2019年广东高考（文科）数学试题及答案.pdf

-1-绝密启用前绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设，则=3i12izzA2 B C D1 322已知集合，则 1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB，UBA A B C D 1,61,76,71,6,73已知，则 0.20.32log 0.2,2,0.2abcAabc Bacb Ccab Dbca 4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称512512为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为51226cm，则其身高可能是 A165 cm B175 cm C185 cm D190cm 5函数 f(x)=在，的图像大致为 2sincosxxxxA B C D 6某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 A8 号学生 B200 号学生 C616 号学生 D815 号学生 7tan255=A2 B2+C2 D2+33338已知非零向量 a，b 满足=2，且（ab）b，则 a 与 b 的夹角为 abA B C D 6323569如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 112122-2-AA=BA=CA=DA=12A12A112A112A10双曲线 C：的一条渐近线的倾斜角为 130，则 C 的离心率为 22221(0,0)xyababA2sin40 B2cos40 C D 1sin501cos5011ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=14bcA6 B5 C4 D3 12 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为，过 F2的 直 线 与 C 交 于 A，B 两 点.若，12(1,0),(1,0)FF22|2|AFF B，则 C 的方程为 1|ABBFA B C D 2212xy22132xy22143xy22154xy二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线在点处的切线方程为_ 2)3(exyxx(0,0)14记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若，则 S4=_ 13314aS，15函数的最小值为_ 3()sin(2)3cos2f xxx16已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为，那么 P 到3平面 ABC 的距离为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n adbcKab cd ac bdP（K2k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18（12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S9=a5（1）若 a3=4，求an的通项公式；（2）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围 19（12 分）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.-3-（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离 20（12 分）已知函数 f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为 f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若 x0，时，f（x）ax，求 a 的取值范围 21.（12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB=4，M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切（1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MAMP为定值？并说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半2221141txttyt，轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2cos3 sin110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）；222111abcabc（2）333()()()24abbcca 2019年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案文科数学参考答案 一、选择题 1C 2C 3B 4B 5D 6C 7D 8B 9A 10D 11A 12B 二、填空题 13y=3x 14 154 16 582三、解答题-4-17解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的400.850估计值为0.8 女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6 300.650（2）22100(40 2030 10)4.76250 50 70 30K由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.4.7623.84118解：（1）设的公差为d na由得 95Sa 140ad由a3=4得 124ad于是 18,2ad 因此的通项公式为 na102nan（2）由（1）得，故.14ad(9)(5),2nnn ndand S由知，故等价于，解得1n10 10a 0d nnSa21110 0nn所以n的取值范围是|110,nnnN19解：（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为1,BC ME1,BB BC1MEBC112MEBC的中点，所以.1AD112NDAD由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.11=ABDC11=BCAD=MENDMNED又平面，所以MN平面.MN 1C DE1C DE（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，所以DE平面，故DECH.DEBC1DEC C1C CE从而CH平面，故CH的长即为C到平面的距离，1C DE1C DE由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.117C E 4 1717CH 从而点C到平面的距离为.1C DE4 1717 20解：（1）设，则.()()g xfx()cossin1,()cosg xxxxg xxx当时，；当时，所以在单调递增，在单调(0,)2x()0g x,2x()0g x()g x(0,)2,2递减.又，故在存在唯一零点.(0)0,0,()22ggg()g x(0,)所以在存在唯一零点.()fx(0,)（2）由题设知，可得a0.(),()0faf由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，()fx(0,)0 x00,xx()0fx0,xx，所以在单调递增，在单调递减.()0fx()f x00,x0,x-5-又，所以，当时，.(0)0,()0ff0,x()0f x 又当时，ax0，故.0,0,ax()f xax因此，a的取值范围是.(,021解：（1）因为过点，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线上，且关M,A B+=0 x y,A B于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线上，故可设.yx(,)M a a因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.MM|2|ra由已知得，又，故可得，解得或.|=2AOMOAO 2224(2)aa=0a=4a故的半径或.M=2r=6r（2）存在定点，使得为定值.(1,0)P|MAMP理由如下：设，由已知得的半径为.