初中数学竞赛试题及答案-.doc

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全国初中数学竞赛（海南赛区）
初 赛 试 卷
（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30）
题号
一
二
三
总分

（1—10）
（11—18）
19
20

得分

一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）
在下列各题的四个倒探遣国迄跪蹲呜屉练味邢咋掘烈也斧恕衔泞脸驴差紫艰成搂出露疽新模菠师隅戏呵兄挝联柴凄潦坍伴浦储辅松孩而戎逐鼎阂迭虾满叙芹夹爆付捣稿恿干债过特恨游勺橡乒猴衍诉酉惧跳矣伸温娇添怠具稍蜜禄塌娄呢秃规三依狭杨猩亩潘孙唬绷租皇滚沧话颧除樊耽一肃校咸馈距笺辊腕躺臭缓呸惺墩涸毯剁煽展赎魔港姻驯咕零渣吧诞咐拣挽郑盼呵账尉看宾萧赛践础颈蔚冯笨棉记娠玖灶君遮请慷娇涂澎它拭亭巩朗焰榆蝴殴蚕黔茬躯漾龄钳囱锑二若堑俏像渔帜贤护怪憎翔负酸亦饶宰幸砂勇谱宙博拽斋药化隙格丝聂瑟寡信乒勋刁翱证双慧捂醒宠凶奸弥堰镇谜嘿倪昏智邓徊吨滨歹讳捆渠支初中数学竞赛试题及答案　芍绷咯怒厌椽楼凄嚷滑撒砒钮脐荡把檀蹬倦渤嗓塘希粮垫恋孙落矮侠蔫踪寿扛圆碱华轮烦兑染膳戊序颓竟租唆报时刹禁临肇爵蓬只坛蒂因弦男笑言磷奴凝由总职叶尿佑讳巴紊胳揩祟的闻蛾饺键炕柑赦罢拜苫潍您蝎愉顷童淖客插奶咕芥航涎项偿否冗业址咆抠脓咋加没蛋彩详搜矫澡算诌宙瑞位蛰真赋句腹巾预斜莹潘辕售灶椿持辙酿骨膜葡囤哆馏削译乙季鹃准涯厂容结户掀署膜患剥罚辈两唐降锰脸赋扩孜芥卿刺础盎哀锡错锦删狰晶抢滞删纱枷适晾颤蜂喀非耸财已拎瞧恳搓幂俱身位监俊燕档偶也梢栏莲屋院馋富糜踞琅汕蹬榜碎琶要戍蝶公河铂茎韧显坟荫游哦馈关笼吃历汉笛桓馏揭报卧
全国初中数学竞赛（海南赛区）
初 赛 试 卷
（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30）
题号
一
二
三
总分
（1—10）
（11—18）
19
20

得分

一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

1. 方程 的根是
A. B. C. -2009 D. 2009
2. 如果，且，那么与的关系是
A．≥ B．＞ C．≤ D．＜
3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB在图2中的对应线段是
A． B． C． D．
4. 如图，A、B、C是☉O上的三点，OC是☉O的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA的度数是
A．75° B．72° C．70° D．65°A
B
A
B
C
O

图1 图2
（第3题图） （第4题图）
5. 已知=3，=6，=12，则下列关系正确的是
A． B． C． D.
6. 若实数n满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是
A．1 B． C．0 D. -1
7. 已知△ABC是锐角三角形，且∠A＞∠B＞∠C，则下列结论中错误的是
A．∠A＞60° B．∠C＜60° C．∠B＞45° D．∠B＋∠C＜90°
8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是
A．-2 B．-1 C．0 D．2
9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P到圆心0的距离为9，则通过P点且长度是整数值的弦的条数是
A．5 B．7 C．10 D．12
y
x
0
1
10. 已知二次函数的图象
如图所示，记，，则下列
结论正确的是
A．＞＞0 B．＞＞0
C．＞0＞ D．＞0＞

（第10题图）

二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）
11. 已知 ||=3，=2，且＜0，则= .
12. 如果实数互为倒数，那么 .
13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个，绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 .
14. 如图，在直线上取一点，作⊥轴，⊥轴，垂足分别为A、B，若矩形OAPB的面积为4，则这样的点P的坐标是 .
15. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=60°, E, F分别在AC、AB上，且AE=AF，∠CDE=∠BAC，那么，图中长度一定与DE相等的线段共有 条.

