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考研辅导概率论与数理统计一、随机事件与概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式 事件的独立性独立重复试验（一）随机实验和随机事件1.试验：为了研究随机现象,就要对客观事物进行 观察.观察的过程称为试验.特点：在相同的条件下试验可以重复进行；每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验 之前可以明确试验的所有可能结果；在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出 现哪一种结果.2.样本空间给定一个试验，所有可能的结果的全体构成 一个集合，这个集合称作样本空间,用大写的希 腊字母Q表示，这个样本空间中的每一个元素也称 作此样本空间的一个样本点,可以用小写的希腊 字母。表示.试验和样本空间的例子1）掷一次硬币为一个试验，则有两个可能的 试验结果，正面和反面，则。=正面,反面2）掷一次骰子为一个试验,则有六个可能的试 验结果，1点,2点，3点,4点，5点和6点，因此样本 空间为。=1点，2点，3点，4点，5点，6点3）掷两次硬币作为一次试验，将两次试验结果排 序，则共有四种可能的结果：（反，反），（反，正），（正，反），（正，正）因此样本空间Q=（反,反）,（反,正），（正，反），（正，正）4)掷两次骰子作为一次试验，将两次试验结果排序，则共有36种可能的结果：Q=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2)。,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),4 3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)=(1/)lxj=1,2,3,4,5,63.随机事件事件就是样本空间的子集,或者说事件就是试验结 果的集合,通常用大写英文字母.等表示,例如，掷两次硬币这个试验，事件4=至少一次 正面朝上”包括三个样本点（正，反），（反正），（正 正）.也可以表示为止（正，反），（反，正），（正正）掷两次骰子的试验,事件5=两次点数相同”，则 5=（1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）几个特殊的事件基本事件：只包括一个样本点,或者说一个 试验结果的事件称为基本事件.必然事件:包括整个样本空间。的所有元素 的事件，或者就用。表示，则每次试验必然发 生，因此称为必然事件.不可能事件:不包括任何元素的空集，即 每次试验一定不会发生，称为不可能事件，用表示，则=.4.事件间的关系及其运算(1)事件的包含：BnA或AuB(2)事件的相等：A=B（3）事件的并（和）：A+B或AuB 即力、5中至少有一个发生.易知/+O=O 4（4）事件的交（积）：AB或AcB即4、5同时发生.易知/n=A A c=(5)对立事件力AA,N+N=(6)事件的差A-BA-B=AB,O-N=A=A(7)互不相容事件AB=(D对立事件一定互不相容，但互不相容,事件未必对立.(8)完备事件组若事件小2,4为两两互不相容事件，并且 A1+A2+.+An=n,称构成一个完备事件组或构成 一个划分.最常用的完备事件组是某事件/与它的对立事件力事件的运算律交换律：A u B=B d A;A c B=B c A;结合律：/U(5DC)=(4D5)DC/c(8cC)=(4cB)cC;分配律：4 u(5 c C)=(/u 5)c(/u C);4 c(5 u C)=(4 c 5)u(4 c C);德.摩根律：AD B=7c;4cB=(二)事件的概率及其性质1,概率的统计定义：频率的稳定值在不变的条件下，重复进行次试验,事件Z发生 的频率稳定地某一常数？附近摆动,且一般说来，北越大，摆动幅度越小，则称常数/为事件/的概率,记作尸(/).尸(力)满足下列条件：尸(/)0(2)尸(S)=0;(3)可列可加性2.事件的性质：尸()=0;(2)如果则尸(5-4)=尸(3)-P(3)F(A U 3)=尸(/)+尸(5)-尸(48)广义加法法则若A与B互斥)则尸(Z+B)=P(A)+P(B)推广为有限可加性尸Q尸1-P3,概率公式条件概率公式PB A)*(尸。)乘法法则 P(AB)=P(A)P(BA)P(AB)=P(B)P(AB)(若尸0)(若尸(5)0)推广：尸(力血4)=RZ)尸(的4)尸(4144)尸(4W/24-i)事件的独立性若P(AB)=P(A)P(B),则称事件力和5是独立的.