2016年浙江省高考数学【文】（含解析版）.pdf

20162016 年浙江省高考数学试卷（文科）年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题一、选择题 1（5 分）（2016浙江）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 P=1，3，5，Q=1，2，4，则（UP）Q=（）A1 B3，5 C1，2，4，6 D1，2，3，4，5 2（5 分）（2016浙江）已知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则（）Aml Bmn Cnl Dmn 3（5 分）（2016浙江）函数 y=sinx2的图象是（）A B C D 4（5 分）（2016浙江）若平面区域，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A B C D 5（5 分）（2016浙江）已知 a，b0 且 a1，b1，若 logab1，则（）A（a1）（b1）0 B（a1）（ab）0 C（b1）（ba）0 D（b1）（ba）0 6（5 分）（2016浙江）已知函数 f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7（5 分）（2016浙江）已知函数 f（x）满足：f（x）|x|且 f（x）2x，xR（）A若 f（a）|b|，则 ab B若 f（a）2b，则 ab C若 f（a）|b|，则 ab D若 f（a）2b，则 ab 8（5 分）（2016浙江）如图，点列An、Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*，（PQ 表示点 P 与 Q 不重合）若 dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）ASn是等差数列 BSn2是等差数列 Cdn是等差数列 Ddn2是等差数列 二、填空题二、填空题 9（6 分）（2016浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3 10（6 分）（2016浙江）已知 aR，方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是，半径是 11（6 分）（2016浙江）已知 2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A0），则 A=，b=12（6 分）（2016浙江）设函数 f（x）=x3+3x2+1，已知 a0，且 f（x）f（a）=（xb）（xa）2，xR，则实数 a=，b=13（4 分）（2016浙江）设双曲线 x2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，若点 P 在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 14（4 分）（2016浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90，沿直线 AC 将ACD 翻折成ACD，直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是 15（4 分）（2016浙江）已知平面向量，|=1，|=2，=1，若 为平面单位向量，则|+|的最大值是 三、解答题三、解答题 16（14 分）（2016浙江）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b+c=2acosB（1）证明：A=2B；（2）若 cosB=，求 cosC 的值 17（15 分）（2016浙江）设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S2=4，an+1=2Sn+1，nN*（）求通项公式 an；（）求数列|ann2|的前 n 项和 18（15 分）（2016浙江）如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3（）求证：BF平面 ACFD；（）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 19（15 分）（2016浙江）如图，设抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1，（）求 p 的值；（）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围 20（15 分）（2016浙江）设函数 f（x）=x3+，x0，1，证明：（）f（x）1x+x2（）f（x）20162016 年浙江省高考数学试卷（文科）年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1（5 分）（2016浙江）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 P=1，3，5，Q=1，2，4，则（UP）Q=（）A1 B3，5 C1，2，4，6 D1，2，3，4，5【分析】先求出UP，再得出（UP）Q【解答】解：UP=2，4，6，（UP）Q=2，4，61，2，4=1，2，4，6 故选 C【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题 2（5 分）（2016浙江）已知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则（）Aml Bmn Cnl Dmn【分析】由已知条件推导出 l，再由 n，推导出 nl【解答】解：互相垂直的平面，交于直线 l，直线 m，n 满足 m，m 或 m 或 m，l，n，nl 故选：C【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 3（5 分）（2016浙江）函数 y=sinx2的图象是（）A B C D【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可【解答】解：sin（x）2=sinx2，函数 y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于 y 轴对称，排除 A，C；由 y=sinx2=0，则 x2=k，k0，则 x=，k0，故函数有无穷多个零点，排除 B，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键比较基础 4（5 分）（2016浙江）若平面区域，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A B C D【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离【解答】解：作出平面区域如图所示：当直线 y=x+b 分别经过 A，B 时，平行线间的距离相等 联立方程组，解得 A（2，1），联立方程组，解得 B（1，2）两条平行线分别为 y=x1，y=x+1，即 xy1=0，xy+1=0 平行线间的距离为 d=，故选：B【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题 5（5 分）（2016浙江）已知 a，b0 且 a1，b1，若 logab1，则（）A（a1）（b1）0 B（a1）（ab）0 C（b1）（ba）0 D（b1）（ba）0【分析】根据对数的运算性质，结合 a1 或 0a1 进行判断即可【解答】解：若 a1，则由 logab1 得 logablogaa，即 ba1，此时 ba0，b1，即（b1）（ba）0，若 0a1，则由 logab1 得 logablogaa，即 ba1，此时 ba0，b1，即（b1）（ba）0，综上（b1）（ba）0，故选：D【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键比较基础 6（5 分）（2016浙江）已知函数 f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】求出 f（x）的最小值及极小值点，分别把“b0”和“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断【解答】解：f（x）的对称轴为 x=，fmin（x）=（1）若 b0，则，当 f（x）=时，f（f（x）取得最小值 f（）=，即 f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等“b0”是“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”的充分条件（2）若 