2014年海南省高考数学试题及答案（理科）.pdf

20142014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科理科（新课标卷二）（新课标卷二）第卷 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M=0,1,2，N=，则=()2|320 x xx MNA.1 B.2 C.0，1 D.1，2 2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk，则（）1z2z12zi1 2z z A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 3.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则a b=()106A.1 B.2 C.3 D.5 4.钝角三角形 ABC 的面积是，AB=1，BC=，则 AC=()122A.5 B.5C.2 D.1 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.B.C.D.172759102713 7.执行右图程序框图，如果输入的 x,t 均为 2，则输出的 S=（）A.4 B.5 C.6 D.7 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，则a=A.0 B.1 C.2 D.3 9.设 x,y 满足约束条件，则的最大值为7031 0350 xyxyxy2zxy（）A.10 B.8 C.3 D.2 10.设 F 为抛物线 C:的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原23yx点，则OAB 的面积为（）A.B.C.D.3 349 38633294 11.直三棱柱 ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.1102530102212.设函数.若存在的极值点满足，则 m 的取值范围是 3sinxf xm f x0 x22200 xf xm（）A.B.C.D.,66,44,22,14,第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生必须做答.第 22题第 24 题为选考题，考生根据要求做答.本试题由 http:/ 整理 二.填空题 13.的展开式中，的系数为 15，则a=_.(用数字填写答案)10 xa7x 14.函数的最大值为_.sin22sincosf xxx 15.已 知 偶 函 数在单 调 递 减，.若，则的 取 值 范 围 是 f x0,20f10f xx_.16.设点 M（,1），若在圆 O:上存在点 N，使得 zxxkOMN=45，则的取值范围是0 x221xy0 x_.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知数列满足=1，.na1a131nnaa（）证明是等比数列，并求的通项公式；12na na（）证明：.1231112naaa+18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD=，求三棱锥 E-ACD 的体积.3 19.（本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （）求 y 关于 t 的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，121niiiniittyybtt aybt 20.（本小题满分 12 分）设,分别是椭圆 C:的左,右焦点，M 是 C 上一点且与x轴垂直，直线1F2F222210yxabab2MF与 C 的另一个交点为 N.1MF（）若直线 MN 的斜率为，求 C 的离心率；34（）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且，求a,b.15MNFN 21.（本小题满分 12 分）已知函数=zxxk f x2xxeex（）讨论的单调性；f x（）设，当时，,求的最大值；24g xfxbf x0 x 0g x b（）已知，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）1.414221.4143 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，有途高考网同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分 10）选修 41：几何证明选讲 如图，P 是O外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O相交于点B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O于点 E.证明：（）BE=EC；（）AD DE=2 2PB 23.（本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为，2cos.zxxk 0,2（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线垂直，根据（）中你得到的参数方:32l yx程，确定 D 的坐标.24.（本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲 设函数=f x1(0)xxa aa（）证明：2；f x（）若，求的取值范围.35fa 20142014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案理科数学试题参考答案 一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题（13）（14）1 （15）（-1,3）（16）-1，1 12 三、解答题 （17）解：（1）由得 131mmaa1113().22mmaa又，所以，是首项为，公比为 3 的等比数列。113a2212ma 32=，因此的通项公式为=12ma 32mnama312m（2）由（1）知=1ma231m因为当 n1 时，所以，31m12 3,m111312 3mm于是，=11211111133mmaaa 313(1)232m所以，1211132maaa（18）解：（1）连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点 又 E 为的 PD 的中点，所以 EO PB EO平面 AEC,PB平面 AEC，所以 PB 平面 AEC（2）因为 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB,AD,AP 两两垂直 如图，以 A 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则AB AP Axyz,则 D(0,0),则 E(0,),=(0,)33212AE 3212设设 B(m,0,0)(mB(m,0,0)(m0)0)，则，则 C C（m,m,，0）3设 n(x,y,z)为平面 ACE 的法向量，则 即 1100nACnAE 0102323mxyyz可取=（,-1,）1n3m3又=（1,0,0）为平面 DAE 的法向量，1n由题设=，即 12cos(,)n n12=，解得 m=2334m1232因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 E-ACD 的高为，三棱锥 E-ACD 的体积为 12V=13123321238 19 解：（1）由所得数据计算得=（1+2+3+4+5+6+7）=4，t17=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3 y17=9+4+1+0+1+4+9=28 7211()itt 7111()()ittyy=(-3)（-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+0 0.1+1 0.5+2 0.9+3 1.6=14，b=0.5 71117211()()()iittyytt1428a=-b=4.3-0.5 4=2.3 yt 所求回归方程为=0.5t+2.3 y()由（）知，b=0.50,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元.