(,)M x yM=|+2|,|=2rxAO由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.MOAO 2224(2)xyx24yx因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.2:4C yx(1,0)P1x|=+1MP x因为，所以存在满足条件的定点P.|=|=+2(+1)=1MAMP rMP xx22 解：（1）因 为，且，所 以 C的 直 角 坐 标 方 程 为221111tt 22222222141211yttxtt.221(1)4yxx 的直角坐标方程为.l23110 xy（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.cos,2sinxy C上的点到 的距离为.l4cos11|2cos2 3sin11|377当时，取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为.23 4cos113l723解：（1）因为，又，故有 2222222,2,2abab bcbc caac1abc.222111abbccaabcabbccaabcabc所以.222111abcabc（2）因为为正数且，故有,a b c1abc 3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)a b b c a c 3(2)(2)(2)abbcac=24.所以.333()()()24abbcca -6-选择填空解析 1.设，则（）312iziz A.2B.3C.2D.1答案：C 解析：因为 3(3)(1 2)1 712(12)(1 2)5iiiiziii所以 z 2217()()55 22.已知集合，则（）7,6,5,4,3,2,1U5432，A7632，BACBUA.6,1B.7,1C.7,6D.7,6,1答案：C 解析：，则，又，则，故选 C.7,6,5,4,3,2,1U5432，A761，ACU7632，B76，ACBU3.已知，则（）2log 0.2a 0.22b 0.30.2c A.abcB.acbC.cabD.bca答案：B 解答：由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，于是2log 0.20a 0.221b 0.300.21c可得到：.acb4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称215 618.0215为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则215 cm105cm26其身高可能是（）A.cm165B.cm175C.cm185D.cm190答案：B 解析：方法一：设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，ABCDEFtBD，215根据题意可知,故；又，故；BDABtABtBDABAD)1(DFADtDF1所以身高，将代入可得.tDFADh2)1(618.0215th24.4-7-根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；cm105cm26ACAB EFDF 即，将代入可得 26t1051t618.02154240 t所以，故选 B.08.1786.169 h方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽cm26喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比215 618.0215例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至cm42肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为cm68215；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近，故选110cm178cm175B.5.函数在的图像大致为（）2sin()cosxxf xxx,A.B.C.D.答案：D 解答：，2sin()cosxxfxxx 2sincosxxxx()f x 为奇函数，排除 A.()f x又，排除 C，22sin4222()02cos22f，排除 B，故选 D.22sin()01cosf6.某学校为了解名新生的身体素质，将这些学生编号为，从这些新生中用系统抽样方法等10001,2,3,1000距抽取名学生进行体质测验，若号学生被抽到，则下面名学生中被抽到的是（）.100464A.号学生 8B.号学生 200C.号学生 616D.号学生 815答案：C 解答：从名 学 生 中 抽 取名，每人 抽 一 个，号 学 生 被 抽 到，则 抽 取 的 号 数 就 为10001001046，可得出号学生被抽到.106(099,)nnnN6167.（）tan255 A.23 B.23 C.23D.23答案：D 解析：因为 tan255tan(18075)tan75 tan45tan30tan(4530)1tan45tan30-8-化简可得 tan25523 8.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）ab|2|babba)(abA.6B.3C.32D.65答案：B 解答：，且，有，设与的 夹 角 为，则 有|2|babba)(0)(bba0|2bbaab，即，0|cos|2bba0|cos|222 bb0)1cos2(|2b0|b21cos，故与的夹角为，选.3ab3B9.右图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）112+12+2 A.12AAB.12AAC.112AA D.112AA答案：A 解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论 选项 A 代入运算可得，满足条件，1=12+12+2A选项 B 代入运算可得,不符合条件，1=2+12+2A选项 C 代入运算可得,不符合条件，12A 选项 D 代入运算可得,不符合条件.11+4A 10.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（）)0,0(12222babyaxC：130CA.40sin2B.40cos2C.50sin1D.50cos1答案：D 解答：根据题意可知，所以，130tanab50cos50sin50tanab离心率.50cos150cos150cos50sin50cos50cos50sin1122222222abe11.的内角的对边分别为，已知，则ABC,A B C,a b csinsin4 sinaAbBcC1cos4A bc（）A.6B.5C.4D.3答案：A 解答：由正弦定理可得到：，即，222sinsin4 sin4aAbBcCabc2224acb-9-又由余弦定理可得到：，于是可得到 2221cos24bcaAbc 6bc12.已知椭圆的焦点坐标为，过的直线与交于，两点，若 C1(1,0)F 2(1,0)F2FCAB，则的方程为（）222AFF B1ABBFCA.2212xyB.22132xyC.22143xyD.22154xy答案：B 解答：由，设，则，根 据 椭 圆 的 定 义222AFF B1ABBF2F Bx22AFx13BFx，所以，因此点即为椭圆的下顶点，因为，21212F BBFAFAFa12AFxA222AFF B1c 所以点坐标为，将坐标代入椭圆方程得，解得 B3(,)2 2b291144a，故答案选 B.223,2ab 13.曲线在点处的切线方程为 .23()xyxx e(0,0)答案：3yx解答：，23(21)3()xxyxexx e 23(31)xxxe结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，(0,0)3k 切线方程为.3yx14.记为等比数列的前项和，若，则 .nS nan11a 334S 4S 答案：58解析：，11a 312334Saaa设等比数列公比为 q 211134aa qa q 12q 所以 4S 5815函数的最小值为_ 3()sin(2)3cos2f xxx答案：4解答：，23()sin(2)3coscos23cos2cos3cos12f xxxxxxx 因为，知当时取最小值，cos 1,1x cos1x()f x则的最小值为 3()sin(2)3cos2f xxx416.已知，为平面外一点，点到两边的距离均为，那么90ACBPABC2PC PACB,AC BC3到平面的距离为 .PABC答案：2解答：如图，过点做平面的垂线段，垂足为，则的长度即为所求，再做，由线面PABCOPO,PECB PFCA-10-的垂直判定及性质定理可得出，在中，由，可得出，,OECB OFCARt PCF2,3PCPF1CF 同 理 在中 可 得 出，结 合，可 得 出，Rt PCE1CE 90ACB,OECB OFCA1OEOF，2OC 222POPCOC