2014年浙江高考数学(理科)试卷(含答案).doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学（理科）
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位，,则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )
A. 90 B. 129
C. 132 D. 138
4. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A. 向右平移 个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
5.在的展开式中,记项的系数，则= （ ）
A. 45 B. 60 C. 120 D. 210
6. 已知函数 ，且（ ）
A. B. C. D.
7. 在同一直角坐标系中，函数， 的图像可能是（ ）
8. 记，，设为平面向量，则（ ）
A．
B.
C.
D.
9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.
（a）放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.
则 ( )
A. B.
C. D.
10. 设函数，，，，
，记， 则 ( )
A. B. C. D.

二. 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11. 若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.
12. 随机变量的取值为0,1,2，若，，则=________.
13.当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.
14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.
15.设函数若，则实数的取值范围是______
16.设直线() 与双曲线（）两条渐近线分别交于点A，B.若点满足,则该双曲线的离心率是__________
17、如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小.若 ，，,则的最大值是 (仰角 为直线AP与平面ABC所成角)

三. 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知

（Ⅰ）求角C的大小； 
（Ⅱ）若 ，求△ABC的面积． 

19.（本题满分14分）
已知数列和满足.若为等比数列，且
(Ⅰ) 求与 ；
(Ⅱ) 设.记数列的前项和为,
（i）求；
（ii）求正整数，使得对任意均有.

20.（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面^平面 ,，,,.
(Ⅰ) 证明：^平面;
(Ⅱ) 求二面角的大小.

21(本题满分15分)
如图，设椭圆C:动直线与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.
(Ⅰ) 已知直线的斜率为，用表示点P的坐标；
(Ⅱ) 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.

22. （本题满分14分）
已知函数
(Ⅰ) 若在上的最大值和最小值分别记为，求；
(Ⅱ) 设若对恒成立，求的取值范围.

2014年高考浙江理科数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【解析】=，
【答案】B
2.【解析】当时，，反之，
即 ，则 解得 或
【答案】A
3.【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为： .
【答案】D
4.【解析】=
而=
由 ，即
故只需将的图象向右平移 个单位. 故选C
【答案】C
5.【解析】令 ，由题意知即为 展开式中 的系数，故=，故选C
【答案】C
6.【解析】由得 解得 ，所以 ,由 得 ，即，故选C
【答案】C
7.【解析】函数，分别的幂函数与对数函数
答案A中没有幂函数的图像, 不符合；答案B中，中 ，中 ，不符合；答案C中，中，中，不符合；答案D中，中，中，符合. 故选D
【答案】D
8.【解析】由向量运算的平行四边形法可知与的大小不确定，平行四边形法可知所对的角大于或等于 ，由余弦定理知，
（或）.
【答案】D
9.【解析1】 ，
=
∴－= ，
故
又∵ ，
∴
又

∴
=
=－=
所以 ，故选A
【答案】A
【解析2】：在解法1中取 ，计算后再比较。
10.【解析】由 ，
故
由
故

=
故 ，故选B
【答案】B
【解析2】估算法： 的几何意义为将区间 等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和.如图为将函数 的区间 等分为4个小区间的情形，因 在上递增，此时
=，同理对题中给出的 同样有 ；
而略小于 ，略小于 ，所以估算得

【答案】B

三. 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.【解析】第一次运行结果
第二次运行结果
第三次运行结果
第四次运行结果
第五次运行结果
x
0
1
2
P

此时 ，∴输出 ，【答案】6
12.【解析】设 时的概率为，的分布列为

由 ，解得
x
0
1
2
P

的分布列为即为

故 . 【答案】
13.【解析】作出不等式组所表示的区域如图，由恒成立，故 三点坐标代入，均成立得 解得 ，∴实数的取值范围是 ， 【答案】
【解析2】作出不等式组所表示的区域如图，由得，由图分析可知， 且在 点取得最小值，在 取得最大值，故 得，故实数的取值范围是 ， 【答案】
14.【解析1】不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券，共有
二是有三人各获得一张奖券，共有 ，因此不同的获奖情况共有 种
【解析2】将一、二、三等奖各1张分给4个人有 种分法，其中三张奖券都分给一个人的有4种分法，因此不同的获奖情况共有64－4=60种.
【答案】60
15.【解析】由题意 或 ，解得
∴当 或 解得
【答案】
16.【解析1】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为 和 ，分别与直线： 联立方程组，解得，,，设AB中点为，由 得，则