f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等，则 fmin（x），即，解得 b0 或 b2“b0”不是“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”的必要条件 故选 A【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题 7（5 分）（2016浙江）已知函数 f（x）满足：f（x）|x|且 f（x）2x，xR（）A若 f（a）|b|，则 ab B若 f（a）2b，则 ab C若 f（a）|b|，则 ab D若 f（a）2b，则 ab【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可【解答】解：A若 f（a）|b|，则由条件 f（x）|x|得 f（a）|a|，即|a|b|，则 ab 不一定成立，故 A 错误，B若 f（a）2b，则由条件知 f（x）2x，即 f（a）2a，则 2af（a）2b，则 ab，故 B 正确，C若 f（a）|b|，则由条件 f（x）|x|得 f（a）|a|，则|a|b|不一定成立，故 C 错误，D若 f（a）2b，则由条件 f（x）2x，得 f（a）2a，则 2a2b，不一定成立，即 ab 不一定成立，故 D错误，故选：B【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 8（5 分）（2016浙江）如图，点列An、Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*，（PQ 表示点 P 与 Q 不重合）若 dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）ASn是等差数列 BSn2是等差数列 Cdn是等差数列 Ddn2是等差数列【分析】设锐角的顶点为 O，再设|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于 a，b 不确定，判断 C，D 不正确，设AnBnBn+1的底边 BnBn+1上的高为 hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由 Sn=dhn，可得 Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列Sn为等差数列【解答】解：设锐角的顶点为 O，|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于 a，b 不确定，则dn不一定是等差数列，dn2不一定是等差数列，设AnBnBn+1的底边 BnBn+1上的高为 hn，由三角形的相似可得=，=，两式相加可得，=2，即有 hn+hn+2=2hn+1，由 Sn=dhn，可得 Sn+Sn+2=2Sn+1，即为 Sn+2Sn+1=Sn+1Sn，则数列Sn为等差数列 故选：A 【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题 二、填空题二、填空题 9（6 分）（2016浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是80cm2，体积是40cm3 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为 4，高为 2，表面积为 244+242=64cm2，体积为 242=32cm3；上部为正方体，其棱长为 2，表面积是 622=24 cm2，体积为 23=8cm3；所以几何体的表面积为 64+24222=80cm2，体积为 32+8=40cm3 故答案为：80；40【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题 10（6 分）（2016浙江）已知 aR，方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是（2，4），半径是5【分析】由已知可得 a2=a+20，解得 a=1 或 a=2，把 a=1 代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把 a=2代入原方程，由 D2+E24F0 说明方程不表示圆，则答案可求【解答】解：方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，a2=a+20，解得 a=1 或 a=2 当 a=1 时，方程化为 x2+y2+4x+8y5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（2，4），半径为 5；当 a=2 时，方程化为，此时，方程不表示圆，故答案为：（2，4），5【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题 11（6 分）（2016浙江）已知 2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A0），则 A=，b=1【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案【解答】解：2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）+1=sin（2x+）+1，A=，b=1，故答案为：；1【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键 12（6 分）（2016浙江）设函数 f（x）=x3+3x2+1，已知 a0，且 f（x）f（a）=（xb）（xa）2，xR，则实数 a=2，b=1【分析】根据函数解析式化简 f（x）f（a），再化简（xb）（xa）2，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出 a、b 的值【解答】解：f（x）=x3+3x2+1，f（x）f（a）=x3+3x2+1（a3+3a2+1）=x3+3x2（a3+3a2）（xb）（xa）2=（xb）（x22ax+a2）=x3（2a+b）x2+（a2+2ab）xa2b，且 f（x）f（a）=（xb）（xa）2，解得或（舍去），故答案为：2；1【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题 13（4 分）（2016浙江）设双曲线 x2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，若点 P 在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是【分析】由题意画出图形，以 P 在双曲线右支为例，求出PF2F1和F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围【解答】解：如图，由双曲线 x2=1，得 a2=1，b2=3，不妨以 P 在双曲线右支为例，当 PF2x 轴时，把 x=2 代入 x2=1，得 y=3，即|PF2|=3，此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；由 PF1PF2，得，又|PF1|PF2|=2，两边平方得：，|PF1|PF2|=6，联立解得：，此时|PF1|+|PF2|=使F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）故答案为：（）【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题 14（4 分）（2016浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90，沿直线 AC 将ACD 翻折成ACD，直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是 【分析】如图所示，取 AC 的中点 O，AB=BC=3，可得 BOAC，在 RtACD中，AC=作 DEAC，垂足为E，DE=CO=，CE=，EO=COCE=过点 B 作 BFBO，作 FEBO 交 BF 于点 F，则EFAC连接 DFFBD为直线 AC 与 BD所成的角则四边形 BOEF 为矩形，BF=EO=EF=BO=则FED为二面角 DCAB 的平面角，设为 利用余弦定理求出 DF2的最小值即可得出【解答】解：如图所示，取 AC 的中点 O，AB=BC=3，BOAC，在 RtACD中，=作 DEAC，垂足为 E，DE=CO=，CE=，EO=COCE=过点 B 作 BFBO，作 FEBO 交 BF 于点 F，则 EFAC连接 DFFBD为直线 AC 与 BD所成的角 则四边形 BOEF 为矩形，BF=EO=EF=BO=则FED为二面角 