线段的垂直平分线与角平分线.doc

初中数学 竞贤老师专属讲义
线段的垂直平分线与角平分线
【知识框架】
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理的数学表示：如图1，∵ CD⊥AB，且AD＝BD
∴ AC＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等
（2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的数学表示：如图2，∵ AC＝BC
∴ 点C在线段AB的垂直平分线m上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
性质的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；
若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；
若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理的数学表示：如图4，
∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB 于点D， ∴ CF＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：如图5，
∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD，
∴点P在∠AOB的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、 ∠ABC、∠ACB的平分线，那么：
① AP、BQ、CR相交于一点I；
② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；
（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

【典型例题】
例1、如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　）
　　A．6cm　 　　 B．8cm C．10cm　　 D．12cm
【跟踪练习】
（1） 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
如果△EBC的周长是24cm，那么BC=_________;
（2） 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
如果BC=8cm，那么△EBC的周长是______;
（3） 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
如果∠A=28度，
那么∠EBC=___.

例2、已知： AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE.

【跟踪练习】
已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC.求证：点O在BC的垂直平分线.

C

例3、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。

【跟踪练习】
在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。

例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.

例5、已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF

【跟踪练习】
已知： PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。

例6、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.

【跟踪练习】
如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。

例7、如图11，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，
求证：AD＝CD.

【课堂练习】
1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）
A. CD垂直平分AD B. AB垂直平分CD
C. CD平分∠ACB D. 以上结论均不对

2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

3. △ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
4. 如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，
且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。

5. 已知，如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，
求证：AO⊥BC.

6. 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.

7. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP.

8. 如图，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB．
(1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点； (2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．

9. 如图，在△ABC中，AB=BC=AC，AD⊥BC于D，E、F分别为AB、AC中点．求证：DA平分∠EDF．

10. 如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和射线OC的距离相等．

【课后作业】
1.下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；
②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。
3. 如图所示，直线表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处

4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.

5. 如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.

6. 如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．

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