2012年海南省高考数学试题及答案（理科）.pdf

绝密*启用前 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注息事项:1.本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.问答第卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.3.回答第卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。第一卷 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A=1,2,3,4,5，B=(x,y)|x,则 B 中所含元素的个数为 AY-XA,YA,（A）3 （B）6 (C)8 （D）10 (2)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（A）12 种 （B）10 种 (C)9 种 （D）8 种 （3）下面是关于复数的四个命题：i12Z P1:|z|=2,P2:z2=2i,P3:z 的共轭复数为 1+i,p4:z 的虚部为-1，期中的真命题为（A）p2,p3 (B)P1,P2 (C)P2,P4 (D)P3,P4（4）设12FF是椭圆 E：的左、右焦点，P 为)0(1x22babya直线32ax 上一点，21F PF是底角为30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）（A）12 （B）23 （C）34 （D）45（5）已知na为等比数列，568a a ，则110aa 274 aa（A）7 （B）5 （C）-5 （D）-7（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N 和实数12,.,na aa，输出 A,B,则（A）A+B 为12,.,na aa的和（B）2AB为12,.,na aa的算术平均数（C）A 和 B 分别是12,.,na aa中最大的数和最小的数（D）A 和 B 分别是12,.,na aa中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6 （B）9 （C）12（D）18 （8）等轴双曲线 C 的中心在原点，检点在 X 轴上，C 与抛物线的准线交于 A，B 两点，|AB|=4，xy1623则 C 的实轴长为（A）（B）2 （C）4 （D）8 22（9）已知 w0,函数 f(x)=sin(x+)在（，）单调递减。则t 的取值范围是 42(A),(B),(C)(O,(D)(0,2 2145214321(10)已知函数 f(x)=,则 y=f(x)的图像大致为 x-1)ln(x1（11）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）62633222（12）设点 P 在曲线 y=ex 上，点 Q 在曲线 y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为 21（A）1-ln2 （B）(1-ln2)（C）1+ln2 （D）(1+ln2)22 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）已知向量 a,b 夹角为 450，且|a|=1，|2a-b|=,则|b|=10 (14)设 x,y 满足约束条件则 z=x-2y 的取值范围为 0y0 x3yx-1y-x（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N（1000，），且各个元件能否正常相互250独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 （16）数列满足=2n-1，则的前 60 项和为 nannnaa)1(1na三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）已知 a.b.c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边 a 03sincoscbcac(1)求 A(2)若 a=2,ABC 的面积为求 b,c 318.（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n（单位：枝，nN）的函数解析式。（）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，x 表示当天的利润（单位：元），求 x 的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由。（19）（本小题满分 12 分）如图，之三棱柱 ABC-中 AC=BC=，D 是棱的中点，111CBA121AA1AABDDC 1()证明：BCDC 1（）求二面角的大小 11CBDA（20）（本小题满分 12 分）设抛物线C:(P0)的交点为 F，准线为 I，A 为 C 上的一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 IPYX22于 B，D 两点。（I）若，的面积为求 P 的值及圆 F 的方程；090BFDABD24（II）若 A，B,F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点m，n 距离的比值。（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)满足满足 f(x)=2121)0()1(fxxfex（I）求 f(x)的解析式及单调区间；（II）若 f(x)，求（a+1）b的最大值 baxx221请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交于ABC 的外接圆于 F，G 两点，若CF/AB，证明：（I）CD=BC；（II）BCDGBD(23)(本小题满分 10 分)选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是，以坐标原点1C)(3siny2cosx为参数为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是2C，正方形 ABCD 的顶点都在上，且 A、B、C、D 依逆时针22C次序排列，点 A 的极坐标为（2，）3（I）求点 A、B、C、D 的直角坐标；（II）设 P 为上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+1C|PD|2的取值范围。（24）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|.(I)当 a=-3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(II)若 f(x)|x-4|的解集包含1,2，求 a 的取值范围。