2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）.pdf

长 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）卷）理科数学理科数学 一、选择题 1设集合 Ax|x25x60，Bx|x10 x|x3 或 x2，Bx|x10 x|x1，所以 ABx|xb，则()Aln(ab)0 B3a0 D|a|b|答案C 解析由函数 yln x 的图象(图略)知，当 0ab1 时，ln(ab)b 时，3a3b，故 B 不正确；因为函数 yx3在 R 上单调递增，所以当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 正确；当 ba0 时，|a|0)的焦点是椭圆1 的一个焦点，则 p 等于()232A2 B3 C4 D8 答案D 解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(，0)，所以，解得 p8，故选(2,0)p2D.9下列函数中，以 为周期且在区间上单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|答案A 解析A 中，函数 f(x)|cos 2x|的周期为，当 x时，2x，函数 f(x)单调递增，故 A 正确；B 中，函数 f(x)|sin 2x|的周期为，当 x时，2x，函数 f(x)单调递减，故 B 不正确；C 中，函数 f(x)cos|x|cos x 的周期为 2，故 C 不正确；D 中，f(x)sin|x|由正弦函数图象知，在 x0 和 x0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于2222P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为()A.B.C2 D.235答案A 解析如图，由题意知，以 OF 为直径的圆的方程为2y2，将 x2y2a2记为式，得 x，则以 OF为直径的圆与圆 x2y2a2的相交弦所在直线的方程为 x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得 2c，整理得 c44a2c24a40，即 e44e240，解得 e，故选 A.长 12设函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x1)2f(x)，且当 x(0,1时，f(x)x(x1)若对任意 x(，m，都有 f(x)，则 m 的取值范围是()89A.B.C.D.答案B 解析当1x0 时，0 x11，则 f(x)f(x1)(x1)x；当 1x2 时，0 x11，则 f(x)2f(x1)12122(x1)(x2)；当 2x3 时，0 x21，则 f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得 f(x)由此作出函数 f(x)的图象，如图所示由图可知当 2x3 时，令 22(x2)(x3)，整理，得(3x7)(3x8)0，解得 x 或 x，将这两个值标注在图中要使对任意 x(，m897383都有 f(x)，必有 m，即实数 m 的取值范围是，故选 B.8973 二、填空题 13我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 答案0.98 解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.14已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，x0 时，f(x)f(x)eax，所以 f(ln 2)ealn 2a8，所以 a3.15ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B，则ABC 的面积为_ 答案6 3解析方法一因为 a2c，b6，B，所以由余弦定理 b2a2c22accos B，得 62(2c)2c222cccos，得 c2，所以 a4，所以ABC 的面积 S acsin B 42sin 6.1212方法二因为 a2c，b6，B，所以由余弦定理 b2a2c22accos B，得 62(2c)2c222cccos，得 c2，所以 a4，所以 a2b2c2，所以 A，所以ABC 的面积 S 266.1216中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_ 答案261 2 长 解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6 个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由 18 个正方形，8 个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有 26 个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为 x，则xxx1，解得 x1，故题中的半正多面体的棱长为1.三、解答题 17.如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面 EB1C1；(2)若 AEA1E，求二面角 BECC1的正弦值(1)证明由已知得，B1C1平面 ABB1A1，因为 BE平面 ABB1A1，故 B1C1BE.又 BEEC1，EC1B1C1C1所以 BE平面 EB1C1.(2)解 由(1)知BEB190.由题设知 RtABERtA1B1E，所以AEB45，故 AEAB，AA12AB.以 D 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)设平面 EBC 的法向量为 n(x，y，z)，则即 所以可取 n(0，1，1)设平面 ECC1的法向量为 m(x1，y1，z1)，则 即 所以可取 m(1,1,0)于是 cosn，m，12sinn，m，所以二面角 BECC1的正弦值为.1811 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 1010 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方 1010 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束(1)求 P(X2)；(2)求事件“X4 且甲获胜”的概率 解(1)X2 就是 1010 平后，两人又打了 2 个球该局比赛结束，则这 2 个球均由甲得分，或者均由乙得分因此 P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4 且甲获胜，就是 1010 平后，两人又打了 4 个球该局比赛结束，且这 4 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 1 分，后两球均为甲得分 因此所求概率为 P0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.19已知数列an和bn满足 a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.长 (1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式(1)证明由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即 an1bn1(anbn)12又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为 的等比数列 12由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8，即 an1bn1anbn2.又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)解由(1)知，anbn，anbn2n1.所以 an(anbn)(anbn)n，1212bn(anbn)(anbn)n.121220已知函数 f(x)ln x.+1 1(1)讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；(2)设 x0是 f(x)的一个零点，证明：曲线 yln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 yex的切线(1)解f(x)的定义域为(0,1)(1，)因为 f(x)0，所以 f(x)在(0,1)，(1，)上单调递增 1因为 f(e)10，所以 f(x)在(1，)上有唯一零点 x1，即 f(x1)0.又 00)由得 x.记 u，则 P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线 QG 的斜率为，方程为 y(xu)k2k2 长 由得(2k2)x22uk2xk2u280.设 G(xG，yG)，则u 和 xG是方程的解，故 xG，由此得 yG.从而直线 PG 的斜率为，1因为 kPQkPG1.所以 PQPG，即PQG 是直角三角形()解由()得|PQ|2u，|PG|，所以PQG 的面积 S|PQ|PG|.12设 tk，则由 k0 得 t2，当且仅当 k1 时取等号 1因为 S在2，)上单调递减，所以当 t2，即 k1 时，S 取得最大值，最大值为.169因此，PQG 面积的最大值为.16922选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，O 为极点，点 M(0，0)(00)在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P.(1)当 0 时，求 0及 l 的极坐标方程；(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 解(1)因为 M(0，0)在 C 上，当 0 时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设 Q(，)为 l 上除 P 的任意一点，连接 OQ，在 RtOPQ 中，cos|OP|2.经检验，点 P在曲线 cos2 上(2,蟺3)所以，l 的极坐标方程为 cos2.(2)设 P(，)，在 RtOAP 中，|OP|OA|cos 4cos，即 4cos.因为 P 在线段 OM 上，且 APOM，故 的取值范围是.所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4cos，.23选修 45：不等式选讲 已知 f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 x(，1)时，f(x)0，求 a 的取值范围 解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当 x1 时，f(x)2(x1)20；当 x1 时，f(x)0.所以，不等式 f(x)0 的解集为(，1)(2)因为 f(a)0，所以 a1.当 a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以，a 的取值范围是1，)长