2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 12 页）2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）复数 z=1+i，为 z 的共轭复数，则 z z1=（）A2i Bi Ci D2i 2（5 分）函数 y=（x0）的反函数为（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）3（5 分）下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1 Bab1 Ca2b2 Da3b3 4（5 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，Sk+2Sk=24，则 k=（）A8 B7 C6 D5 5（5 分）设函数 f（x）=cosx（0），将 y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于（）A B3 C6 D9 6（5 分）已知直二面角 l，点 A，ACl，C 为垂足，B，BDl，D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于（）A B C D1 7（5 分）某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有（）A4 种 B10 种 C18 种 D20 种 8（5 分）曲线 y=e2x+1 在点（0，2）处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为（）A B C D1 9（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），则=（）A B C D 10（5 分）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 y=2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 cosAFB=（）A B C D 11（5 分）已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 60二面角的平面 截该球面得圆N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为（）A7 B9 C11 D13 12（5 分）设向量，满足|=|=1，=，=60，则|的最大值等于（）A2 B C D1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷（注意：在试题卷上作答无效）上作答无效）13（5 分）的二项展开式中，x 的系数与 x9的系数之差为 14（5 分）已知（，），sin=，则 tan2=15（5 分）已知 F1、F2分别为双曲线 C：的左、右焦点，点 AC，点 M 的坐标为（2，0），AM 为F1AF2的平分线，则|AF2|=16（5 分）已知 E、F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1、CC1上，且 B1E=2EB，CF=2FC1，则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）17（10 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 AC=，a+c=b，求 C 第 2 页（共 12 页）18（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3设各车主购买保险相互独立（）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；（）X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求 X 的期望 19（12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面 SAB；（）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 20（12 分）设数列an满足 a1=0 且（）求an的通项公式；（）设，记，证明：Sn1 21（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C：在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足（）证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上 22（12 分）（）设函数，证明：当 x0 时，f（x）0（）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p，证明：第 3 页（共 12 页）2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）复数 z=1+i，为 z 的共轭复数，则 z z1=（）A2i Bi Ci D2i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】求出复数 z 的共轭复数，代入表达式，求解即可【解答】解：=1i，所以=（1+i）（1i）1i1=i 故选：B【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型 2（5 分）函数 y=（x0）的反函数为（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由原函数的解析式解出自变量 x 的解析式，再把 x 和 y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）【解答】解：y=（x0），x=，y0，故反函数为 y=（x0）故选：B【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域 3（5 分）下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1 Bab1 Ca2b2 Da3b3 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】利用不等式的性质得到 ab+1ab；反之，通过举反例判断出 ab 推不出 ab+1；利用条件的定义判断出选项【解答】解：ab+1ab；反之，例如 a=2，b=1 满足 ab，但 a=b+1 即 ab 推不出 ab+1，故 ab+1 是 ab 成立的充分而不必要的条件 故选：A【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法 4（5 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，Sk+2Sk=24，则 k=（）A8 B7 C6 D5 【考点】85：等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先由等差数列前 n 项和公式求得 Sk+2，Sk，将 Sk+2Sk=24 转化为关于 k 的方程求解【解答】解：根据题意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2 Sk+2Sk=24 转化为：（k+2）2k2=24 k=5 故选：D 第 4 页（共 12 页）【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题 5（5 分）设函数 f（x）=cosx（0），将 y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于（）A B3 C6 D9 【考点】HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果【解答】解：f（x）的周期 T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，kZ令 k=1，可得=6 故选：C【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型 6（5 分）已知直二面角 l，点 A，ACl，C 为垂足，B，BDl，D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于（）A B C D1 【考点】MK：点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出 D 到平面 ABC 的距离【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角 l，点 A，ACl，C 为垂足，B，BDl，D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离转化为三棱锥 DABC 的高为 h，所以 AD=，CD=，BC=由 VBACD=VDABC可知 所以，h=故选 C【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力 