第一卷 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合；,则中所含元素 1,2,3,4,5A,(,),Bx y xA yA xyAB的个数为（）()A3()B6()C()D【解析】选 D ，共 10 个 5,1,2,3,4xy4,1,2,3xy3,1,2xy2,1xy（2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，242每个小组由 名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（）12 种 种 种 种()A12()B10()C()D【解析】选 A 甲地由 名教师和名学生：种 12122412C C（3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（）21zi 的共轭复数为 的虚部为 1:2pz 22:2pzi3:pz1 i4:pz1 ()A23,pp()B12,p p()C,pp()D,pp【解析】选 C 22(1)11(1)(1)iziiii ，的共轭复数为，的虚部为 1:2pz 22:2pzi3:pz1 i 4:pz1 （4）设12FF是椭圆的左、右焦点，为直线32ax 上一点，2222:1(0)xyEababP 21F PF是底角为30的等腰三角形，则的离心率为（）E ()A12()B23()C()D【解析】选 C 21F PF是底角为30的等腰三角形 221332()224cPFF Faccea（5）已知na为等比数列，568a a ，则110aa（）472aa ()A7()B5()C()D【解析】选 D，或 472aa56474784,2a aa aaa 472,4aa 471101104,28,17aaaaaa 471011102,48,17aaaaaa （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N 和 实数12,.,na aa，输出，则（）,A B为12,.,na aa的和()AAB2AB为12,.,na aa的算术平均数()B和分别是12,.,na aa中最大的数和最小的数()CAB和分别是12,.,na aa中最小的数和最大的数()DAB【解析】选 C （7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的 1是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A6()B9()C()D【解析】选 B 该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 3 此几何体的体积为 116 3 3932V （8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线CxC的准线交于 xy162,A B两点，；则的实轴长为（）4 3AB C ()A2()B2 2()C()D【解析】选 C设交的准线于222:(0)C xyaaxy162:4l x (4,2 3)A(4,2 3)B 得：222(4)(2 3)4224aaa （9）已知，函数在上单调递减。0()sin()4f xx(,)2则的取值范围是（）()A1 5,2 4()B1 3,2 4()C1(0,2()D(0,2【解析】选 A 不合题意 排除 592(),444x()D 合题意 排除 351(),444x()()B C另：，()22 3(),424422x 得：315,2424224 （10）已知函数；则的图像大致为（）1()ln(1)f xxx()yf x【解析】选 B ()ln(1)()1()010,()00()(0)0 xg xxxg xxg xxg xxg xg 得：或均有 排除 0 x 10 x()0f x,A C D（11）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为 的正三角形，SABCOABC1为球的直径，且；则此棱锥的体积为（）SCO2SC ()A26()B36()C23()D22【解析】选 A 的外接圆的半径，点到面的距离 ABC33r OABC2263dRr 为球的直径点到面的距离为 SCOSABC2 623d 此棱锥的体积为 1132 62233436ABCVSd 另：排除 13236ABCVSR,B C D（12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）P12xyeQln(2)yxPQ ()A1 ln2()B2(1 ln2)()C1 ln2()D2(1 ln2)【解析】选 A 函数与函数互为反函数，图象关于对称 12xyeln(2)yxyx 函数上的点到直线的距离为 12xye1(,)2xP xeyx122xexd 设函数 minmin111 ln2()()1()1 ln2222xxg xexg xeg xd 由图象关于对称得：最小值为 yxPQmin22(1 ln2)d 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）已知向量夹角为，且；则,a b 451,210aab_b【解析】_b 3 2 22210(2)1044cos45103 2ababbbb(14)设满足约束条件：；则的取值范围为 ,x y,013x yxyxy 2zxy【解析】的取值范围为 2zxy 3,3 约束条件对应四边形边际及内的区域：OABC(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)OABC则 2 3,3zxy （15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从 正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 2(1000,50)N超过 1000 小时的概率为 【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为 38 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2(1000,50)N得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 12p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 2131(1)4Pp 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 2138ppp（16）数列满足，则的前项和为 na1(1)21nnnaan na60【解析】的前项和为 na601830 可证明：14142434443424241616nnnnnnnnnnbaaaaaaaab 112341515 141010 151618302baaaaS三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）已知分别为三个内角的对边，,a b cABC,A B Ccos3 sin0aCaCbc（1）求 （2）若，的面积为；求。