即一个事件的发生，不影响另一个事件的发生A.5相互独立，则尸(5|4)=尸(5)或尸(ZB)=P(A)若4,4,，4相互独立，则n尸(4H.J尸(4)Z=1n _玖&U,UU,-np(4)Z=1（2）全概率公式全概率定理如果事件4H2构成一个完备事件组,并且都具有正概率，则对任意一事件8有尸（6）=ZP（4）P（切 4）i全概率定理的图形理解事件5的面积为3与各个 事件4相交的面积之和.全概率定理解题的思路从试验的角度考虑问题，一定是将试验分为两 步做，将第一步试验的各个结果分为完备事件组 小2,，4,然后在这每一事件下计算或给出某个 事件上发生的条件概率，最后用全概率公式.4D 试验2)试验1(3)逆概公式(贝叶斯公式)贝叶斯定理若出力2,，构成一个完备事件组，并且它们都具有正概率，则对于任何一个概率不为 零的事件且有P(A)P(B I A)|B)=J G(m=12),工尸(4”(为4)i贝叶斯公式是信息论中的一个重要公式贝叶斯定理解题的思路贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完 全一样，不过所求的是一个条件概率,即在二次 试验后，观察者只能看到最后的结果事件5却要 根据结果来推断第一步试验的哪个事件发生了的 条件概率.一_一（三）几种常见的概型1.等可能概型（古典概型）样本空间。只包含有限个样本点（基本事件）且每个样本点出现的可能性相同.PrA A中基本事件数 Q中基本事件总数2.几何概型（概率的几何意义）样本空间。为几何空间中的一个有界区域（可为 多维）,且每个样本点出现的可能性相同.pzA-A的度量（长度，面积或体积）。的度量（长度，面积或体积）3.伯努利概型(1)定义 只考虑两个对立的结果A(成功)和力(失 败)的试验称为伯努利概型或伯努利试验,将其独立 重复次就称为一个重伯努利试验(概型)，简称 伯努利概型.(2)伯努利概型(二项概率)的计算公式设P(Z)寸，则几次试验中4发生左次的概率为P.(k)=C：Q p)、k=,2,n例 若每次击中概率为P=0.8,则5次射击中有3次 击中的概率为巴(3)=23(12广3=20.0.83.022=0.4048考点与例题分析考点一事件的表示和运算41先空空间的子集，要正确理解样本空间 和事件间的关系.松/三再三七间卡运算与集合运算相对应,切忌与 数的运算相混淆.例1 从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件4表示第，次取 到合格品=123）.试用事件的运算符号表示下 列事件：三次都取到了合格品；三次中至少有一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中最多有一次取到合格品.解 三次全取到合格品：AXA2A3 三次中至少有一次取到合格品：AX+A2+A3三次中恰有两次取到合格品:444+444+444 A-L A.三次中至多有一次取到合格品:/鼻例:一名射手连续向某个目标射击三次，事件4 表示该射手笫z,次射击时击中目标=23).试用文字叙述下列事件：Ay+;4+;.L A J444；4一42；44；4+H；4/2；a+A；WA；4/2+44+44解 4+w：前两次至少有一次中a:第二次未中4+4+4：三次中至少一次中 A,乙 J444：三次都中4-H=4a：第三次中但第二次未中4+H=。3:前两次均未中/+A=A2A3:后两次至少有一次未击中44+44+:三次射击至少两次中例3如果x表示一个沿 数轴做随机运动的质 点的位置，试说明下列 各事件的关系.4=x|x3；C=x|x9;D=x|x9./。I解由图可见 AnCnD,BnE。与民。与互不相容。与为对立事件，B与C,5与a 与4相容,显然A与C,A与D,。与。，5与也是相容的.-E-20 xA考点二：概率的性质、事件间的关系和运算例4(1992年研究生入学考试题)一,1已知 P(/)=P(B)=P(C)=-.P(AB)=O,P(AC)=P(BC)41=-,求事件4氏。全不发生的概率.6角牟 P(ABC)=F(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1 尸+尸+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)1 1 1 1 1 7=1-1-1-0-F 0=4 4 4 6 6 12其中因尸(48)=0,因此尸(48。)=0例5(1990年研究生入学考试题)设随机事件4刀及和事件/+刀的概率分别是0.4Q.3和06则积事件/万的概率P(/不)=解由已知得：0.6=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0A+0.3-P(AB)得 P(AB)=0.1故 P(A后)=P(A B)=P(A)P(AB)(熟记)=0.4-0.1=0.3例6(1998年MBA试题)若/F(A)=0.9,P(B+C)=0.8,贝|JP(/3C)=回)(A)0.4;(B)0.6;(C)0.7;(D)0.8;(E)0.9解根据德.