdf

2.8 函数与方程基础知识自主学习要点梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义把函数卜=)的图像与横轴的交点的横坐标称为这 个函数的零点.(2)几个等价关系方程小)=0有实数根o函数的图像与横轴有交点。函数了=00有 零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数y=/(x)在闭区间口，口上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即至皿52,则 在区间5，b)内,函数y=A2至少有一个零点，即 相应的方程加0=0在区间伍)内至少有一个实数解.2.二次函数了=2+析+。(0)的图像与零点的关系A0A=0A1 解析 设函数y=，30,且和函数 y=x+a,则函数/（X）=，-伍0,且 LzW1 有两个零点，就是函数y=必（心0,且W1 与函数y=x+有两个交点，由 图像可知当OVqVl时两函数只有一个交点，不符合；如 图所示，当al时，因为函数了=1 1 的图像过点 0,1,而直线=*+所过的点一定在点 0,1 的上方，所以一定有两个交点，所以实数的取值范围是心L3.函数於)=，+2、一6(e-2.718)的零点属于区间(“n+1)(/1EZ),贝 1解析 可以估算两个相邻自然数的函数值，/(I)=e-40,从而可知函数应0的零点位于区间(1,2)内,故=1.4.若函数/(x)=ax+A有一个零点为2,则g(x)=bf 一火的零点是(C)A.0,2 B.0,1C.0,一；D.2,一；解析由A2)=2+=0,得=-2d,g(x)=-2ax2-ax=ax(2x+1).令g(x)=。，#x=0,x=-1，g(x)的零点为o,-I.5.已知三个函数於)=2%+心g(x)=x2,住)=log2X+x的零点依次为m b,c,贝Ij(B)A.abc B.acbC.bac D.cab角星析 由于其-1)=1-1=-1o,故&)=2、+x的零点 (-1,0).m.=_1+12g(2)=0,g(x)的零点=2;=一；0,1)故(x)的零点予1,因此acb.点评 本题的易错点是，学生误以为需求出4、C其 实4和C只需限定区间即可.题型分类深度剖析题型一 判断函数在给定区间上零点的存在性例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1次0=3x18,xel98；(2)/(x)=log2(x+2)x,xl,3.思维启迪 第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出 零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图像的交 点来求解.解(1)方法一 1)=12-3X1-18=-200,1)次8)log22-1=0,3)=log25-3log28-3=0 一加)况3)=y=在同一平面直角坐标系中，作 出它们的图像，从图中可以看出当00的零点个数为A.3 B.2C.1(B)D.0解析 当 xWO 时，由 fix)=x2+2x-3=0,得=1(舍去),x2=_ 3;当 x0 时，由/(x)=-2+lnx=0,得x=e2,所以函数凡0的零点个数为2题型三二次函数的零点分布问题例3 已知关于x的二次方程f+2/nx+2/w+l=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(一1,0)内，另一根在区间(1,2)内,求阳的范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求阳的范围.思维启迪 设出二次方程对应的函数,可画出相应的示 意图，然后用函数性质加以限制.解（1 由条件，抛物线/（X）=f+2/WX+2M+1与x轴的交点分别在区间（-1,0 和 1,2 内，如图(1)所示，得7(0)=2m+10,/(l)=4/n+20.加 5 1即7/w0,列不等式组加)0,A三0,0 一 mr i 今J m-加三1+也或mWl-啦,-lm0.即 一 0,若存在实数满足条件，则只需八一1)：/(3)0即可.A-1)哄3)=(1-3+2+-1)-(9+9a-6+a-1)=4(l-a)(5a+l)0.所以-g或三1.检验：当/(-1)=0时，a=l.所以/(*)=/+*.令/(*)=0,即 Y+*=0.得*=0或=-1.方程在-1,3 上有两根，不合题意，故当 3)=0时，a=此时/(x)=X2-f,令y(x)=o,即 x2-f=o,解之得x=或x=3.方程在-1,3 上有两根，不合题意，故工-*.综上所述，al.易错警示4.分类讨论不周全致误试题：(12分)已知函数本)=曷,如果关于x的方程大0 有四个不同的实数解，求实数4的取值范围.学生解答展示角单：=/(%)=I 原方程 3=kx x+2 x+2X 0(1)当x 0且x w-2时5-=kx,x+22kx+2kx+1=0当A=4左2 一 4左0,左 0或左 1时kx2+2kx+1=0有两个解(2)当 x 0时,-=kx2x+2/.kx2+2kx-1=0当八二4/+4左 0.左 1或左0时左、2+2底一1 二 0有两个解，当左 e(-oo,-l)U、，,审题视角 JX)=kx2的解Oa=kx2的解.方程有X十/四个不同的解，可考虑分为有正解、负解和零解.在 有正解、负解、零解的情况下，分别考虑九的取值情况.规范解答解.)=*1，原方程即?=小.(*)x=0恒为方程(*)的一个解.1分一 X当WO且xW-2时，若方程(*)有解，则二=小，底+2h+1=0.X 当4=0时，方程Af+2h+1=0无解；2分当左W0时，人=4炉-440,即AvO或AN1时，方程Ax?+2Ax+1=0有解.设方程区2+2Ax+1=0的两个根分别是不、必，nl 1贝1J巧+勺=-2,XiX2=,3分当Q1时，方程Af+2h+1=0有两个不等的负根；4分当左=1时，方程任2+2Ax+l=0有两个相等的负根；5分当时，方程2+2Ax+l=0有一个负根.6分当x0时，若方程(*)有解，则不加+221=0当4=0时，方程+2h-1=0无解；7分当4W0时，人=4左+4420,即AW-1或左0时，方程京+22 1=0有解.8分设方程kx1+2kx-1=0的两个根分别是与、Mnl 1贝 占+%4=-2 X3X4=一斤当Q0时，方程Af+2Ax-l=0有一个正根；9分当kW T 叱 方程kf+2kx-1=0没有正柢 10分 综上可得，当九(1,+8)时，方程代r)=Ax2有四个不同 的实数解.12分 批阅笔记（1 解决由函数零点（方程根）的存在情况求参数 的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结 合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.本题的易错点主要是分类讨论不周全，导致解析不完整 或解答错误.表现在两个方面：不对X分类讨论或漏掉X=0的情况.由于方程中含有绝对值，一般从去绝对值的角 度要对x进行分类讨论，若直接平方去绝对值，则解题将 无法进行下去.在方程转化成关于茶的一元二次方程后,需对4进行分类讨论.在讨论时易忽略1=0的情况.对分类讨论要遵循不重、不漏和最简的原则.思想方法感悟提高方法与技巧1.函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程心)=0.2.研究方程/(x)=gG)的解，实质就是研究G(x)=fx-g(x)的零点.3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质 是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这 个函数零点的近似值.失误与防范1.对于函数y=/(M)(XO),我们把使/(*)=0的实数*叫作函 数的零点，注意以下几点：(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；(2)函数的零点也就是函数了=凡0的图像与工轴的交点的横 坐标；(3)一般我们只讨论函数的实数零点；(4)函数的零点不是点，是方程/)=0的根.2.对函数零点存在的判断中，必须强调：(1次0在句上连续；(2加4朋)0;(3)在(小)内存在零点.这是零点存在的一个充分条件，但不必要.返回