将 2015 年的年份代号 t=9 代入（1）中的回归方程，得 y=0.59+2.3=6.8 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元 （20）解：（）根据 c=以及题设知 M（c，），2=3ac a2 b2b2ab2将=-代入 2=3ac，解得=，=-2（舍去）b2a2c2b2ca12ca故 C 的离心率为 12（）由题意，原点 O 的的中点，My 轴，所以直线 M与 y 轴的交点 D 是线段 M的中F1F2F2F1F1点，故=4，即 b2a b2=4a由=得=|MN|5|F1N|DF1|F1N|设 N（x，y），由题意可知 y0,g(x)0;（2）当 b2 时，若 x 满足，2 2b-2 即 0 xln(b-1+)时 g(x)0,而 xxee22bbg（0）=0,因此当 0Xln(b-1+)时，g(x)0,ln20.6928 23228 2312当 b=+1 时，ln(b-1+)=ln 3 2422bb2g(ln)=-2+(3+2)ln20 23222in20,有 f（x）=x+1/a+x-ax+1/a-(x-a)=1/a+a2.所以 f（x）2.（）f（x）=3+1/a+3-a.当 a3 时，f（3）=a+1/a，由 f（3）5 得 3a 5+212当 0a3 时，f（3）=6-a+，f（3）5 得a3 1a1+52综上所诉，a 的取值范围为（）1+52，5+212 选择题填空题解析选择题填空题解析 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。要求的。（1）设集合，则 0,1,2M 2=320Nx xxMN(A)1(B)2(C)0,1(D)1,2解析：，2=32012Nx xxxxMN 1,2答案：D（2）设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 1z2z12iz 1 2z z(A)5(B)5(C)4i(D)4i 解析：，12iz 22iz 221 2(2i)(2i)i25z z 答案：A（3）设向量，满足，则 ab10ab6ab=a b(A)1(B)2(C)3(D)5 解析：，10ab6ab2()10ab2()6ab由得：1=a b答案：A（4）钝角三角形的面积是，则 ABC121AB 2BC AC(A)5(B)5(C)2(D)1 解析：，即：，1|sin2ABCSABBCB1112 sin22B 2sin2B 即或又 45B 135222|2|cosACABBCABBCB或 5，又为钝角三角形，即：2|1ACABC2|5AC5AC 答案：B（5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(A)0.8(B)0.75(C)0.6(D)0.45 解析：此题为条件概率，所以 0.60.80.75P 答案：A（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底 面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(A)1727(B)59(C)1027(D)13解析：原来毛坯体积为：，由三视图得，该零件由左侧底面半径为 2cm，高为223654(cm)4cm 的圆柱和右侧底面半径为 3cm，高为 2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：，则切削掉部分的体积为，所以切削掉部222243234(cm)2543420(cm)分的体积与原来毛坯体积的比值为 20105427答案：C（7）执行右面的程序框图，如果输入的，均为 2，xt则输出的 S(A)4(B)5(C)6(D)7解析：输入的，均为 2是，xt121221M，；是，235S 1 12k 222222M，否，输出 257S 2 13k 327S 答案：D（8）设曲线在点处的切线方程 ln(1)yaxx(0,0)为，则 2yxa(A)0(B)1(C)2(D)3解析：，且在点处的切线的斜率为 2，即 11yax(0,0)01|20 1xya3a 答案：D（9）设，满足约束条件，则的最大值为 xy70310350 xyxyxy 2zxy(A)10(B)8(C)3(D)2解析：作出，满足约束条件表示 xy70310350 xyxyxy 的平面区域如图阴影部分：做出目标函数：0l，当的截距 2yx2yxz2yxz最小时，有最大值。z当经过点时，有最大值。2yxzCz由得：31070 xyxy(5,2)C此时：有最大值 z2 528 答案：B（10）设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐FC23yxF30CABO标原点，则的面积为 OAB(A)3 34(B)9 38(C)6332(D)94解析：，设、，直线的方程为，代入抛物线方程3(,0)4F11(,)A x y22(,)B xyAB33()34yx得：，22190216xx12212xx12916xx 由弦长公式得 221212|(1)()412ABkxxx x 由点到直线的距离公式得：到直线的距离 OAB2233|00|33483()(1)3d 13912284OABS答案：D（11）直三棱柱中，分别是，的中点，111ABCABC90BCAMN11AB11AC ，则与所成角的余弦值为 1BCCACCBMAN(A)110(B)25(C)3010(D)22 解析：如图所示，取的中点，连结、BCPNPAP ，分别是，的中点，MN11AB11AC 四边形为平行四边形，NMBPBMPN 所求角的余弦值等于的余弦值 ANP 不妨令，则 12BCCACC5ANAP ，6NPMB222222|(5)(6)(5)30cos2|10256ANNPAPANPANNP答案：C 结束输出S，1M 3S 开始输入，xt1k ktMMxkSMS1kk是否xO310 xy 70 xy350 xy0l1l2l12ABCyACB1A1C1BNMP（12）设函数若存在的极值点满足，则的取值范围()3sinxf xm()f x0 x22200()xf xmm是(A)(,6)(6,)(B)(,4)(4,)(C)(,2)(2,)(D)(,1)(1,)解析：，令得：()3cosxfxmm()3cos0 xfxmm1()2xmkkZ，又，01()2xmkkZ22200()xf xm22221()3sin()22mkkm即：，故：22131()2mk211()02k0k，即：，故：或 22131()2m24m 2m 2m 答案：C 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。题为必考题，每个试题考生都必须做答。第第 22 题第题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。（13）的展开式中，的系数为，则 （用数字填写答案）10()xa7x15a 解析：，即，10110rrrrTC xa107r3r，解之：373741015TC x ax12a 答案：12（14）函数的最大值为 ()sin(2)2sincos()f xxx解析：()sin(2)2sincos()sin()2sincos()f xxxxx sincos()cossin()2sincos()cossin()sincos()sinxxxxxx的最大值为 1()f x答案：1 （15）已 知 偶 函 数在单 调 递 减，若，则的 取 值 范 围()f x0,)(2)0f(1)0f xx是 解析：是偶函数，()f x(1)0(1)0(2)f xfxf又在单调递减，解之：()f x0,)12x13x 答案：(1,3)（16）设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围0(,1)M xO221xyN45OMN0 x是 解析：由图可知点所在直线与圆相切，M1y O又，由正弦定理得：1ON sinsinONOMOMNONM，即：1sin22OMONM2sinOMONM又，即，解之：0ONM 2OM 2012x 011x 答案：1,1 xyMON