7（5 分）某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有（）A4 种 B10 种 C18 种 D20 种 【考点】D3：计数原理的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题是一个分类计数问题，一是 3 本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有 4 种，另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册，只要选两个人拿画册 C42种，根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是 3 本集邮册一本画册，从 4 位朋友选一个有 4 种，另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册，只要选两个人拿画册 C42=6 种，根据分类计数原理知共 10 种，故选：B【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中 第 5 页（共 12 页）8（5 分）曲线 y=e2x+1 在点（0，2）处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为（）A B C D1 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据导数的几何意义求出函数 f（x）在 x=0 处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与 y 轴和直线 y=x 的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可【解答】解：y=e2x+1y=（2）e2x y|x=0=（2）e2x|x=0=2 曲线 y=e2x+1 在点（0，2）处的切线方程为 y2=2（x0）即 2x+y2=0 令 y=0 解得 x=1，令 y=x 解得 x=y=切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为1=故选：A【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题 9（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），则=（）A B C D 【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由题意得 =f（）=f（），代入已知条件进行运算【解答】解：f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），=f（）=f（）=2（1）=，故选：A【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值 10（5 分）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 y=2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 cosAFB=（）A B C D 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据已知中抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 y=2x4 与 C 交于 A，B 两点，我们可求出点 A，B，F 的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，F 点的坐标为（1，0）又直线 y=2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 A，B 两点坐标分别为（1，2）（4，4），则=（0，2），=（3，4），则 cosAFB=，故选：D【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧 11（5 分）已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 60二面角的平面 截该球面得圆N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为（）A7 B9 C11 D13 第 6 页（共 12 页）【考点】MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先求出圆 M 的半径，然后根据勾股定理求出求出 OM 的长，找出二面角的平面角，从而求出 ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆 N 的半径，从而求出面积【解答】解：圆 M 的面积为 4 圆 M 的半径为 2 根据勾股定理可知 OM=过圆心 M 且与 成 60二面角的平面 截该球面得圆 N OMN=30，在直角三角形 OMN 中，ON=圆 N 的半径为 则圆的面积为 13 故选：D 【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题 12（5 分）设向量，满足|=|=1，=，=60，则|的最大值等于（）A2 B C D1 【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值【解答】解：，的夹角为 120，设，则；=如图所示 则AOB=120；ACB=60 AOB+ACB=180 A，O，B，C 四点共圆 由三角形的正弦定理得外接圆的直径 2R=当 OC 为直径时，模最大，最大为 2 故选：A 【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷（注意：在试题卷上作答无效）上作答无效）13（5 分）的二项展开式中，x 的系数与 x9的系数之差为0 【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有 第 7 页（共 12 页）【专题】11：计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数分别取 1，9 求出 x 的系数与 x9的系数；求出值【解答】解：展开式的通项为 令得 r=2；令得 r=18 x 的系数与 x9的系数 C202，C2018 x 的系数与 x9的系数之差为 C202C2018=0 故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题 14（5 分）已知（，），sin=，则 tan2=【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用题目提供的 的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得 tan2【解答】解：由（，），sin=，得 cos=，tan=tan2=故答案为：【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题 15（5 分）已知 F1、F2分别为双曲线 C：的左、右焦点，点 AC，点 M 的坐标为（2，0），AM 为F1AF2的平分线，则|AF2|=6 【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径【解答】解：不妨设 A 在双曲线的右支上 AM 为F1AF2的平分线=又|AF1|AF2|=2a=6 解得|AF2|=6 故答案为 6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义 16（5 分）已知 E、F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1、CC1上，且 B1E=2EB，CF=2FC1，则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 【考点】MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合【分析】由题意画出正方体的图形，延长 CB、FE 交点为 S 连接 AS，过 B 作 BPAS 连接 PE，所以面 AEF 与面 ABC 所成的二面角就是：BPE，求出 BP 与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值【解答】解：由题意画出图形如图：因为 E、F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1、CC1上，且 B1E=2EB，CF=2FC1，延长 CB、FE 交点为 S 连接 AS，过 B 作 BPAS 连接 PE，所以面 AEF 与面 ABC 所成的二面角就是BPE，因为 B1E=2EB，CF=2FC1，所以 BE：CF=1：2 所以 SB：SC=1：2，第 8 页（共 12 页）设正方体的棱长为：a，所以 AS=a，BP=，BE=，在 RTPBE 中，tanEPB=，故答案为：【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）17（10 