DCAB 的平面角，设为 则 DF2=+2cos=5cos，cos=1 时取等号 DB 的最小值=2 直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值=故答案为：【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题 15（4 分）（2016浙江）已知平面向量，|=1，|=2，=1，若 为平面单位向量，则|+|的最大值是【分析】由题意可知，|+|为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，|+|取得最大值，即【解答】解：|+|=，其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和，当 与共线时，取得最大值=故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题 三、解答题三、解答题 16（14 分）（2016浙江）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b+c=2acosB（1）证明：A=2B；（2）若 cosB=，求 cosC 的值【分析】（1）由 b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而 sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（AB），由 A，B（0，），可得 0AB，即可证明（II）cosB=，可得 sinB=cosA=cos2B=2cos2B1，sinA=利用 cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB 即可得出【解答】（1）证明：b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinB=sinAcosBcosAsinB=sin（AB），由 A，B（0，），0AB，B=AB，或 B=（AB），化为 A=2B，或 A=（舍去）A=2B（II）解：cosB=，sinB=cosA=cos2B=2cos2B1=，sinA=cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=+=【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 17（15 分）（2016浙江）设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S2=4，an+1=2Sn+1，nN*（）求通项公式 an；（）求数列|ann2|的前 n 项和【分析】（）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列an是公比 q=3 的等比数列，即可求通项公式 an；（）讨论 n 的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列|ann2|的前 n 项和【解答】解：（）S2=4，an+1=2Sn+1，nN*a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得 a1=1，a2=3，当 n2 时，an+1=2Sn+1，an=2Sn1+1，两式相减得 an+1an=2（SnSn1）=2an，即 an+1=3an，当 n=1 时，a1=1，a2=3，满足 an+1=3an，=3，则数列an是公比 q=3 的等比数列，则通项公式 an=3n1（）ann2=3n1n2，设 bn=|ann2|=|3n1n2|，则 b1=|3012|=2，b2=|322|=1，当 n3 时，3n1n20，则 bn=|ann2|=3n1n2，此时数列|ann2|的前 n 项和 Tn=3+=，则 Tn=【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列an是等比数列是解决本题的关键求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和 18（15 分）（2016浙江）如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3（）求证：BF平面 ACFD；（）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 【分析】（）根据三棱台的定义，可知分别延长 AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为 K，并且可以由平面BCFE平面 ABC 及ACB=90可以得出 AC平面 BCK，进而得出 BFAC而根据条件可以判断出点 E，F 分别为边 BK，CK 的中点，从而得出BCK 为等边三角形，进而得出 BFCK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF平面 ACFD；（）由 BF平面 ACFD 便可得出BDF 为直线 BD 和平面 ACFD 所成的角，根据条件可以求出 BF=，DF=，从而在 RtBDF 中可以求出 BD 的值，从而得出 cosBDF 的值，即得出直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值【解答】解：（）证明：延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图所示：平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC；AC平面 BCK，BF平面 BCK；BFAC；又 EFBC，BE=EF=FC=1，BC=2；BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点；BFCK，且 ACCK=C；BF平面 ACFD；（）BF平面 ACFD；BDF 是直线 BD 和平面 ACFD 所成的角；F 为 CK 中点，且 DFAC；DF 为ACK 的中位线，且 AC=3；又；在 RtBFD 中，cos；即直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值为 【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义 19（15 分）（2016浙江）如图，设抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1，（）求 p 的值；（）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围 【分析】（）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得 p 值；（）设出直线 AF 的方程，与抛物线联立，求出 B 的坐标，求出直线 AB，FN 的斜率，从而求出直线 BN 的方程，根据 A、M、N 三点共线，可求出 M 的横坐标的表达式，从而求出 m 的取值范围【解答】解：（）由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于 A 到直线 x=1 的距离，由抛物线定义得，即 p=2；（）由（）得，抛物线方程为 y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t0，t1，AF 不垂直 y 轴，设直线 AF：x=sy+1（s0），联立，得 y24sy4=0 y1y2=4，B（），又直线 AB 的斜率为，故直线 FN 的斜率为，从而得 FN：，直线 BN：y=，则 N（），设 M（m，0），由 A、M、N 三点共线，得，于是 m=，得 m0 或 m2 经检验，m0 或 m2 满足题意 点 M 的横坐标的取值范围为（，0）（2，+）【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题 20（15 分）（2016浙江）设函数 f（x）=x3+，x0，1，证明：（）f（x）1x+x2（）f（x）【分析】（）根据题意，1x+x2x3=，利用放缩法得，即可证明结论成立；（）利用 0 x1 时 x3x，证明 f（x），再利用配方法证明 f（x），结合函数的最小值得出 f（x），即证结论成立【解答】解：（）证明：因为 f（x）=x3+，x0，1，且 1x+x2x3=，所以，所以 1x+x2x3，即 f（x）1x+x2；（）证明：因为 0 x1，所以 x3x，所以 f（x）=x3+x+=x+=+；由（）得，f（x）1x+x2=+，且 f（）=+=，所以 f（x）；综上，f（x）【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目