线段的垂直平分线与角平分线.doc

初中数学 竞贤老师专属讲义 线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1， CDAB，且ADBD ACBC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2， ACBC 点C在线段AB的垂直平分线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， OE是AOB的平分线，F是OE上一点，且CFOA于点C，DFOB于点D， CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，点P在AOB的内部，且PCOA于C，PDOB于D，且PCPD，点P在AOB的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是ABC的内角BAC、 ABC、ACB的平分线，那么： AP、BQ、CR相交于一点I； 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DIEIFI. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.【典型例题】例1、如图1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A6cm B8cmC10cm D12cm【跟踪练习】（1） 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果EBC的周长是24cm，那么BC=_;（2） 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的周长是_;（3） 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果A=28度，那么EBC=_.例2、已知： AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE.【跟踪练习】已知：在ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC.求证：点O在BC的垂直平分线. C例3、在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50，ABC的底角B的大小为_。【跟踪练习】在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40，则底角B的大小为_。例4、如图8，已知AD是ABC的BC边上的高，且C2B，求证：BDACCD.例5、已知：如图，点B、C在A的两边上，且AB=AC，P为A内一点，PB=PC，PEAB，PFAC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF【跟踪练习】已知： PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA平分线，它们交于P，PDBM于D，PFBN于F，求证：BP为MBN的平分线。例6、如图10，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分ADC，求证：AE平分BAD.【跟踪练习】如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求证：DE=DF。例7、如图11，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，且BAD与BCD互补，求证：ADCD.【课堂练习】1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）A. CD垂直平分AD B. AB垂直平分CD C. CD平分ACB D. 以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3. ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC的周长是（ ）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm4. 如图所示，AB/CD，O为A、C的平分线的交点，OEAC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_。5. 已知，如图，在ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC，求证：AOBC.6. 如图7，在ABC中，AC23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，ACE的周长为50，求BC边的长.7. 已知：如图所示，ACB，ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP.8. 如图，ADDC，BCDC，E是DC上一点，AE平分DAB (1)如果BE平分ABC，求证：点E是DC的中点； (2)如果E是DC的中点，求证：BE平分ABC9. 如图，在ABC中，AB=BC=AC，ADBC于D，E、F分别为AB、AC中点求证：DA平分EDF10. 如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和射线OC的距离相等【课后作业】1.下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个2. ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为_。3. 如图所示，直线表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处4.如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM. 5. 如右图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分BAC.6. 如图，ABC中，ABC=1000，ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使CBD=200，连结DE求CED的度数第 13 页 共 13 页