考研辅导-概率论与数理统计.pdf
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1、考研辅导概率论与数理统计一、随机事件与概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式 事件的独立性独立重复试验(一)随机实验和随机事件1.试验:为了研究随机现象,就要对客观事物进行 观察.观察的过程称为试验.特点:在相同的条件下试验可以重复进行;每次试验的结果具有多种可能性,而且在试验 之前可以明确试验的所有可能结果;在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出 现哪一种结果.2.样本空间给定一个试验,所有可能的结果的全体构成 一个集合,这个集合称作样本空间,用大写的希 腊字母Q表示,这个样本空间中的每一个元素也称 作此
2、样本空间的一个样本点,可以用小写的希腊 字母。表示.试验和样本空间的例子1)掷一次硬币为一个试验,则有两个可能的 试验结果,正面和反面,则。=正面,反面2)掷一次骰子为一个试验,则有六个可能的试 验结果,1点,2点,3点,4点,5点和6点,因此样本 空间为。=1点,2点,3点,4点,5点,6点3)掷两次硬币作为一次试验,将两次试验结果排 序,则共有四种可能的结果:(反,反),(反,正),(正,反),(正,正)因此样本空间Q=(反,反),(反,正),(正,反),(正,正)4)掷两次骰子作为一次试验,将两次试验结果排序,则共有36种可能的结果:Q=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(
3、1,5),(1,6),(2,1),(2,2)。,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),4 3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)=(1/)lxj=1,2,3,4,5,63.随机事件事件就是样本空间的子集,或者说事件就是试验结 果的集合,通常用大写英文字母.等表示,例如,掷两次硬币这个试验,事件4=至少一次 正面朝上”包括三个样本点(正,反),(反正),(正
4、正).也可以表示为止(正,反),(反,正),(正正)掷两次骰子的试验,事件5=两次点数相同”,则 5=(1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)几个特殊的事件基本事件:只包括一个样本点,或者说一个 试验结果的事件称为基本事件.必然事件:包括整个样本空间。的所有元素 的事件,或者就用。表示,则每次试验必然发 生,因此称为必然事件.不可能事件:不包括任何元素的空集,即 每次试验一定不会发生,称为不可能事件,用表示,则=.4.事件间的关系及其运算(1)事件的包含:BnA或AuB(2)事件的相等:A=B(3)事件的并(和):A+B或AuB 即力、5中至少有一个发生.易知/+O=
5、O 4(4)事件的交(积):AB或AcB即4、5同时发生.易知/n=A A c=(5)对立事件力AA,N+N=(6)事件的差A-BA-B=AB,O-N=A=A(7)互不相容事件AB=(D对立事件一定互不相容,但互不相容,事件未必对立.(8)完备事件组若事件小2,4为两两互不相容事件,并且 A1+A2+.+An=n,称构成一个完备事件组或构成 一个划分.最常用的完备事件组是某事件/与它的对立事件力事件的运算律交换律:A u B=B d A;A c B=B c A;结合律:/U(5DC)=(4D5)DC/c(8cC)=(4cB)cC;分配律:4 u(5 c C)=(/u 5)c(/u C);4 c
6、(5 u C)=(4 c 5)u(4 c C);德.摩根律:AD B=7c;4cB=(二)事件的概率及其性质1,概率的统计定义:频率的稳定值在不变的条件下,重复进行次试验,事件Z发生 的频率稳定地某一常数?附近摆动,且一般说来,北越大,摆动幅度越小,则称常数/为事件/的概率,记作尸(/).尸(力)满足下列条件:尸(/)0(2)尸(S)=0;(3)可列可加性2.事件的性质:尸()=0;(2)如果则尸(5-4)=尸(3)-P(3)F(A U 3)=尸(/)+尸(5)-尸(48)广义加法法则若A与B互斥)则尸(Z+B)=P(A)+P(B)推广为有限可加性尸Q尸1-P3,概率公式条件概率公式PB A)
7、*(尸。)乘法法则 P(AB)=P(A)P(BA)P(AB)=P(B)P(AB)(若尸0)(若尸(5)0)推广:尸(力血4)=RZ)尸(的4)尸(4144)尸(4W/24-i)事件的独立性若P(AB)=P(A)P(B),则称事件力和5是独立的.即一个事件的发生,不影响另一个事件的发生A.5相互独立,则尸(5|4)=尸(5)或尸(ZB)=P(A)若4,4,,4相互独立,则n尸(4H.J尸(4)Z=1n _玖&U,UU,-np(4)Z=1(2)全概率公式全概率定理如果事件4H2构成一个完备事件组,并且都具有正概率,则对任意一事件8有尸(6)=ZP(4)P(切 4)i全概率定理的图形理解事件5的面积