A2a ABC3,b c【解析】（1）由正弦定理得：cos3 sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBC sincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30)2303060ACACaCCAAAAA （2）1sin342SbcAbc 2222cos4abcbcAbc 解得：（l fx lby）2bc 18.（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，510如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量 16yn（单位：枝，）的函数解析式。nN（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，16XX数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由。【解析】（1）当时，16n 16(105)80y 当时，15n 55(16)1080ynnn 得：1080(15)()80(16)nnynNn （2）（i）可取，X607080 (60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P XP XP X 的分布列为 X X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 60 0.1 70 0.280 0.776EX 222160.1 60.240.744DX （ii）购进 17 枝时，当天的利润为 (14 53 5)0.1(15 52 5)0.2(16 5 1 5)0.16 17 5 0.5476.4y 得：应购进 17 枝 76.476（19）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱中，111ABCABC112ACBCAA是棱的中点，D1AABDDC 1（1）证明：BCDC 1（2）求二面角的大小。11CBDA【解析】（1）在中，Rt DACADAC 得：45ADC 同理：1114590ADCCDC 得：面 111,DCDC DCBDDC1BCDDCBC （2）面 11,DCBC CCBCBC11ACC ABCAC 取的中点，过点作于点，连接 11ABOOOHBDH11,C O C H ，面面面 1111111ACBCC OAB111ABC 1ABD1C O1ABD 得：点与点重合 1OHBDC HBDHD 且是二面角的平面角 1C DO11CBDA 设，则，ACa122aC O 1112230C DaC OC DO 既二面角的大小为 11CBDA30（20）（本小题满分 12 分）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，2:2(0)C xpy pFlACF为半径的圆交 于两点；FAFl,B D（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；090BFDABD24pF（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，,A B FmnmnC求坐标原点到距离的比值。,m n 【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 BFD2BDp 点到准线 的距离 Al2dFAFBp 14 24 222ABDSBDdp 圆的方程为 F22(1)8xy （2）由对称性设，则 2000(,)(0)2xA xxp(0,)2pF 点关于点对称得：,A BF22220000(,)3222xxpBxppxppp 得：，直线 3(3,)2pAp3322:30223ppppm yxxyp 切点 22332233xxxpyyyxppp3(,)36p pP 直线 333:()306336ppn yxxyp坐标原点到距离的比值为。（lfx lby）,m n33:326pp（21）（本小题满分 12 分）已知函数满足满足；()f x121()(1)(0)2xf xfefxx（1）求的解析式及单调区间；()f x（2）若，求的最大值。21()2f xxaxb(1)ab【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2xxf xfefxxfxfefx 令得：1x(0)1f 1211()(1)(0)(1)1(1)2xf xfexxffefe 得：21()()()12xxf xexxg xfxex 在上单调递增()10()xg xeyg x xR ()0(0)0,()0(0)0fxfxfxfx 得：的解析式为()f x21()2xf xexx 且单调递增区间为，单调递减区间为(0,)(,0)（2）得 21()()(1)02xf xxaxbh xeaxb()(1)xh xea 当时，在上单调递增 10a()0()h xyh xxR 时，与矛盾 x ()h x ()0h x 当时，10a()0ln(1),()0ln(1)h xxah xxa 得：当时，ln(1)xamin()(1)(1)ln(1)0h xaaab 22(1)(1)(1)ln(1)(10)abaaaa 令；则 22()ln(0)F xxxx x()(1 2ln)F xxx ()00,()0F xxe F xxe 当时，xemax()2eF x 当时，的最大值为 1,aebe(1)ab2e请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，分别为边的中点，直线交,D EABC,AB ACDE的外接圆于两点，若，证明：ABC,F G/CFAB（1）；CDBC（2）BCDGBD【解析】（1），/CFAB/DFBCCFBDADCDBF /CFABAFBCBCCD （2）/BCGFBGFCBD /BCGFGDEBGDDBCBDC BCDGBD （23）本小题满分 10 分)选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴 1C)(3siny2cosx为参数x为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，2C2ABCD2C且依逆时针次序排列，点的极坐标为,A B C DA(2,)3（1）求点的直角坐标；,A B C D（2）设为上任意一点，求的取值范围。P1C2222PAPBPCPD【解析】（1）点的极坐标为,A B C D5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636 点的直角坐标为,A B C D(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设；则 00(,)P xy002cos()3sinxy为参数 2222224440tPAPBPCPDxy （lfxlby）25620sin56,76（24）（本小题满分 10 分）选修：不等式选讲 45 已知函数()2f xxax（1）当时，求不等式的解集；3a ()3f x（2）若的解集包含，求的取值范围。()4f xx1,2a【解析】（1）当时，3a ()3323f xxx 或或 2323xxx23323xxx3323xxx 或 1x4x （2）原命题在上恒成立()4f xx1,2在上恒成立 24xaxx1,2在上恒成立 22xax 1,2 30a