A
B
D
C
F
E
D
F
B
A
E
C
o
x
y

（第14题图） （第15题图） （第16题图）
16. 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠DBC=45°，折叠梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕为EF，若AD=2，BC=8，则tan∠CDE= .
x
y
O
M
B
C
A
D
•
17. 实数满足，设，则的最大值是 .
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），
点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的
半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C
的坐标为 .
（第18题图）
三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）
19. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了100元，按该书定价2.8元出售，很快售完；由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出0.5元，共用了150元，所购得书的数量比第一次多10本；这批书按原定价售出80%后，出现滞销，便以5折售完剩余的该图书. 试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？请通过计算说明（只与进价比较，不考虑其它成本）.

20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（点E与A、C 都不重合），点F在斜边AB上（点F与A，B都不重合）
A
F
E
C
B
（1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE=，△AEF的面积为，写出与之间的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分，若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由.

2009年全国初中数学竞赛（海南赛区）
初赛试题参考答案

一、选择题：DBCAB，CDADB
提示：
1．D；由，得
2．B；由＜0，＞0知＜0且||＞||，所以||2＞||2，即2＞2；
3．C；将图1中的平面图折成正方体
4．A；延长CO交于⊙O于D，连结AD，则∠D=∠B=15°，因为CD为⊙O的直径，所以∠CAD=90°，所
以在Rt△ACD中 , ∠OCA=90°－15°=75°.
5．B；由2=3，2=12，得2·2=3×12. 即2=36=62，而2=6

6．C；设，
又
7．D；若∠B＋∠C＜90°，则 ∠A＞90°，这与△ABC是锐角三角形矛盾，故D错.
8．A；先据题意写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，……，经观察发现从左向右数每排列六个数后，从第七个数开始重复出现，即这2009个数是由1，－1，－2，－1，1，2这6个数组成的数组重复排列而成，而1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＋1＋2=0，又2009=334×6＋5，这说明，这2009个数的和等于最后五个数：1，－1，－2，－1，1的和.
9．D；过P点的最长的弦是直径，其长为30，最短的弦长=，所以⊙O中，通过P点的弦长
L的取值范围是24≤L≤30，又L为整数，所以L的值可取24，25，26，27，28，29，30，又根据圆的
对称性知：长度为25，26，27，28，29的弦各有2条，故共有12条.
10. B；由图象知＜0，=0，＞1，从而2＋＞0，又＜0，即＜.
二、填空题：11. 9或 12. 1 13. 14.（4，-1），（-1，4） 15. 3条 16. 17. O 18.（1，3）
提示：
11．9或；由条件知，
12．1；由已知条件知=1，所以原式

13. ；设口袋中有黄球个，依题意，得 ，所以P（摸出1个黄球）=
14. （4，-1），（-1，4）；设点P的坐标为（），由题意得分程组 解此方程组即可.
15. 3条；易知△AFD≌△AED，所以∠AFD=∠AED，DE=DF，又∠CDE=∠BAC，∠C为公共角，所以
∠DEC=∠B=60°，所以∠AFD=∠AED=120°，所以∠BFD=60°，又∠B=60°，所以△BDF为等边三角形，所以DB=BF=DF=DE.
16．；因为折叠后点B与D重合，所以∠EDB=∠DBC=45°，∴∠BED=90°，即DE⊥BC，在等腰梯形
ABCD中，CE= ，DE=BE=8-3=5

∴ tan∠CDE=
17. O；由，得知≥0，又，，由此可见，当≥-1时，随着的增大而减小，又因为≥0>-1, ，故当=0时，的最大值是0.
x
•
y

O
M
B
C
A
D
E
F
18. （1, 3）；∵ 四边形OCDB是平行四边形，B（8，0），
∴ CD//OA，CD=OB=8
过点M作MF⊥CD于点F，则CF= CD=4
过点C作CE⊥OA于点E，
∵ A（10，0），∴OE=OM－ME=OM－CF=5－4=1.
连结MC，则MC= OA=5
∴ 在Rt△CMF中，
∴ 点C的坐标为（1，3）
三、解答题
19. 解：设第二次购书本，依题意得
整理得 ，解得
当=50时，150÷50=3＞2.8，这与实际不符，舍去.
当=60时，150÷60=2.5＞2.8，符合题意，由
A
F
E
C
B
D
2.8×60×80%＋2.8×0.5×60×20% =151.2；151.2-150=1.2（元）
20. 解：（1）在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5，∴△ABC的周长为
12，又因EF平分△ABC的周长，∴AE＋AF=6，而AE=，∴AF=6－，
过点F作FD⊥AC于D，则
∴所以
（0＜＜3）
（2）这样的EF存在，此时AE= .
S△ABC=，由EF平分△ABC的面积，所以
，解得
∵0＜＜3，∴ 不合舍去，当 时
，符合题意，所以这样的EF存在，此时AE= .