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 AC=，a+c=b，求 C 【考点】HU：解三角形菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由 AC 等于得到 A 为钝角，根据诱导公式可知 sinA 与 cosC 相等，然后利用正弦定理把 a+c=b 化简后，把 sinA 换为 cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据 C 和 B 的范围，得到 C+=B或 C+B=，根据 A 为钝角，所以 C+B=不成立舍去，然后根据三角形的内角和为，列出关于 C 的方程，求出方程的解即可得到 C 的度数【解答】解：由 AC=，得到 A 为钝角且 sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b 可变为：sinA+sinC=sinB，即有 sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又 A，B，C 是ABC 的内角，故 C+=B 或 C+B=（舍去），所以 A+B+C=（C+）+（C+）+C=，解得 C=【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用 18（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3设各车主购买保险相互独立（）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；（）X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求 X 的期望 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率即可（）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X 服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可【解答】解：（）设该车主购买乙种保险的概率为 P，则 P（10.5）=0.3，故 P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（10.5）（10.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率 10.2=0.8（）甲、乙两种保险都不购买的概率为 0.2，XB（100，0.2）所以 EX=1000.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力 第 9 页（共 12 页）19（12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面 SAB；（）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明 SD 垂直于面 SAB 中两条相交的直线 SA，SB；在证明 SD 与 SA，SB 的过程中运用勾股定理即可（）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小即利用平面 SBC 的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（）证明：在直角梯形 ABCD 中，ABCD，BCCD，AB=BC=2，CD=1 AD=侧面 SAB 为等边三角形，AB=2 SA=2 SD=1 AD2=SA2+SD2 SDSA 同理：SDSB SASB=S，SA，SB面 SAB SD平面 SAB（）建立如图所示的空间坐标系 则 A（2，1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出 S 在底面上的投影 M，则由四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SAB 为等边三角形知，M 点一定在 x 轴上，又 AB=BC=2，CD=SD=1可解得 MD=，从而解得 SM=，故可得 S（，0，）则 设平面 SBC 的一个法向量为 则，即 取 x=0，y=，z=1 即平面 SBC 的一个法向量为=（0，1）又=（0，2，0）cos，=，=arccos 即 AB 与平面 SBC 所成的角的大小为 arcsin 第 10 页（共 12 页）【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题 20（12 分）设数列an满足 a1=0 且（）求an的通项公式；（）设，记，证明：Sn1 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（）由是公差为 1 的等差数列，知，由此能求出an的通项公式（）由=，能够证明 Sn1【解答】解：（）是公差为 1 的等差数列，（nN*）（）=，=11【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用 21（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C：在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足（）证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）要证明点 P 在 C 上，即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程，根据已知中过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足，我们求出点 P 的坐标，代入验证即可（2）若 A、P、B、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可【解答】证明：（）设 A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆 C：，则直线 AB 的方程为：y=x+1 联立方程可得 4x22x1=0，则 x1+x2=，x1x2=则 y1+y2=（x1+x2）+2=1 设 P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=（+）=（，1）p 的坐标为（，1）代入方程成立，所以点 P 在 C 上 （）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上 第 11 页（共 12 页）设线段 AB 的中点坐标为（，），即（，），则过线段 AB 的中点且垂直于 AB 的直线方程为：y=（x），即 y=x+；P 关于点 O 的对称点为 Q，故 0（0.0）为线段 PQ 的中点，则过线段 PQ 的中点且垂直于 PQ 的直线方程为：y=x；联立方程组，解之得：x=，y=的交点就是圆心 O1（，），r2=|O1P|2=（）2+（1）2=故过 P Q 两点圆的方程为：（x+）2+（y）2=，把 y=x+1 代入，有 x1+x2=，y1+y2=1 A，B 也是在圆上的 A、P、B、Q 四点在同一圆上【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键 22（12 分）（）设函数，证明：当 x0 时，f（x）0（）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p，证明：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】14：证明题；16：压轴题【分析】（）欲证明当 x0 时，f（x）0，由于 f（0）=0 利用函数的单调性，只须证明 f（x）在0，+）上是单调增函数即可先对函数进行求导，根据导函数大于 0 时原函数单调递减即可得到答案（）先计算概率 P=，再证明，即证明 999881（90）19，最后证明e2，即证e2，即证 19ln2，即证 ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（）证明：f（x）=，当 x1，时 f（x）0，f（x）在（1，+）上是单调增函数，当 x0 时，f（x）f（0）=0 即当 x0 时，f（x）0（）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取 20 次，则抽得的20 个号码互不相同的概率为 P=，要证 P 先证：P=，即证 即证 999881（90）19 而 9981=（90+9）（909）=90292902 9882=（90+8）（908）=90282902 9189=（90+1）（901）=90212902 999881（90）19 即 P 再证：e2，即证e2，即证 19ln2，即证 ln 由（）f（x）=ln（1+x），当 x0 时，f（x）0 令 x=，则 ln（1+）=ln（1+）0，即 ln 第 12 页（共 12 页）综上有：P【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力