摩根定理B+C=BC,=P(B+C)=0.8因/ZD 5JU n C因此必有/n BCP(A-BC)=P(A)-P(BC)=P(A)-1-P(BC)=0.9-(1-0.8)=0.7考点三：古典概型与几何概型 例7（1993年考研题,3分）一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不 放回，则第二次抽出的是次品的概率为一 2/12.一 点刀 10 2 2 1 2斛-+-二一12 11 12 11 12例8（1997年考研题,3分）袋中有50个乒乓球,其中 20个是黄球,30个是白球.今有两人依次随机地从 袋中各取一球,取后不放回，则第2个人取得黄球的 概率是.解因共有50个乒乓球,20个黄球,因此答案是2/5.例9在线段40上任取两点3、C,在5、。处折断 而得三条直线段，求。“这三条线段能构成三角形”的概率分析 所求概率与三条线段的长度有关，但由于 总长度是确定的，从而等可能自由取值的线段只 有两条，于是问题归结为平面上的几何概型.解设4D长为/,折断后的第一条线段长%,第二段长为乂则第三段长为人暝于是样本空间为Q=(x,j)|x O.y 0.x+y=l因三角形两边之和大于第三边，故/ID=(%/)0%一,0歹-2 2 2由图的面积S2 NOMN-r 2。的面积S八=s D故 P(D)=，k4,12、2-I2 87y2考点四：条件概率与积事件概率的计算以及 事件的独立性例10(00403)设4瓦。三个事件两两独立，则45c 相互独立的充分必要条件是(A)/与3C独立；(B)45与ZYC独立(C)ZK与4C独立;(D)ZY3与ZYC独立注意多个事件:解应选(A),相互独立两两独立因为 P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P P(C)其余三个条件推不出上式.例11(99103)设两两相互独立的三事件/、5和C满足条件：ABC=0)P(4)=P(B)=P(C)1且已知尸(4Y5YC)限，则尸(4)=1/4.解 P(AYBXC)=P(A)+P+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3 尸(4)-3 尸2(4 尸 9/16.解得尸(4尸3/4或P(Z)=l/4,但尸(Z)vl/2,故应填1/4.例 12（1998Affi4试题）5人以摸彩方式决定谁得1张电影票.今设4表示第z人摸到=1,2,3,4,5）,则下列结果中 有一个不正确，它是（）-1-1（N）p（4 14H）=-P（44）=-1 1（X44）=T（。尸（4）=T4 5-3（石）。（44）=三解 摸彩即是做5张彩票，其中1张写“有”，其余4张 写“无”，则尸（4144）是指在前两个人没有抽到 条件下第3个人抽到的事件,则第3个人抽时只有三 张彩票，则抽中的条件概率当然是1/3.因此选项（4）正确.此外，每个人抽中的无条件概率显然是1/5,因此选 项（。）正确.选项（8）和（E）可由乘法法则求得为 4 1 1尸（44）=尸（NO尸（么2 Mi）=-x-=-I_ 433尸（4H）=尸（4）尸（4 Mx）=-x-=-5 4 5因此选项（C）不正确，答案为（C）例 13 已知 o尸（3）i,P（4+/2）|3=尸（40）+尸（也,则下列选项成立的是（左）（/）（4+出）|万=P（4 B）+尸（4 B）；（B）P（AB+A2B）=P（AB）+P（A2B）;（C）P（4+4）=。（4 忸）+尸（4 忸）；D）P（B）=P（A）P（B|4）+P（A?）P（BA2）.解 尸（4+4）忸=尸（4忸）+尸（4忸）；尸（4+/2）5_ 尸（，啰）(OP(5)1X1考点五：全概公式和贝叶斯公式例14(1999年MB A试题)甲盒内有红球4只，黑球2 只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内 有黑球2只，白球2只，从这3只盒的任意一只中取 出1只球,它是红球的概率是()(A)0.5626(B)0.5(C)0.45(D)0.375(E)0.225解假设4,A2,4为取到甲，乙,丙盒的事件，这是第一步试验的各事件，构成完备事件组.假设5为最后取出的是红球的事件.nl 1则 P（4）=P（A2）=P（4）=-4 5 0P（B|4）=1P（B|4）=1P（B I 4）=二8 8 4由全概公式，得3尸（5）=三玖4）尸（见4）Z=114 15 10 3=x I x I x =-=0.3753 8 3 8 3 4 8因此,（D）例15假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%,35%,20%.如果各车间的 次品率依次为4%,2%,5%.现在从待出厂产品中 检查出1个次品,试判断它是由甲车间生产的概率.