即 ，PQ与已知直线垂直，
∴ ，即 即得 ，即，即 ，所以
【解析2】不妨设 ，渐近线方程为即
由 消去 得
设AB中点为，由韦达定理得：……① ，
又 ，由得 即得得 代入①得
得 ，所以 ，所以 ，得
【答案】
17.【解析1】：∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，∴BC=20cm，
过P作PP′⊥BC，交BC于P′，
1°当P在线段BC上时，连接AP′，则
设BP′=x，则CP′=20-x，（ ）
由∠BCM=30°，得
在直角△ABP′中，
∴
令，则函数在x∈[0，20]单调递减，
∴x=0时， 取得最大值为
2°当P在线段CB的延长线上时，连接AP′，则
设BP′=x，则CP′=20+x，（ ）
由∠BCM=30°，得
在直角△ABP′中，
∴，
令，则，
所以，当 时 ；当 时
所以当 时
此时时， 取得最大值为
综合1°，2°可知 取得最大值为
【解析2】：如图以B为原点，BA、BC所在的直线分别为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，∴BC=20cm，由∠BCM=30°，可设 （其中 ）， ，，所以

设()，
所以，当 时 ；当 时
所以当 时
所以 取得最大值为
【解析3】:分析知，当 取得最大时，即最大，最大值即为平面ACM与地面ABC所成的锐二面角的度量值，
如图，过B在面BCM内作BD^BC交CM于D，过B作BH^AC于H，连DH，则ÐBHD即为平面ACM与地面ABC所成的二面角的平面角， 的最大值即为 ，在 中，
由等面积法可得=12，

所以 =

三. 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.【解析】：（Ⅰ）由题得 ，
即

由 得 ，又 ，得
即 ，所以
（Ⅱ），， ，得
由 得 ，从而 故 =
所以，△ABC的面积为
19.【解析】：（Ⅰ）∵ ①，
当n≥2，n∈N*时，②，
由①¸②知：当 时， ，令n=3，则有
∵b3=6+b2， ∴a3=8．
∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则
由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2．
∴an＝2n（n∈N*）．
又由，得：
即
∴bn=n（n+1）（n∈N*）．
（Ⅱ）（i）∵
∴ =
= =
=
（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；
当n≥5时，
而 ，得
所以，当n≥5时，cn＜0，
综上，对任意n∈N*恒有 ，故k=4．
20.证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC= ，
由 ，AB=2得 ，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，
从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而
DE⊥平面ACD；
(Ⅱ)【方法1】
作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AB交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而
BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得
AC⊥CD．
在Rt△ACD中，由DC=2, ，得 ；
在Rt△AED中，由ED=1，得 ；
在Rt△ABD中，由 ，AB=2，
得 ， ，从而 ，
在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得 ， ．
在△BFG中, ，
所以，∠BFG= ，即二面角B-AD-E的大小为 .
【方法2】以D的原点，分别以射线DE，DC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示.
由题意知各点坐标如下： ， ， ， ， .
设平面ADE的法向量为
平面ABD的法向量为，可算得：
， ，
由 即 ，可取

由即可取
于是
由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B-AD-E的大小为
21.【解析】：（Ⅰ）【方法1】设直线l的方程为 ，由 ，消去y得

由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即，解得点P的坐标为

又点P在第一象限，故点P的坐标为
【方法2】作变换 ，则椭圆C：变为圆 ：
切点 变为点 ，切线（ 变为 .
在圆 中设直线 的方程为（ ） ，
由 解得
即 ，由于 ，
所以 ，得 ，
即 代入得 即，
利用逆变换代入即得：

（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离
整理得:
因为，所以
当且仅当 时等号成立．
所以，点P到直线 的距离的最大值为 ．
23.【解析】：（Ⅰ）∵ ,
∴，由于
（ⅰ）当 时，有 ，故

此时，f（x）在上是增函数，因此 ， ，
故
（ⅱ）当时，若x∈（a，1），，在（a，1）上是增函数；若x∈（-1，a），，在（-1，a）上是减函数，
∴ ，
由于 ，因此
当 时， ；
当 时，；
（ⅲ）当时，有，故，
此时 在上是减函数，
因此，，
故；
综上，

（Ⅱ）令，则
，
因为[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，
即对x∈[-1，1]恒成立，
所以由（Ⅰ）知，
（ⅰ）当时，在上是增函数， 在上的最大值是，最小值，则且矛盾；
（ⅱ）当 时，在上的最小值是，最大值是，所以且，从而
且
令，则，∴ 在 上是增函数，
故，
因此
（ⅲ）当 时，在上的最小值是，最大值是，所以由且，解得
(ⅳ)当时，在上的最大值是，最小值是，
所以由且，解得3a+b=0．
综上， 的取值范围是.

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