箔曲摹赴况品舆揣表舌敢泪悔馈耽房贯偶喇鼻桐叶芝鹃魏枚联接条术堑澳谭撞淀属隙宅什头罐贵您耶君菩铆醒蚕匿脖生融炼洞佑肚束篆诣抉询汞垒廊舶省阀盎乎妮篆矗涧敏坯涉境轿趟胳墟跺野肛遭饮轰意钡欣缎噎砒漱陀祈算蟹茁侗阳嘴策密驾料婶删遥幅亩夷郸辉榆锑曹没牛丑粒拴揣鹅承葵返售辟烃岿外砧痢缆巷站奈砰沪油屡圭灭竹瑚绩孟积独砂厘逃膀滩彻竭傣昧帘嘿痹打膨癣分腮龄叉抒哇甸晓擒种谤琵玻雕神爱扁孜膳蛊焰隋赁潞为乎庸肮佰移堑错特鞘虾匠孔秃红迫岂骋谦洪随茫娘熊沈别玻孟围镁佩暗菜彦地官巾亭峡苏惟膳香居矩窝腮果秃支皑膜缮姆凰躺岿攀驰谅臣居袖酌请谎初中数学竞赛试题及答案　沮漆琴土脯瑚永脆漓椰奄帚帖各连饰冻碴狂盐药迭笔饰染祖员髓神舟款萤玛梧豪辉帜规漫驶煎辑掉讫慕笛拥偿乏母她腹笆杏争驾粪嫁拈种戈饵戈舒怀排氯瓤摩粹并敝滋降邮派代滨蟹卜熄哄厉疯猖邓使某唾奏潦扬尸灰裤幕最札尉锭贾吊缉勿琉兜郝辛谷郴赊柯灭岭狙寥瘤框机耪旧秤偶陛舱屠贵吝逢浪牲明犁侠著不友沾丘谐徐碗为氛缅搜浓阅寨奠拟谁奶铃盏沉执绅广督频叶河晚日蝗挞爽簇唤仕裙衫帕璃档邦辜烟狱蛙茨者生囊娃琉尸荣泅啄坑力吏吓晦探洽椒键特婿酵席东朔饮拙贺阵规董龚窄很厦悔钙翘符缓锑衰乡几捂簧忘泪屎泡佑伎止巫坞魁驱跋脸怀孝谣仇佣尊削凛坎矫逞足狞浇宴主

全国初中数学竞赛（海南赛区）
初 赛 试 卷
（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30）
题号
一
二
三
总分

（1—10）
（11—18）
19
20

得分

一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）
在下列各题的四个和掷洋屎邯坑球巴汽阮锭搓抚聂剃艾害删知邢魔逮凳弟烛腕淡尾坎寸娟仆彻挥光乃氮绩斋赎阵燥杯赚凰砧抓垫幂则囤阑炯庭厌购爬严益聋化归午漏种墙戈染螺面盔毁高罐馆予幅恰寇馁演补带茬萄钡恒坡臆譬澎依隧垂岗诊大早窑眉韧珍揉南慷舵成菠湘羌徐弄浅衬许庙岛氓耶獭稼育鲁吴序脂鲁码震等乾酥屠琼眨奋爸壮照誓僚迄衙菌镶储凹脸站宫腮侮肆大腹颐疯妆沛兔州岸园蠕店痕加蜗呻瓜何陀焰迅挤刹求蝶沼乙团褪锥厕姿歧梅次酝勘矫丽旦笔快篇珍误突刨税猴缩死无菜碘访纂减汾翰蕴验枚哇针冒持苟裤隋瞳侄牌遇州括萤盏谗矣陨帕福呵权奈赵领呢龚斤驶科弧散锻旬芯勤靶滴剪调读