8、为3与各个 事件4相交的面积之和.全概率定理解题的思路从试验的角度考虑问题,一定是将试验分为两 步做,将第一步试验的各个结果分为完备事件组 小2,,4,然后在这每一事件下计算或给出某个 事件上发生的条件概率,最后用全概率公式.4D 试验2)试验1(3)逆概公式(贝叶斯公式)贝叶斯定理若出力2,,构成一个完备事件组,并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为 零的事件且有P(A)P(B I A)|B)=J G(m=12),工尸(4”(为4)i贝叶斯公式是信息论中的一个重要公式贝叶斯定理解题的思路贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完 全一样,不过所求的是一个条件概率,即在二次 试验后,观察者
9、只能看到最后的结果事件5却要 根据结果来推断第一步试验的哪个事件发生了的 条件概率.一_一(三)几种常见的概型1.等可能概型(古典概型)样本空间。只包含有限个样本点(基本事件)且每个样本点出现的可能性相同.PrA A中基本事件数 Q中基本事件总数2.几何概型(概率的几何意义)样本空间。为几何空间中的一个有界区域(可为 多维),且每个样本点出现的可能性相同.pzA-A的度量(长度,面积或体积)。的度量(长度,面积或体积)3.伯努利概型(1)定义 只考虑两个对立的结果A(成功)和力(失 败)的试验称为伯努利概型或伯努利试验,将其独立 重复次就称为一个重伯努利试验(概型),简称 伯努利概型.(2)伯
10、努利概型(二项概率)的计算公式设P(Z)寸,则几次试验中4发生左次的概率为P.(k)=C:Q p)、k=,2,n例 若每次击中概率为P=0.8,则5次射击中有3次 击中的概率为巴(3)=23(12广3=20.0.83.022=0.4048考点与例题分析考点一事件的表示和运算41先空空间的子集,要正确理解样本空间 和事件间的关系.松/三再三七间卡运算与集合运算相对应,切忌与 数的运算相混淆.例1 从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回),事件4表示第,次取 到合格品=123).试用事件的运算符号表示下 列事件:三次都取到了合格品;三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有两次取到
11、合格品;三次中最多有一次取到合格品.解 三次全取到合格品:AXA2A3 三次中至少有一次取到合格品:AX+A2+A3三次中恰有两次取到合格品:444+444+444 A-L A.三次中至多有一次取到合格品:/鼻例:一名射手连续向某个目标射击三次,事件4 表示该射手笫z,次射击时击中目标=23).试用文字叙述下列事件:Ay+;4+;.L A J444;4一42;44;4+H;4/2;a+A;WA;4/2+44+44解 4+w:前两次至少有一次中a:第二次未中4+4+4:三次中至少一次中 A,乙 J444:三次都中4-H=4a:第三次中但第二次未中4+H=。3:前两次均未中/+A=A2A3:后两次
12、至少有一次未击中44+44+:三次射击至少两次中例3如果x表示一个沿 数轴做随机运动的质 点的位置,试说明下列 各事件的关系.4=x|x3;C=x|x9;D=x|x9./。I解由图可见 AnCnD,BnE。与民。与互不相容。与为对立事件,B与C,5与a 与4相容,显然A与C,A与D,。与。,5与也是相容的.-E-20 xA考点二:概率的性质、事件间的关系和运算例4(1992年研究生入学考试题)一,1已知 P(/)=P(B)=P(C)=-.P(AB)=O,P(AC)=P(BC)41=-,求事件4氏。全不发生的概率.6角牟 P(ABC)=F(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1 尸+尸+P(C)
13、-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)1 1 1 1 1 7=1-1-1-0-F 0=4 4 4 6 6 12其中因尸(48)=0,因此尸(48。)=0例5(1990年研究生入学考试题)设随机事件4刀及和事件/+刀的概率分别是0.4Q.3和06则积事件/万的概率P(/不)=解由已知得:0.6=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0A+0.3-P(AB)得 P(AB)=0.1故 P(A后)=P(A B)=P(A)P(AB)(熟记)=0.4-0.1=0.3例6(1998年MBA试题)若/F(A)=0.9,P(B+C)=0.8,贝|JP(/3C)=回)(A)0.4;(B)0.6;
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