解 设事件3表示”产品为次品”,分别表示“产品为甲，乙，丙车间生产的”，显然,444构成 一完备事件组.依题意，有尸（小尸45%尸（42尸35%尸（4尸20%尸（5%尸4%。（3M2）=2%。仍外尸5%则由贝叶斯公式得P（4|B）=尸（4）尸（石14）3Z尸（4）尸4）1=145%x 4%45%x4%+35%x2%+20%x 5%0.514考点六：伯努利试验 例16某人向同一目标独立重复射击，每次击中目 标的概率为夕(0夕1)，则此人4次射击命中二次，且 是连中的概率为(N)(N)3P2(l p)2；(4)4p2(l p)2；(C)5P2(1 口)2；(0 6/(1 02.例17假设一工厂生产的每台仪器以概率0.7可以 直接出厂，以概率0.3需进一步测试，经调试后 以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不 可以出厂，现该厂新生产了台仪器（假设生产 过程相互独立），求恰好有上台能出厂的概率.分析台仪器可看作做了次独立重复试验，而 每次试验的结果为：仪器能出厂（“成功”）与彳 能出厂（“失败”），关键在求“成功”发生的弼 然后代二项概率计算公式.解 设=需调试，B=能出厂，贝IB=A+AB.P(B)=P(A)+尸(48)=P(A)+P(A)P(BA)=0.7+0.3x0.8=0.94于是P(X=k)=。：(0.94)比(0.06 尸考研题与练习题1.(01403)对于任意二事件/和民与，Y5=5不等价的是(A)A u B(B)月 ul(C)AB=0(D)AB=0 答案：应选(D)2.(考研000303)在电炉上安装了4个温控器，其 显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有 两个温控器显示的温度不低于临界温度琳电炉就 断电.以表示事件“电炉断电”，而T(1)VT(2)VT(3)WT(4)为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度 值，则事件等于().(A)T(1)ZO(B)T(2)/0(C)7(3)/0(D)T(4)/0答案:应选(C),这是因为当T(3)/时就至少有T(3),7(4)两个温控器显示的温度不低于临界温度值办了.3.（1998MBA试题）甲乙两选手进行乒乓球单打 比赛，甲发球成功后，乙回球失误的概率为03若 乙回球成功，甲回球失误的概率为64,若甲回球 成功，乙再回球时失误的概率为65,试计算这几 个回合中，乙输掉一分的概率.解设4为甲在第i回合发（回）球成功的事件，分为乙在第i回合回球成功的事件（户1,2）,Z为两个回合中乙输掉一分的事件,则P（4）=1,mi 4）=03P（4144）=0.4p（及 144/2）=05而/=4瓦+A.-L X X JL而/=4瓦+Ay ByAr.Br.二与 百个瓦互斥，_.-.P（A）=尸（4 瓦+4142 瓦）=尸（4瓦）+尸（4（出瓦）=尸（4）尸（瓦14）+尸（4）尸（即4八夕（4144）。（瓦 1444）=lx 0.3+1X 0.7 X 0.6X 0.5=0.514.(0701,04)某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(。夕1),则此人第4次射击 恰好第2次命中目标的概率为(c)(Z)3(l-pH(5)6p(l-P)2；(C)3P2(1 p)2；(D)6P2(1 p)2.答：前三次击中一次夕故有3夕(1-2)2,第四次击中，故选C5.(061)设43为随机事件,且P(3)0,P(/I 3尸1,则必有(A)P(A U 5)P(A).(B)P(A U 5)P.(C)P(A U 5)=尸(，).(D)P(A U，)=P(B)解选(C).考查：条件概率，概率的加法公式.P(A B)=,P(A B)=1 n P(AB)=P,P(B)P(A U 5)=F(A)+P(B)-P(AB)=P(A)6.(0713)在区间(0)中随机地取两个数，这两个数 之差的绝对值小于1,2的概率为 0.考查：几何型概率解用片爆示随机抽取的两个数，则041,Ovkl,x y取值的所有可能结果对应的集合为以1为边长 的正方形Q其面积为1.“两个数之差的绝对值”对 应图中阴影部分A的面积，即1 r n2 31-2 x x =.2 4故所求概率为zl 1 1/4 11 2 1 427.(03304)将一枚硬币独立地掷两次，引进事 件：，尸掷第一次出现正面，为土掷第二次 出现正面，/=正、反面出现一次,4=正面出现两次，则事件(C).(A)4 44相互独立；(B)424H4相互独立；(C)，1么243两两独立；(D)424H4两两独立解：应选(C),只要是概率不为0事件，如果其积 运算是不可能事件，就一定不相互独立。上述任 意三个事件的积事件都是不可能事件，因此(A),(B)不成立。而444=0,相互也不独立，因此(D)不成立，因此只能选(C).