2009年浙江省高考数学【理】（含解析版）.doc

2009年高考数学浙江理科试卷
一、选择题（本大题共10小题，共0分）
1．（2009浙江理1）设，，，则( )
A. B. C. D.

2．（2009浙江理2）已知是实数，则“且”是“且”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3．（2009浙江理3）设（是虚数单位），则( )
A. B. C. D.

4．（2009浙江理4）在二项式的展开式中，含的项的系数是( ).
A. B. C. D.

5．（2009浙江理5）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是( )
A. B. C. D.

6．（2009浙江理6）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是( )

A. B. C. D.

7．（2009浙江理7）设向量，满足：，，.以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为( ).
A. B. C. D.

8．（2009浙江理8）已知是实数，则函数的图象不可能是( )
A. B.
C. D.

9．（2009浙江理9）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.

10．（2009浙江理10）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有.下列结论中正确的是( )
A.若，，则
B.若，，且，则
C.若，，则
D.若，，且，则

二、填空题（本大题共7小题，共0分）
11．（2009浙江理11）设等比数列的公比，前项和为，则 .

12．（2009浙江理12）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 .

13．（2009浙江理13）若实数满足不等式组则的最小值是

14．（2009浙江理14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）.

15．（2009浙江理15）观察下列等式：
，
，
，
，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于， .

16．（2009浙江理16）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）.

17．（2009浙江理17）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值范围是 .

三、解答题（本大题共5小题，共0分）
18．（2009浙江理18）在中，角所对的边分别为，且满足，.（I）求的面积；（II）若，求的值。

19．（2009浙江理19）在这个自然数中，任取个数.
（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；
（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）.求随机变量的分布列及其数学期望.

20．（2009浙江理20）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，.
（I）设是的中点，证明：平面；
（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离.

21．（2009浙江理21）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为1。
（I）求椭圆的方程；
（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值。

22．（2009浙江理22）已知函数，，其中.
（I）设函数.若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一
的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

2009年高考数学浙江理科试卷详细解答
1【答案】B
2【答案】C
【解题关键点】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的
3【答案】D
【解题关键点】对于
4【答案】B
【解题关键点】对于，对于，则的项的系数是
5【答案】C
【解题关键点】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，即有.
6【答案】A
【解题关键点】对于，而对于，则，后面是，不符合条件时输出的.
7【答案】B
【解题关键点】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个及5个以上的交点不能实现.
8【答案】D
【解题关键点】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了.

9【答案】C
【解题关键点】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，
则有，因.
10【答案】C
【解题关键点】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有.
11【答案】15
【解题关键点】对于
12【答案】18
【解题关键点】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18
13【答案】4
【解题关键点】通过画出其线性规划，可知直线过点时，
14【答案】
【解题关键点】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为；对于低峰部分为，二部分之和为
15【答案】
【解题关键点】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，
16【答案】336
【解题关键点】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种.
17【答案】
【解题关键点】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是
18【答案】解析：（I）因为，，又由，得，
（II）对于，又，或，由余弦定理得，
19【答案】（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；
（II）随机变量的取值为的分布列为

0
1
2
P

所以的数学期望为
20【答案】证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面
（II）
设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为。
21【答案】解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，
（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，
设线段MN的中点的横坐标是，则，
设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；
当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1.
22【答案】解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得
，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；
（II）当时有；
当时有，因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；
当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意.